Repaso a las Transformaciones de Lorentz

En la relatividad especial, se descarta la idea de un tiempo absoluto. En su lugar, se establece que la velocidad de la luz, c, es constante en todos los marcos inerciales. Este cambio, combinado con el principio de relatividad, nos lleva a las Transformaciones de Lorentz. Estas transformaciones conectan las coordenadas de un evento observado desde dos marcos inerciales distintos. Este tema se explora en detalle en la clase sobre Transformaciones de Lorentz en la Relatividad Especial.

Al considerar marcos inerciales S y S^\prime en configuración estándar, donde sus ejes y orígenes coinciden en t=t^\prime =0, y un fotón emitido en t=t^\prime = 0 desde el origen, las coordenadas de espacio y tiempo del fotón en cada marco deben cumplir con la ecuación:

c^2t^2 - x^2 - y^2 - z^2 = c^2{t^\prime}^2 - {x^\prime}^2 - {y^\prime}^2 - {z^\prime}^2 = 0.

A partir de esta ecuación y el principio de relatividad derivamos las conocidas transformaciones de Lorentz:

\begin{array}{rl} ct^\prime &= \gamma_{ss^\prime_x}(ct - \beta_{ss^\prime_x} x), \\ x^\prime &= \gamma_{ss^\prime_x}(x - \beta_{ss^\prime_x} ct), \\ y^\prime &= y, \\ z^\prime &= z. \end{array}

Donde \beta_{ss^\prime_x} =v_{ss^\prime_x}/c es el boost de velocidad adquirido por S^\prime al moverse respecto a S a una velocidad v_{ss^\prime_x}, y \gamma_{ss^\prime_x} = 1/\sqrt{1-\beta_{ss^\prime_x}^2} es el factor de Lorentz asociado. Esta transformación de Lorentz en la dirección \hat{x} se simplifica a la transformación galileana cuando v_{ss^\prime_x} \ll c.

Similar a las transformaciones de Galileo, existe una simetría que facilita calcular la transformación inversa, simplemente intercambiando los términos y teniendo en cuenta que \beta_{ss^\prime_x} = -\beta_{s^\prime s_x}:

\begin{array}{rl} ct &= \gamma_{ss^\prime_x}(ct^\prime + \beta_{ss^\prime_x} x^\prime),\\ x &= \gamma_{ss^\prime_x}(x^\prime + \beta_{ss^\prime_x} ct^\prime),\\ y &= y^\prime, \\ z &= z^\prime. \end{array}

El Espaciotiempo de Minkowski

Las transformaciones de Lorentz revelan que las coordenadas de espacio y tiempo están intrínsecamente entrelazadas. Esta relación es particularmente clara en la simetría entre ct y x. Al considerar dos eventos, A y B, con coordenadas (ct_A, x_A, y_A, z_A) y (ct_B, x_B, y_B, z_B). En el marco S, definimos la distancia cuadrática de la siguiente manera:

\begin{array}{rl} \Delta s^2 &= c^2(t_B - t_A)^2 - (x_B - x_A)^2 - (y_B - y_A)^2 - (z_B - z_A)^2 \\ \\ &= c^2\Delta t^2 - \Delta x^2 - \Delta y^2 - \Delta z^2 \\ \\ &= c^2\Delta t^2 - (\Delta x^2 + \Delta y^2 + \Delta z^2) \end{array}

La distancia de espaciotiempo, \Delta s, queda escrita como \Delta s = \sqrt{c^2\Delta t^2 - (\Delta x^2 + \Delta y^2 + \Delta z^2)}. Aquí, \Delta t representa una longitud temporal y \Delta r = \sqrt{\Delta x^2 + \Delta y^2 + \Delta z^2} es una longitud espacial.

El Espaciotiempo de Minkowski, caracterizado por esta noción de distancia de espaciotiempo \Delta s, es fundamental en la relatividad especial. Fue introducido por Hermann Minkowski y se distingue de las coordenadas espaciales y temporales al ser invariante bajo transformaciones de Lorentz.

\Delta s = \Delta s^\prime

En este modelo, el espacio y el tiempo se combinan en un continuo cuatridimensional. Diferente a la geometría euclidiana, la geometría del espaciotiempo de Minkowski es pseudo-euclidiana debido a los signos negativos en sus componentes espaciales. No obstante, para un tiempo t constante, la geometría espacial de Minkowski se mantiene euclidiana.

¿Qué ocurre con las longitudes de espacio, de tiempo y de espaciotiempo con las transformaciones de Lorentz?

Como se mencionó anteriormente, las longitudes de espaciotiempo \Delta s son invariantes bajo transformaciones de Lorentz, pero además de esto también se tiene que las longitudes de tiempo y de espacio, por separado, si que cambian bajo estas transoformaciones. Lo que haremos a continuación es la demostración paso a paso de estos hechos.

Primero, recordemos los eventos A y B considerados al inicio con sus respectivas coordenadas espaciotemporales respecto al sistema S:

• Evento A: (ct_A,x_A, y_A, z_A)
• Evento B: (ct_B,x_B, y_B, z_B)

Para estos desarrollos utilizaremos sin perdida de generalidad las transformaciones de Lorentz para sistemas S y S^\prime en configuración estándar donde S^\prime se mueve con velocidad \vec{v}_{ss^\prime_x}= v_{ss^\prime_x} \hat{x} = \beta_{ss^\prime_x}c \hat{x} respecto de S

\begin{array}{rl} ct^\prime &= \gamma_{ss^\prime_x}(ct - \beta_{ss^\prime_x} x), \\ x^\prime &= \gamma_{ss^\prime_x}(x - \beta_{ss^\prime_x} ct), \\ y^\prime &= y, \\ z^\prime &= z. \end{array}

Desarrollo para longitudes de tiempo puro

Supongamos que los eventos A y B, observados desde el marco de referencia S, están separados solo por el tiempo, como los tic-tacs de un reloj. En este caso, el tiempo transcurrido entre un tic-tac se calculará de la siguiente manera:

c\Delta t = c(t_B - t_A)

Por otro lado, la separación temporal entre el mismo par de eventos observados desde S^\prime será:

c\Delta t^\prime = c(t^\prime_B - t^\prime_A)

Estas separaciones temporales están relacionadas a través de las transformaciones de Lorentz de la manera siguiente:

\begin{array}{rl} c\Delta t^\prime &= c(t^\prime_B - t^\prime_A) \\ \\ &= ct^\prime_B - ct^\prime_A \\ \\ &= \gamma_{ss^\prime_x}(ct_B - \beta_{ss^\prime_x} x_B) - \gamma_{ss^\prime_x}(ct_A - \beta_{ss^\prime_x} x_A) \\ \\ &= \gamma_{ss^\prime_x}c \Delta t - \gamma_{ss^\prime_x} \beta_{ss^\prime_x} \Delta x \end{array}

Ahora, dado que los eventos A y B están separados únicamente en el tiempo para el observador en S, tenemos que \Delta x = 0. Por lo tanto:

\boxed{\Delta t^\prime = \gamma_{ss^\prime_x} \Delta t}

Es importante destacar que:

\gamma_{ss^\prime_x} = \dfrac{1}{\sqrt{1 - \beta^2_{ss^\prime_x}}} \in [1, +\infty[

Esto se debe a que \beta^2_{ss^\prime_x} = \dfrac{v^2_{ss^\prime_x}}{c^2} \in [0,1[.

En términos simples, si un observador en S mide un intervalo de tiempo \Delta t como el tic-tac de un reloj, un observador en S^\prime medirá este mismo intervalo como \gamma_{ss^\prime_x} \Delta t, que es mayor o igual a \Delta t. Este efecto, conocido como dilatación del tiempo, indica cómo se extiende el tiempo entre observadores inerciales que experimentan un boost de velocidad \beta_{ss^\prime_x}. Por lo tanto, el transcurso del tiempo no es el mismo para todos los observadores inerciales, evidenciando que las longitudes de tiempo no son invariantes bajo transformaciones de Lorentz.

Desarrollo para Longitudes de Espacio Puro

Supongamos que los eventos A y B están separados únicamente en el espacio, como los extremos de una regla. Asumimos, sin pérdida de generalidad, que esta regla está orientada a lo largo del eje \hat{x} de S. Entonces, tendremos:

\Delta x = x_B - x_A

Vista desde S^\prime, esta separación espacial sería:

\Delta x^\prime = x^\prime_B - x^\prime_A

Aplicando las transformaciones de Lorentz, podemos establecer la relación entre ambas observaciones:

\begin{array}{rl} \Delta x^\prime &= x^\prime_B - x^\prime_A \\ \\ &= \gamma_{ss^\prime}(x_B - \beta_{ss^\prime_x} ct_B) - \gamma_{ss^\prime}(x_A - \beta_{ss^\prime_x} ct_A) \\ \\ &= \gamma_{ss^\prime} \Delta x - \gamma_{ss^\prime}\beta_{ss^\prime_x} c \Delta t \end{array}

Dado que los eventos A y B son simultáneos para S, se deduce que \Delta t = 0, y por lo tanto:

\boxed{\Delta x^\prime = \gamma_{ss^\prime} \Delta x}

Por ejemplo, si colocamos una regla de longitud l_0 dentro de un vagón de tren (observador S^\prime), que se mueve con respecto a nosotros (observador S), y la regla está alineada con la dirección del movimiento, la longitud observada será:

\begin{array}{rl} & l_0 = \gamma_{ss^\prime} l \\ \\ \equiv & l = \dfrac{l_0}{\gamma_{ss^\prime}} \leq l_0. \end{array}

Esto significa que percibiremos la longitud de la regla como si fuera más corta de lo que es en realidad. Este fenómeno es conocido como contracción de Lorentz y demuestra que los intervalos de espacio no se conservan bajo transformaciones de Lorentz.

Desarrollo para Longitudes de Espaciotiempo

Tras analizar cómo se transforman las longitudes de espacio puro y de tiempo puro, examinemos ahora el comportamiento de las longitudes de espaciotiempo bajo transformaciones de Lorentz. Recordemos que una longitud de espaciotiempo, observada por el observador S^\prime para dos eventos A y B, se expresa de la siguiente manera:

\begin{array}{rl} \Delta s^{\prime 2} &= {c^2\Delta t^{\prime 2} - (\Delta x^{\prime 2} + \Delta y^{\prime 2} + \Delta z^{\prime 2})} \end{array}

A continuación, veremos cómo se relacionan estas longitudes después de aplicar las transformaciones de Lorentz, en el caso de que S^\prime tenga un boost de velocidad \beta_{ss^\prime_x} con respecto a S.

\color{black} \begin{array}{rl} \Delta s^{\prime 2} &= (\gamma_{ss^\prime_x}c \Delta t - \gamma_{ss^\prime_x} \beta_{ss^\prime_x} \Delta x)^2 - \left[(\gamma_{ss^\prime_x} \Delta x - \gamma_{ss^\prime_x}\beta_{ss^\prime_x} c \Delta t)^2 + \Delta y^2 + \Delta z^2 \right] \\ \\ &= \color{blue}\gamma_{ss^\prime_x}^2 c^2 \Delta t^2\color{black} - \cancel{2\gamma_{ss^\prime_x}^2c\beta_{ss^\prime_x}\Delta x\Delta t} + \color{red}\gamma_{ss^\prime_x}^2\beta_{ss^\prime_x}^2 \Delta x^2\color{black} + \cdots \\ \\ &\cdots - \color{red}\gamma_{ss^\prime_x}^2\Delta x^2\color{black} + \cancel{2\gamma_{ss^\prime_x}^2c\beta_{ss^\prime_x}\Delta x \Delta t} - \color{blue}\gamma_{ss^\prime_x}^2\beta_{ss^\prime_x}^2c^2\Delta t^2\color{black} - \Delta y^2 - \Delta z^2 \\ \\ & = \color{blue}(1-\beta_{ss^\prime_x}^2) \gamma_{ss^\prime_x}^2 c^2 \Delta t^2 \color{black} - \color{red}(1-\beta_{ss^\prime_x}^2)\gamma_{ss^\prime_x}^2\Delta x^2\color{black} - \Delta y^2 - \Delta z^2 \end{array}

Finalmente, notando que \gamma_{ss^\prime_x}^{-2} = 1-\beta_{ss^\prime_x}^2 se tiene que

\Delta s^{\prime 2} = c^2 \Delta t^2 - \Delta x^2 - \Delta y^2 - \Delta z^2 = \Delta s^2

Con esto, hemos demostrado que, a diferencia de las longitudes de tiempo y espacio puros, las longitudes de espaciotiempo se mantienen constantes bajo transformaciones de Lorentz.