Introducción

Hasta este punto, hemos examinado detalladamente la forma en que se efectúan las transformaciones de Lorentz, es decir, la manera en que las coordenadas en el espaciotiempo de Minkowski de un evento específico se alteran cuando son observadas desde diferentes marcos de referencia inerciales. Lo que haremos a continuación será revisar una perspectiva diferente para estos desarrollos, visualizándolas como transformaciones de rotaciones de espaciotiempo. Pronto descubriremos que este enfoque aporta ventajas al nivel algebráico, las cuales simplifican en general los cálculos, especialmente a la hora de combinar varias transformaciones de Lorentz consecutivas.

Rotaciones en el Espaciotiempo de Minkowski

Iniciemos analizando cómo se efectúan las diversas rotaciones espaciales en el espaciotiempo de Minkowski. Dado que este es un espacio de cuatro dimensiones, lo más práctico para establecer una rotación es hacerlo con respecto a un plano específico. De esta forma, podemos definir rotaciones sobre los planos xy, xz e yz, así como también sobre los planos xt, yt y zt. Las rotaciones llevadas a cabo en planos formados por ejes espaciales son rotaciones puramente espaciales, mientras que las realizadas en planos compuestos por ejes de espacio y tiempo son rotaciones espaciotemporales. Por el momento, nos enfocaremos en entender en detalle las rotaciones espaciales puras para luego ampliar este conocimiento a las rotaciones espaciotemporales.

Rotaciones espaciales puras

Iniciemos nuestro estudio de las rotaciones espaciales revisando cómo se realizan las rotaciones en el plano xy. Para ello, supongamos que tenemos un punto con coordenadas (a,b) respecto al sistema definido por los ejes \hat{x} e \hat{y}. Luego, analicemos la relación que conecta estas coordenadas con las que observaría un sistema de referencia rotado. Este sistema está definido por los ejes \hat{x}^\prime e \hat{y}^\prime, los cuales están rotados un ángulo \theta con respecto al sistema original, como se muestra en la figura siguiente:

Para obtener las relaciones entre las cordenadas (a,b) y (a^\prime,b^\prime) medido desde cada sistema, podemos utilizar las siguientes lineas guía:

De modo tal que ahora es sencillo obtener las ecuaciones de transformación

\begin{array}{rcl} a^\prime & = & \phantom{-}a\cos(\theta) + b\sin(\theta) \\ b^\prime & = & -a \sin(\theta) + b \cos(\theta) \end{array}

Generalización Matricial para Rotaciones Tridimensionales

Este sistema de ecuaciones se puede representar de manera más conveniente en su forma matricial.

\left(\begin{array}{r} a^\prime \\ b^\prime \end{array}\right) = \left(\begin{array}{cc} \cos(\theta) & \sin(\theta) \\ -\sin(\theta) & \cos(\theta)\end{array}\right) \left(\begin{array}{r} a \\ b \end{array}\right)

Esto es conveniente, porque a partir de aquí es fácil generalizar para dimensiones más grandes. Por ejemplo, un punto con coordenadas (a,b,c) en el sistema formado por los ejes \hat{x}, \hat{y} y \hat{z}, observado desde otro sistema formado por los ejes \hat{x}^\prime, \hat{y}^\prime y \hat{z}^\prime, que se distingue del sistema original por una rotación en un ángulo \theta respecto del plano \hat{x}\hat{y}, sería:

\left(\begin{array}{r} a^\prime \\ b^\prime \\ c^\prime \end{array}\right) = \left(\begin{array}{ccc} \cos(\theta) & \sin(\theta) & 0 \\ -\sin(\theta) & \cos(\theta) & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right) \left(\begin{array}{r} a \\ b \\ c\end{array}\right)

A partir de esto, obtenemos las distintas matrices de transformación de rotaciones para cada uno de los planos espaciales.

\begin{array}{rll} R_{xy}(\theta)= & \left(\begin{array}{ccc} \cos(\theta) & \sin(\theta) & 0 \\ -\sin(\theta) & \cos(\theta) & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right) & \begin{array}{l} \text{Rotación en un ángulo }\theta\\ \text{sobre el plano }xy \end{array} \\ \\ R_{yz}(\theta)= & \left(\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \\ 0 & \cos(\theta) & \sin(\theta) \\ 0 & -\sin(\theta) & \cos(\theta)\end{array}\right) & \begin{array}{l} \text{Rotación en un ángulo }\theta\\ \text{sobre el plano }yz \end{array} \\ \\ R_{xz}(\theta)= & \left(\begin{array}{ccc} \cos(\theta) & 0 & \sin(\theta) \\ 0 & 1 & 0 \\ -\sin(\theta) & 0 & \cos(\theta)\end{array}\right) & \begin{array}{l} \text{Rotación en un ángulo }\theta\\ \text{sobre el plano }xz \end{array} \end{array}

Para calcular la transformación inversa de estas transformaciones de rotación, basta con sustituir \theta por -\theta.

Rotaciones Espaciales para Eventos con Coordenadas de Espaciotiempo

De manera similar a cómo generalizamos de dos a tres dimensiones, podemos extender esto a cuatro dimensiones. Para mantener la coherencia con el lenguaje de la relatividad especial, es importante entender el significado de cada coordenada. Generalmente, las coordenadas de espaciotiempo se expresan de la siguiente manera:

x^\mu = (x^0, x^1, x^2, x^3) = (ct, x, y, z)

Aquí, los superíndices no denotan potencias, sino que indican las características de cada coordenada. La coordenada con superíndice 0 representa la dimensión temporal, mientras que las coordenadas con superíndices 1, 2 y 3 corresponden a las dimensiones espaciales. Con esto en mente, las rotaciones puramente espaciales en el espaciotiempo de Minkowski se describen mediante las siguientes relaciones:

Rotación respecto al plano xy: \underbrace{\left(\begin{array}{r} x^{\prime 0} \\ x^{\prime 1} \\ x^{\prime 2} \\ x^{\prime 3} \end{array}\right)}_{\large{x^{\prime \mu}}} = \underbrace{\left(\begin{array}{cccc} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & \cos(\theta) & \sin(\theta) & 0 \\ 0 & -\sin(\theta) & \cos(\theta) & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right)}_{\large{{R_{xy}(\theta)^\mu}_\nu}} \underbrace{\left(\begin{array}{c} x^0 \\ x^1 \\ x^2 \\ x^3 \end{array}\right)}_{\large{x^{\nu}}}

Rotación respecto al plano yz: \underbrace{\left(\begin{array}{c} x^{\prime 0} \\ x^{\prime 1} \\ x^{\prime 2} \\ x^{\prime 3} \end{array}\right)}_{\large{x^{\prime \mu}}} = \underbrace{\left(\begin{array}{cccc} 1 & 0 & 0 & 0 \\ {} 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & \cos(\theta) & \sin(\theta) \\ 0 & 0 & -\sin(\theta) & \cos(\theta) \end{array}\right)}_{\large{{R_{yz}(\theta)^\mu}_\nu}} \underbrace{\left(\begin{array}{r} x^0 \\ x^1 \\ x^2 \\ x^3 \end{array}\right)}_{\large{x^{\nu}}}

Rotación respecto al plano xz: \underbrace{\left(\begin{array}{c} x^{\prime 0} \\ {}x^{\prime 1} \\ x^{\prime 2} \\ x^{\prime 3} \end{array}\right)}_{\large{x^{\prime \mu}}} = \underbrace{\left(\begin{array}{cccc} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & \cos(\theta) & 0 & \sin(\theta) \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & -\sin(\theta) & 0 & \cos(\theta) \end{array}\right)}_{\large{{R_{xz}(\theta)^\mu}_\nu}} \underbrace{\left(\begin{array}{r} x^0 \\ {} x^1 \\ x^2 \\ x^3 \end{array}\right)}_{\large{x^{\nu}}}

Estas transformaciones de mantienen exactamente las mismas propiedades que sus homólogas en tres dimensiones.

Rotaciones hiperbólicas de espaciotiempo

Introduciendo el parámetro de velocidad

La similitud entre las transformaciones de Lorentz y una rotación espacial se puede obtener introduciendo lo que llamamos parámetro de velocidad

\psi_{ss^\prime_x}= \text{argtanh}(\beta_{ss^\prime_x}).

Dado que \beta_{ss^\prime_x}\in]-1,1[, se tiene que \psi_{ss^\prime_x}\in\mathbb{R}. Además notemos que, a partir de esto se tendrá que \gamma_{ss^\prime_x}=\cosh(\psi_{ss^\prime_x}) y \gamma_{ss^\prime_x} \beta_{ss^\prime_x} = \sinh(\psi_{ss^\prime_x}). Esto se obtiene a partir de los siguientes cálculos:

Es claro que \psi_{ss^\prime_x}= \text{argtanh}(\beta_{ss^\prime_x}) es equivalente a decir \beta_{ss^\prime_x} =\tanh(\psi_{ss^\prime_x}); y por lo tanto:

\begin{array}{rl} \gamma^2_{ss^\prime_x} &= \dfrac{1}{1-\beta^2_{ss^\prime_x}} \\ \\ & = \dfrac{1}{1-\tanh^2(\psi_{ss^\prime_x})} \\ \\ {} & = \dfrac{\cosh^2(\psi_{ss^\prime_x})}{\cosh^2(\psi_{ss^\prime_x}) - \sinh^2(\psi_{ss^\prime_x})} \\ \\ & = \cosh^2(\psi_{ss^\prime_x}) \end{array}

Como tanto el factor gamma como el coseno hiperbólico son siempre mayores o iguales a 1, queda demostrado finalmente que \gamma_{ss^\prime_x} = \cosh(\psi_{ss^\prime_x}).

De forma semejante continuando los cálculos realizados anteriormente, se tiene:

\gamma^2_{ss^\prime_x} \beta^2_{ss^\prime_x} = \cosh^2(\psi_{ss^\prime_x}) \tanh^2(\psi_{ss^\prime_x})= \sinh^2(\psi_{ss^\prime_x}).

Y por lo tanto \gamma_{ss^\prime_x} \beta_{ss^\prime_x} = \sinh(\psi_{ss^\prime_x}).

Formulando las Rotaciones Espaciotemporales como Rotaciones Hiperbólicas

Habiendo llegado a este punto, ahora podemos reescribir el factor asociado al boost de velocidad y el factor gamma utilizando el parámetro de velocidad en las transformaciones de Lorentz. Considerando dos sistemas inerciales S y S^\prime en configuración estándar, donde al segundo se le aplica un boost sobre el eje x, \beta_{ss^\prime_x}, se tiene:

\begin{array}{rl} ct^\prime &= \gamma_{ss^\prime_x}(ct - \beta_{ss^\prime_x} x) \\ &= \gamma_{ss^\prime_x} ct - \gamma_{ss^\prime_x}\beta_{ss^\prime_x} x \\ &= ct\cosh(\psi_{ss^\prime_x}) - x\sinh(\psi_{ss^\prime_x}), \\ \\ x^\prime &= \gamma_{ss^\prime_x}(x - \beta_{ss^\prime_x} ct) \\ &= -\gamma_{ss^\prime_x}\beta_{ss^\prime_x} ct + \gamma_{ss^\prime_x}x \\ &= -ct \sinh(\psi_{ss^\prime_x}) + x\cosh(\psi_{ss^\prime_x}), \\ \\ y^\prime &= y, \\ \\ z^\prime &= z. \end{array}

Este sistema de ecuaciones admite la siguiente representación matricial:

Rotación Hiperbólica de Espaciotiempo sobre el Plano tx:

\begin{array}{rl} \underbrace{\left( \begin{array}{c} ct^\prime \\ x^\prime \\ y^\prime \\ z^\prime \end{array} \right)}_{\large{x^{\prime \mu}}} &= \underbrace{\left( \begin{array}{cccc} \cosh(\psi_{ss^\prime_x}) & -\sinh(\psi_{ss^\prime_x}) & 0 & 0 \\ - \sinh(\psi_{ss^\prime_x}) & \cosh(\psi_{ss^\prime_x}) & 0 & 0 \\ {} 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right)}_{\large{{R_{tx}(\psi_{ss^\prime_x})^\mu}_\nu}} \underbrace{\left( \begin{array}{c} ct \\ x \\ y \\ z \end{array} \right)}_{\large{x^{\nu}}} \end{array}

De manera análoga, tenemos rotaciones hiperbólicas sobre cada uno de los planos de espaciotiempo:

Rotación Hiperbólica de Espaciotiempo sobre el Plano ty:

\begin{array}{rl} \underbrace{\left( \begin{array}{c} ct^\prime \\ x^\prime \\ y^\prime \\ z^\prime \end{array} \right)}_{\large{x^{\prime \mu}}} &= \underbrace{\left(\begin{array}{cccc} \cosh(\psi_{ss^\prime_y}) & 0 & -\sinh(\psi_{ss^\prime_y}) & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ {} - \sinh(\psi_{ss^\prime_y}) & 0 & \cosh(\psi_{ss^\prime_y}) & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right)}_{\large{{R_{ty}(\psi_{ss^\prime_y})^\mu}_\nu}} \underbrace{\left( \begin{array}{c} ct \\ x \\ y \\ z \end{array} \right)}_{\large{x^{\nu}}} \end{array}

Rotación Hiperbólica de Espaciotiempo sobre el Plano tz:

\begin{array}{rl} \underbrace{\left( \begin{array}{c} ct^\prime \\ x^\prime \\ y^\prime \\ z^\prime \end{array} \right)}_{\large{x^{\prime \mu}}} &= \underbrace{\left( \begin{array}{cccc} \cosh(\psi_{ss^\prime_z}) & 0 & 0 & -\sinh(\psi_{ss^\prime_z}) \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ {} - \sinh(\psi_{ss^\prime_z}) & 0 & 0 & \cosh(\psi_{ss^\prime_z}) \end{array}\right)}_{\large{{R_{tz}(\psi_{ss^\prime_z})^\mu}_\nu}} \underbrace{\left( \begin{array}{c} ct \\ x \\ y \\ z \end{array} \right)}_{\large{x^{\nu}}} \end{array}

Por su forma y propiedades algebraicas, estas transformaciones son muy similares a una rotación espacial, solo que en lugar de usar funciones trigonométricas, emplean funciones hiperbólicas. Aunque no son rotaciones en el sentido estricto, mantienen cierta analogía con las rotaciones revisadas al principio. Por ejemplo, de manera similar a como ocurre con las rotaciones, la transformación inversa se obtiene reemplazando el parámetro de velocidad correspondiente \psi por -\psi. Estas transformaciones son a veces denominadas como rotaciones hiperbólicas, y el parámetro de velocidad se conoce también como ángulo hiperbólico.