Überblick über die Lorentz-Transformationen

In der speziellen Relativitätstheorie wird die Vorstellung einer absoluten Zeit verworfen. Stattdessen wird festgelegt, dass die Lichtgeschwindigkeit, c, in allen Inertialsystemen konstant ist. Diese Änderung, kombiniert mit dem Relativitätsprinzip, führt uns zu den Lorentz-Transformationen. Diese Transformationen verbinden die Koordinaten eines Ereignisses, das von zwei verschiedenen Inertialsystemen beobachtet wird. Dieses Thema wird ausführlich in der Vorlesung Lorentz-Transformationen in der Speziellen Relativitätstheorie behandelt.

Betrachtet man die Inertialsysteme S und S^\prime in Standardkonfiguration, bei der ihre Achsen und Ursprünge bei t=t^\prime =0 zusammenfallen, und ein Photon, das bei t=t^\prime = 0 vom Ursprung ausgesandt wird, so müssen die Raum- und Zeitkoordinaten des Photons in jedem System die folgende Gleichung erfüllen:

c^2t^2 - x^2 - y^2 - z^2 = c^2{t^\prime}^2 - {x^\prime}^2 - {y^\prime}^2 - {z^\prime}^2 = 0.

Ausgehend von dieser Gleichung und dem Relativitätsprinzip leiten wir die bekannten Lorentz-Transformationen her:

\begin{array}{rl} ct^\prime &= \gamma_{ss^\prime_x}(ct - \beta_{ss^\prime_x} x), \\ x^\prime &= \gamma_{ss^\prime_x}(x - \beta_{ss^\prime_x} ct), \\ y^\prime &= y, \\ z^\prime &= z. \end{array}

Dabei ist \beta_{ss^\prime_x} =v_{ss^\prime_x}/c der von S^\prime beim Bewegen relativ zu S mit einer Geschwindigkeit v_{ss^\prime_x} erworbene Geschwindigkeits-Boost, und \gamma_{ss^\prime_x} = 1/\sqrt{1-\beta_{ss^\prime_x}^2} der zugehörige Lorentz-Faktor. Diese Lorentz-Transformation in Richtung \hat{x} vereinfacht sich zur galileischen Transformation, wenn v_{ss^\prime_x} \ll c.

Ähnlich wie bei den galileischen Transformationen existiert eine Symmetrie, die es erleichtert, die inverse Transformation zu berechnen, indem man einfach die Terme vertauscht und berücksichtigt, dass \beta_{ss^\prime_x} = -\beta_{s^\prime s_x}:

\begin{array}{rl} ct &= \gamma_{ss^\prime_x}(ct^\prime + \beta_{ss^\prime_x} x^\prime),\\ x &= \gamma_{ss^\prime_x}(x^\prime + \beta_{ss^\prime_x} ct^\prime),\\ y &= y^\prime, \\ z &= z^\prime. \end{array}

Die Minkowski-Raumzeit

Die Lorentz-Transformationen zeigen, dass Raum- und Zeitkoordinaten untrennbar miteinander verflochten sind. Diese Beziehung wird besonders deutlich in der Symmetrie zwischen ct und x. Betrachtet man zwei Ereignisse, A und B, mit den Koordinaten (ct_A, x_A, y_A, z_A) und (ct_B, x_B, y_B, z_B). Im System S definieren wir den quadratischen Abstand wie folgt:

\begin{array}{rl} \Delta s^2 &= c^2(t_B - t_A)^2 - (x_B - x_A)^2 - (y_B - y_A)^2 - (z_B - z_A)^2 \\ \\ &= c^2\Delta t^2 - \Delta x^2 - \Delta y^2 - \Delta z^2 \\ \\ &= c^2\Delta t^2 - (\Delta x^2 + \Delta y^2 + \Delta z^2) \end{array}

Der Raumzeitabstand, \Delta s, lässt sich schreiben als \Delta s = \sqrt{c^2\Delta t^2 - (\Delta x^2 + \Delta y^2 + \Delta z^2)}. Hierbei stellt \Delta t eine Zeitlänge dar, und \Delta r = \sqrt{\Delta x^2 + \Delta y^2 + \Delta z^2} ist eine Raumlänge.

Die Minkowski-Raumzeit, die durch dieses Konzept des Raumzeitabstandes \Delta s charakterisiert ist, ist grundlegend für die spezielle Relativitätstheorie. Sie wurde von Hermann Minkowski eingeführt und unterscheidet sich von den Raum- und Zeitkoordinaten dadurch, dass sie unter Lorentz-Transformationen invariant bleibt.

\Delta s = \Delta s^\prime

In diesem Modell werden Raum und Zeit zu einem vierdimensionalen Kontinuum vereint. Im Unterschied zur euklidischen Geometrie ist die Geometrie der Minkowski-Raumzeit aufgrund der negativen Vorzeichen in ihren Raumkomponenten pseudo-euklidisch. Dennoch bleibt für eine konstante Zeit t die räumliche Geometrie von Minkowski euklidisch.

Was geschieht mit den Raum-, Zeit- und Raumzeitlängen bei Lorentz-Transformationen?

Wie bereits erwähnt, sind die Raumzeitlängen \Delta s unter Lorentz-Transformationen invariant. Darüber hinaus ändern sich jedoch die Zeit- und Raumlängen, wenn sie getrennt betrachtet werden, tatsächlich unter diesen Transformationen. Im Folgenden werden wir diese Tatsachen Schritt für Schritt herleiten.

Zunächst erinnern wir uns an die zu Beginn betrachteten Ereignisse A und B mit ihren jeweiligen Raumzeitkoordinaten im Bezugssystem S:

• Ereignis A: (ct_A,x_A, y_A, z_A)
• Ereignis B: (ct_B,x_B, y_B, z_B)

Für diese Herleitungen verwenden wir ohne Einschränkung der Allgemeinheit die Lorentz-Transformationen für die Systeme S und S^\prime in Standardkonfiguration, wobei sich S^\prime mit der Geschwindigkeit \vec{v}_{ss^\prime_x}= v_{ss^\prime_x} \hat{x} = \beta_{ss^\prime_x}c \hat{x} relativ zu S bewegt.

\begin{array}{rl} ct^\prime &= \gamma_{ss^\prime_x}(ct - \beta_{ss^\prime_x} x), \\ x^\prime &= \gamma_{ss^\prime_x}(x - \beta_{ss^\prime_x} ct), \\ y^\prime &= y, \\ z^\prime &= z. \end{array}

Herleitung für reine Zeitlängen

Nehmen wir an, dass die Ereignisse A und B, die im Referenzsystem S beobachtet werden, nur durch die Zeit getrennt sind, wie die Ticks einer Uhr. In diesem Fall wird die zwischen zwei Ticks verstrichene Zeit wie folgt berechnet:

c\Delta t = c(t_B - t_A)

Andererseits wird der Zeitabstand zwischen demselben Ereignispaar, das von S^\prime aus beobachtet wird, folgendermaßen sein:

c\Delta t^\prime = c(t^\prime_B - t^\prime_A)

Diese Zeitabstände stehen über die Lorentz-Transformationen in folgender Weise miteinander in Beziehung:

\begin{array}{rl} c\Delta t^\prime &= c(t^\prime_B - t^\prime_A) \\ \\ &= ct^\prime_B - ct^\prime_A \\ \\ &= \gamma_{ss^\prime_x}(ct_B - \beta_{ss^\prime_x} x_B) - \gamma_{ss^\prime_x}(ct_A - \beta_{ss^\prime_x} x_A) \\ \\ &= \gamma_{ss^\prime_x}c \Delta t - \gamma_{ss^\prime_x} \beta_{ss^\prime_x} \Delta x \end{array}

Da die Ereignisse A und B für den Beobachter in S ausschließlich zeitlich getrennt sind, gilt \Delta x = 0. Daher:

\boxed{\Delta t^\prime = \gamma_{ss^\prime_x} \Delta t}

Es ist wichtig hervorzuheben, dass:

\gamma_{ss^\prime_x} = \dfrac{1}{\sqrt{1 - \beta^2_{ss^\prime_x}}} \in [1, +\infty[

Dies liegt daran, dass \beta^2_{ss^\prime_x} = \dfrac{v^2_{ss^\prime_x}}{c^2} \in [0,1[.

Einfach ausgedrückt: Wenn ein Beobachter in S ein Zeitintervall \Delta t wie den Tick einer Uhr misst, so misst ein Beobachter in S^\prime dasselbe Intervall als \gamma_{ss^\prime_x} \Delta t, das größer oder gleich \Delta t ist. Dieser Effekt, bekannt als Zeitdilatation, zeigt, wie sich die Zeit zwischen Inertialsystemen ausdehnt, die einen Geschwindigkeits-Boost \beta_{ss^\prime_x} erfahren. Folglich vergeht die Zeit nicht für alle Inertialsysteme gleich, was verdeutlicht, dass Zeitlängen unter Lorentz-Transformationen nicht invariant sind.

Herleitung für reine Raumlängen

Nehmen wir an, dass die Ereignisse A und B ausschließlich räumlich getrennt sind, wie die Endpunkte eines Lineals. Wir nehmen ohne Einschränkung der Allgemeinheit an, dass dieses Lineal entlang der Achse \hat{x} von S orientiert ist. Dann gilt:

\Delta x = x_B - x_A

Aus der Sicht von S^\prime wäre diese räumliche Trennung:

\Delta x^\prime = x^\prime_B - x^\prime_A

Durch Anwendung der Lorentz-Transformationen können wir die Beziehung zwischen beiden Beobachtungen herstellen:

\begin{array}{rl} \Delta x^\prime &= x^\prime_B - x^\prime_A \\ \\ &= \gamma_{ss^\prime}(x_B - \beta_{ss^\prime_x} ct_B) - \gamma_{ss^\prime}(x_A - \beta_{ss^\prime_x} ct_A) \\ \\ &= \gamma_{ss^\prime} \Delta x - \gamma_{ss^\prime}\beta_{ss^\prime_x} c \Delta t \end{array}

Da die Ereignisse A und B für S gleichzeitig stattfinden, folgt \Delta t = 0, und daher:

\boxed{\Delta x^\prime = \gamma_{ss^\prime} \Delta x}

Wenn wir zum Beispiel ein Lineal der Länge l_0 in einen Eisenbahnwagen legen (Beobachter S^\prime), der sich relativ zu uns (Beobachter S) bewegt, und das Lineal entlang der Bewegungsrichtung ausgerichtet ist, dann wird die beobachtete Länge sein:

\begin{array}{rl} & l_0 = \gamma_{ss^\prime} l \\ \\ \equiv & l = \dfrac{l_0}{\gamma_{ss^\prime}} \leq l_0. \end{array}

Das bedeutet, dass wir die Länge des Lineals kürzer wahrnehmen, als sie tatsächlich ist. Dieses Phänomen ist als Lorentz-Kontraktion bekannt und zeigt, dass Raumintervalle unter Lorentz-Transformationen nicht erhalten bleiben.

Herleitung für Raumzeitlängen

Nachdem wir untersucht haben, wie sich reine Raum- und Zeitlängen transformieren, betrachten wir nun das Verhalten der Raumzeitlängen unter Lorentz-Transformationen. Erinnern wir uns daran, dass eine Raumzeitlänge, die vom Beobachter S^\prime für zwei Ereignisse A und B gemessen wird, folgendermaßen ausgedrückt wird:

\begin{array}{rl} \Delta s^{\prime 2} &= {c^2\Delta t^{\prime 2} - (\Delta x^{\prime 2} + \Delta y^{\prime 2} + \Delta z^{\prime 2})} \end{array}

Als Nächstes sehen wir, wie diese Längen nach Anwendung der Lorentz-Transformationen zusammenhängen, falls S^\prime einen Geschwindigkeits-Boost \beta_{ss^\prime_x} relativ zu S hat.

\color{black} \begin{array}{rl} \Delta s^{\prime 2} &= (\gamma_{ss^\prime_x}c \Delta t - \gamma_{ss^\prime_x} \beta_{ss^\prime_x} \Delta x)^2 - \left[(\gamma_{ss^\prime_x} \Delta x - \gamma_{ss^\prime_x}\beta_{ss^\prime_x} c \Delta t)^2 + \Delta y^2 + \Delta z^2 \right] \\ \\ &= \color{blue}\gamma_{ss^\prime_x}^2 c^2 \Delta t^2\color{black} - \cancel{2\gamma_{ss^\prime_x}^2c\beta_{ss^\prime_x}\Delta x\Delta t} + \color{red}\gamma_{ss^\prime_x}^2\beta_{ss^\prime_x}^2 \Delta x^2\color{black} + \cdots \\ \\ &\cdots - \color{red}\gamma_{ss^\prime_x}^2\Delta x^2\color{black} + \cancel{2\gamma_{ss^\prime_x}^2c\beta_{ss^\prime_x}\Delta x \Delta t} - \color{blue}\gamma_{ss^\prime_x}^2\beta_{ss^\prime_x}^2c^2\Delta t^2\color{black} - \Delta y^2 - \Delta z^2 \\ \\ & = \color{blue}(1-\beta_{ss^\prime_x}^2) \gamma_{ss^\prime_x}^2 c^2 \Delta t^2 \color{black} - \color{red}(1-\beta_{ss^\prime_x}^2)\gamma_{ss^\prime_x}^2\Delta x^2\color{black} - \Delta y^2 - \Delta z^2 \end{array}

Schließlich, da \gamma_{ss^\prime_x}^{-2} = 1-\beta_{ss^\prime_x}^2, erhält man

\Delta s^{\prime 2} = c^2 \Delta t^2 - \Delta x^2 - \Delta y^2 - \Delta z^2 = \Delta s^2

Damit haben wir gezeigt, dass sich im Gegensatz zu reinen Zeit- und Raumlängen die Raumzeitlängen unter Lorentz-Transformationen konstant bleiben.