نظرة أولية على مجموعات الأرقام: من الطبيعية إلى المركبة
ملخص:في هذه الدرس سنستكشف كيف يمكن استخدام الأرقام الطبيعية كأساس لبناء مجموعات أرقام أخرى لتجاوز بعض القيود التشغيلية. سنبدأ بالأرقام الصحيحة، التي تسمح لنا بإجراء عمليات الطرح بشكل واسع. ثم، سنتقدم نحو الأرقام النسبية، التي توفر لنا أداة القسمة بشكل كامل. بعد ذلك، سندخل في عالم الأرقام الحقيقية للعمل مع جذور n-الأسية، وسنذكر كيف يتم إدخال الأرقام المركبة لمواجهة سيناريوهات محددة مع جذور n-الأسية. من خلال هذه التطورات، سيتم فهم كيف يظهر كل مجموعة أرقام جديدة لحل المشكلات المتأصلة في السابقة.
أهداف التعلم:
عند انتهاء هذه الدرس، سيكون الطالب قادرًا على:
- تحديد الخصائص الأساسية للأرقام الطبيعية والصحيحة والنسبية.
- تفسير الخصائص والعمليات الأساسية التي ترث أو تتغير عند الانتقال من مجموعة أرقام إلى أخرى.
- مقارنة خصائص مختلف مجموعات الأرقام وكيفية تفاعلها مع بعضها البعض.
فهرس المحتويات
مقدمة
خصائص الأرقام الطبيعية
الانتقال من الأرقام الطبيعية إلى الصحيحة
القفزة إلى الأرقام النسبية
الأرقام الحقيقية وغير النسبية
الأرقام المركبة: البند الجبري للأرقام الحقيقية
مقدمة
الأرقام الحقيقية، إلى جانب مجموعات أرقام أخرى سنستكشفها في هذه الدرس، يتم تقديمها من خلال توسيع الأرقام الطبيعية. يحدث أنه مع أي رقمين طبيعيين، ليس من الممكن دائمًا إجراء عمليات الطرح أو القسمة، وهذه التوسعات تهدف إلى حل هذه المشكلة.
خلال هذه الدرس، سنراجع العمليات والخصائص للأرقام الطبيعية، وعلى هذا الأساس، سنتقدم نحو بناء جميع المجموعات الأرقام الأخرى، حتى نصل إلى الأرقام الحقيقية وما بعدها.
خصائص الأعداد الطبيعية
عند التطرق إلى العمليات بالأعداد الطبيعية، نشير أساساً إلى الجمع والضرب، إلى جانب العمليات العكسية المقابلة لهما. فيما يلي تلخيص لهذه الخصائص:
نظراً لأن a,b,c\in\mathbb{N}, يتحقق ما يلي:
| 1. | a + b = b + a |
| 2. | a \pm (b \pm c) = (a\pm b)\pm c (في حالة الطرح، صحيحة دائمًا عندما تكون معرفة بشكل صحيح) |
| 3. | a\cdot b = b \cdot a |
| 4. | a\cdot(b\cdot c)= (a\cdot b)\cdot c |
| 5. | a\cdot b = a \leftrightarrow b=1 |
| 6. | \displaystyle \frac{a}{b}\in\mathbb{N} \leftrightarrow (\exists k\in\mathbb{N})(a=b\cdot k) |
| 7. | a\cdot(b+c)=a\cdot b + a \cdot c |
الانتقال من الأعداد الطبيعية إلى الأعداد الصحيحة
أول جانب يجب ملاحظته هو أنه في حالة الجمع: (\forall a,b\in\mathbb{N})(a+b\in\mathbb{N})، بينما بالنسبة للطرح: (\forall a,b\in\mathbb{N})(a+b\in\mathbb{N} \leftrightarrow a\gt b). تظهر مشكلة عندما لا يكون الطرح بين رقمين طبيعيين a و b منطقياً إذا كان a\leq b؛ لحل هذه المشكلة، يتم توسيع الأعداد الطبيعية إلى مجموعة الأعداد الصحيحة، حيث يكتسب الطرح من هذا النوع قيمة محددة جيدًا. نرمز لهذه المجموعة الجديدة من الأعداد الصحيحة بالحرف \mathbb{Z}، وتتكون من جميع الأعداد الطبيعية، وعكسها الجمعي والصفر.
\mathbb{Z} = \{\cdots, -3,-2,-1,0,1,2,3,\cdots \}
ترث الأعداد الصحيحة جميع الخصائص والعمليات للأعداد الطبيعية، مع توسيع على الخاصية الثانية، ويتم إدخال مفاهيم العكس والمحايد الجمعي.
| 2*. | a \pm (b \pm c) = (a\pm b) \pm c |
| 8. | (\forall a\in\mathbb{Z})(\exists ! b\in\mathbb{Z})(a+b=0 \leftrightarrow b=-a) |
| 9. | (\forall a\in\mathbb{Z})(\exists ! b\in\mathbb{Z})(a+b=a \leftrightarrow b=0) |
العنصر b=-a هو ما نسميه العكس الجمعي لـ a.
الانتقال إلى الأعداد النسبية
في هذه المرحلة، العملية الوحيدة التي لم تُعرف بشكل صحيح هي القسمة. لحل هذا، سنقوم بتوسيع مجموعة الأعداد الصحيحة إلى مجموعة الأعداد النسبية، والتي ستُعرف كالتالي:
\mathbb{Q}=\left\{a= \displaystyle\frac{n}{m}\;|\;n,m\in\mathbb{Z}\wedge m\neq 0 \right\}
من خلال هذا، نكتسب خاصية جديدة
| 10. | (\forall a \in \mathbb{Q}\setminus\{0\})(\exists ! b \in \mathbb{Q}) \left[(a\cdot b = 1) \leftrightarrow \left( b = \displaystyle \frac{1}{a} = a^{-1} \right)\right] |
| كل عدد نسبي غير صفري له معكوس ضربي. المعكوس الضربي لـ a هو a^{-1} | |
مع هذه الأعداد والعمليات والخصائص، تُعرف عمليات جديدة مع خصائصها. هنا يتم تعريف القوة n-الأسية لعدد نسبي q كالتالي
q^n = \underbrace{q\cdot q \cdot \cdots \cdot q}_{n\;مرات}; مع n\in\mathbb{N}
q^{-n}= \displaystyle \frac{1}{q^n}
نلاحظ أنه، انطلاقاً من هذا، وطالما أن q\neq 0، يمكننا القول بأن
q^0 = 1
علاوة على ذلك، وفي كل مرة تظهر فيها قسمة على الصفر، بالنظر إلى أي عددين نسبيين a,b، وعددين صحيحين n,m، ستُطبق الخصائص التالية:
| 11. | a^n \cdot a^m = a^{n+m} |
| 12. | (a^n)^m = a^{n\cdot m} |
| 13. | (a\cdot b)^n = a^{n} \cdot a^{m} |
| 14. | \left(\displaystyle \frac{a}{a}\right)^n = \frac{a^n}{a^n} |
| 15. | \displaystyle \frac{a^n}{a^m} = a^{n-m} = \frac{1}{a^{m-n}} |
الأعداد الحقيقية والأعداد اللا نسبية
تمامًا كما كان الأمر مع عملية الطرح (العكسية للجمع) والقسمة (العكسية للضرب) حيث كان من الضروري توسيع الأعداد الطبيعية إلى الأعداد الصحيحة والأعداد النسبية على التوالي لتشكيل عمليات محددة بشكل جيد، يحدث الأمر ذاته مع القوى. العملية العكسية للقوة n-اسية هي الجذر n-اسي.
تعريف الجذر
ليكن n عددًا صحيحًا أكبر من 1 وp,q أرقامًا نسبية، يُعرف الجذر n-اسي للعدد q، الذي نمثله وفقًا للقواعد التالية:
| 16. | q=0 \rightarrow \sqrt[n]{q} = 0 |
| 17. | q \gt 0 \rightarrow \left[ \sqrt[n]{q} = p \leftrightarrow p^n = q \right] |
| 18. | \left[ q \lt 0 \wedge n \text{هو فردي} \right]\rightarrow \left[ \sqrt[n]{q} = p \leftrightarrow p^n = q \right] |
باختصار، الجذر n الأسي لـ q هو رقم p بحيث، عند رفعه إلى الأس n، يُعيد العدد q مرة أخرى. في هذه الحالات، عندما n=2، بدلاً من كتابة \sqrt[2]{q}، نكتب ببساطة \sqrt{q} للتبسيط.
ظهور الأعداد غير النسبية
وصلنا الآن إلى نقطة نتساءل فيها هل تُعرَف الجذور n الأسية لجميع عناصر \mathbb{Q} بشكل صحيح؟ الحقيقة هي أنه، على الرغم من أنها ليست واضحة كما هو الحال مع الطرح والقسمة، هناك أعداد نسبية لا تمتلك جذورًا n الأسية نسبية. لرؤية ذلك، يكفي مراجعة المثال التالي:
\sqrt{2} ليس عددًا نسبيًا.
البرهان
سنثبت ذلك بالاستدلال الخلفي.
لنفترض أن \sqrt{2} عدد نسبي، أي أنه يوجد p,q\in\mathbb{Z}، بشرط q\neq 0، بحيث أن \sqrt{2}=p/q، وقد تم تبسيطها لأبسط صورة. إذا فعلنا ذلك، يمكننا أن نقول أن
2 = \left(\sqrt{2} \right)^2 =\displaystyle \frac{p^2}{q^2} = \left(\displaystyle \frac{p}{q}\right)^2
لكن هذا يتعارض مع حقيقة أن p/q كُتب بأبسط شكل (الآن يبدو أنه يمكن تبسيط (p/q)^2 والنتيجة هي 2). وبما أن افتراض أن \sqrt{2} عدد نسبي يؤدي إلى تناقض، فإنه لا يمكن أن يكون عددًا نسبيًا، وبالتالي نقول إنه عدد غير نسبي.
التوسع إلى الأعداد الحقيقية
هذه النتائج تظهر الحقيقة أنه، لتعريف الجذر n الأسي بشكل صحيح، من الضروري توسيع الأعداد النسبية إلى مجموعة جديدة، وهي مجموعة الأعداد الحقيقية، التي نرمز لها بـ \mathbb{R} والتي تحتوي كلاً من الأعداد النسبية وغير النسبية
\mathbb{R}= \mathbb{Q}\cup \mathbb{Q}^*
المعقدات: البند الجبري للأعداد الحقيقية
في هذه النقطة يجب أن نلاحظ شيئين: (1) عندما يكون n زوجياً، الجذر الن-ي يكون متعدد القيم، و (2) إذا حاولنا أيضًا حساب \sqrt[n]{q} حيث q\lt 0, سنرى أن هذا العدد لا يمكن أن يكون عددًا حقيقيًا.
يمكن حل الأول من خلال تعريف الجذر الرئيسي بتطبيق تغيير طفيف على النقطة (17) التي تتحدث عن تعريف الجذر، لتصبح على النحو التالي:
| 17*. | q\gt 0 \rightarrow \left[ 0\lt p=\sqrt[n]{q} \leftrightarrow p^n=q \right] |
يمكن تحقيق الثاني عن طريق توسيع مجموعة الأعداد الحقيقية إلى مجموعة الأعداد المعقدة \mathbb{C}, ولكن سيتم بناء هذا في وقت لاحق.