ローレンツ変換の復習

特殊相対性理論においては、絶対的な時間という考え方は否定される。その代わりに、光速度 c はすべての慣性系において一定であるとされる。この変化は相対性原理と組み合わされ、ローレンツ変換へと導かれる。これらの変換は、二つの異なる慣性系から観測された事象の座標を結びつける。本テーマの詳細は、特殊相対性理論におけるローレンツ変換の講義で扱われている。

慣性系 S と S^\prime を標準的な配置で考えるとき、その軸と原点は t=t^\prime =0 で一致し、さらに t=t^\prime = 0 において原点から発せられた光子の空間座標と時間座標は、それぞれの系において次の式を満たさなければならない:

c^2t^2 - x^2 - y^2 - z^2 = c^2{t^\prime}^2 - {x^\prime}^2 - {y^\prime}^2 - {z^\prime}^2 = 0.

この式と相対性原理から、よく知られているローレンツ変換を導くことができる:

\begin{array}{rl} ct^\prime &= \gamma_{ss^\prime_x}(ct - \beta_{ss^\prime_x} x), \\ x^\prime &= \gamma_{ss^\prime_x}(x - \beta_{ss^\prime_x} ct), \\ y^\prime &= y, \\ z^\prime &= z. \end{array}

ここで \beta_{ss^\prime_x} =v_{ss^\prime_x}/c は、S に対して速度 v_{ss^\prime_x} で運動する S^\prime が獲得する速度ブーストであり、\gamma_{ss^\prime_x} = 1/\sqrt{1-\beta_{ss^\prime_x}^2} は対応するローレンツ因子である。\hat{x} 方向のこのローレンツ変換は、v_{ss^\prime_x} \ll c の場合、ガリレイ変換へと単純化される。

ガリレイ変換と同様に、逆変換を計算する際には対称性が存在し、項を入れ替え、さらに \beta_{ss^\prime_x} = -\beta_{s^\prime s_x} を考慮するだけでよい:

\begin{array}{rl} ct &= \gamma_{ss^\prime_x}(ct^\prime + \beta_{ss^\prime_x} x^\prime),\\ x &= \gamma_{ss^\prime_x}(x^\prime + \beta_{ss^\prime_x} ct^\prime),\\ y &= y^\prime, \\ z &= z^\prime. \end{array}

ミンコフスキー時空

ローレンツ変換は、空間座標と時間座標が本質的に絡み合っていることを示す。この関係は ct と x の対称性において特に明確である。2つの事象 A と B を、それぞれの座標 (ct_A, x_A, y_A, z_A) および (ct_B, x_B, y_B, z_B) で考える。S 系において、次のように二乗距離を定義する:

\begin{array}{rl} \Delta s^2 &= c^2(t_B - t_A)^2 - (x_B - x_A)^2 - (y_B - y_A)^2 - (z_B - z_A)^2 \\ \\ &= c^2\Delta t^2 - \Delta x^2 - \Delta y^2 - \Delta z^2 \\ \\ &= c^2\Delta t^2 - (\Delta x^2 + \Delta y^2 + \Delta z^2) \end{array}

時空間距離 \Delta s は、\Delta s = \sqrt{c^2\Delta t^2 - (\Delta x^2 + \Delta y^2 + \Delta z^2)} と表される。ここで、\Delta t は時間的長さを表し、\Delta r = \sqrt{\Delta x^2 + \Delta y^2 + \Delta z^2} は空間的長さである。

この時空間距離 \Delta s の概念によって特徴づけられるミンコフスキー時空は、特殊相対性理論において基本的なものである。これはヘルマン・ミンコフスキーによって導入され、ローレンツ変換の下で不変である点において空間座標や時間座標とは異なる。

\Delta s = \Delta s^\prime

このモデルでは、空間と時間は四次元連続体に統合される。ユークリッド幾何学とは異なり、ミンコフスキー時空の幾何学はその空間成分に負の符号を含むため擬ユークリッド的である。しかし、一定の時間 t に対しては、ミンコフスキーの空間幾何学はユークリッド的に保たれる。

ローレンツ変換において空間、時間、そして時空の長さはどうなるのか?

前述のように、時空の長さ \Delta s はローレンツ変換の下で不変である。しかしその一方で、時間の長さと空間の長さはそれぞれ別々に見ると、これらの変換の下で変化する。以下ではこれらの事実を段階的に証明する。

まず、冒頭で考えた事象 A と B を、それぞれ系 S における時空間座標とともに思い出そう:

• 事象 A: (ct_A,x_A, y_A, z_A)
• 事象 B: (ct_B,x_B, y_B, z_B)

これらの展開においては、一般性を失うことなく、標準配置にある系 S と S^\prime のローレンツ変換を用いる。ここで S^\prime は S に対して速度 \vec{v}_{ss^\prime_x}= v_{ss^\prime_x} \hat{x} = \beta_{ss^\prime_x}c \hat{x} で運動している。

\begin{array}{rl} ct^\prime &= \gamma_{ss^\prime_x}(ct - \beta_{ss^\prime_x} x), \\ x^\prime &= \gamma_{ss^\prime_x}(x - \beta_{ss^\prime_x} ct), \\ y^\prime &= y, \\ z^\prime &= z. \end{array}

純粋な時間の長さの展開

系 S から観測された事象 A と B が、時計のチクタクのように時間によってのみ隔てられていると仮定する。この場合、チクタク間の経過時間は次のように計算される:

c\Delta t = c(t_B - t_A)

一方で、同じ一対の事象を S^\prime から観測した場合の時間的分離は次のようになる:

c\Delta t^\prime = c(t^\prime_B - t^\prime_A)

これらの時間的分離は、ローレンツ変換によって次のように関連づけられる:

\begin{array}{rl} c\Delta t^\prime &= c(t^\prime_B - t^\prime_A) \\ \\ &= ct^\prime_B - ct^\prime_A \\ \\ &= \gamma_{ss^\prime_x}(ct_B - \beta_{ss^\prime_x} x_B) - \gamma_{ss^\prime_x}(ct_A - \beta_{ss^\prime_x} x_A) \\ \\ &= \gamma_{ss^\prime_x}c \Delta t - \gamma_{ss^\prime_x} \beta_{ss^\prime_x} \Delta x \end{array}

さて、事象 A と B が系 S の観測者にとって時間のみで隔てられている場合、\Delta x = 0 となる。したがって次のようになる:

\boxed{\Delta t^\prime = \gamma_{ss^\prime_x} \Delta t}

ここで重要なのは次の点である:

\gamma_{ss^\prime_x} = \dfrac{1}{\sqrt{1 - \beta^2_{ss^\prime_x}}} \in [1, +\infty[

これは \beta^2_{ss^\prime_x} = \dfrac{v^2_{ss^\prime_x}}{c^2} \in [0,1[ であるためである。

言い換えれば、系 S の観測者が時計のチクタクのような時間間隔 \Delta t を測定する場合、系 S^\prime の観測者はこの同じ間隔を \gamma_{ss^\prime_x} \Delta t として測定し、これは \Delta t 以上となる。この効果は時間の遅れとして知られ、速度ブースト \beta_{ss^\prime_x} を経験する慣性系の観測者間で時間がどのように引き延ばされるかを示している。したがって、時間の経過はすべての慣性系の観測者に同じではなく、時間の長さがローレンツ変換の下で不変ではないことが明らかとなる。

純粋な空間の長さの展開

事象 A と B が空間のみによって隔てられていると仮定する。これは物差しの両端のようなものである。一般性を失うことなく、この物差しが S の \hat{x} 軸に沿って配置されていると仮定する。このとき次のようになる:

\Delta x = x_B - x_A

S^\prime から見た場合、この空間的分離は次のようになる:

\Delta x^\prime = x^\prime_B - x^\prime_A

ローレンツ変換を適用すると、両方の観測の関係を次のように定めることができる:

\begin{array}{rl} \Delta x^\prime &= x^\prime_B - x^\prime_A \\ \\ &= \gamma_{ss^\prime}(x_B - \beta_{ss^\prime_x} ct_B) - \gamma_{ss^\prime}(x_A - \beta_{ss^\prime_x} ct_A) \\ \\ &= \gamma_{ss^\prime} \Delta x - \gamma_{ss^\prime}\beta_{ss^\prime_x} c \Delta t \end{array}

事象 A と B が S にとって同時であるため、\Delta t = 0 となり、したがって次が導かれる:

\boxed{\Delta x^\prime = \gamma_{ss^\prime} \Delta x}

例えば、長さ l_0 の物差しを列車の車両（観測者 S^\prime）の中に置き、それが我々（観測者 S）に対して運動しており、かつ物差しが運動方向に沿って配置されている場合、観測される長さは次のようになる:

\begin{array}{rl} & l_0 = \gamma_{ss^\prime} l \\ \\ \equiv & l = \dfrac{l_0}{\gamma_{ss^\prime}} \leq l_0. \end{array}

つまり、我々は物差しの長さを実際よりも短く認識することになる。この現象はローレンツ収縮として知られ、空間の間隔がローレンツ変換の下で保存されないことを示している。

時空の長さの展開

純粋な空間の長さおよび純粋な時間の長さがどのように変換されるかを分析した後、次にローレンツ変換の下での時空の長さの挙動を検討する。観測者 S^\prime によって事象 A と B に対して観測される時空の長さは、次のように表される:

\begin{array}{rl} \Delta s^{\prime 2} &= {c^2\Delta t^{\prime 2} - (\Delta x^{\prime 2} + \Delta y^{\prime 2} + \Delta z^{\prime 2})} \end{array}

次に、S^\prime が S に対して速度ブースト \beta_{ss^\prime_x} を持つ場合、ローレンツ変換を適用した後にこれらの長さがどのように関係するかを確認する。

\color{black} \begin{array}{rl} \Delta s^{\prime 2} &= (\gamma_{ss^\prime_x}c \Delta t - \gamma_{ss^\prime_x} \beta_{ss^\prime_x} \Delta x)^2 - \left[(\gamma_{ss^\prime_x} \Delta x - \gamma_{ss^\prime_x}\beta_{ss^\prime_x} c \Delta t)^2 + \Delta y^2 + \Delta z^2 \right] \\ \\ &= \color{blue}\gamma_{ss^\prime_x}^2 c^2 \Delta t^2\color{black} - \cancel{2\gamma_{ss^\prime_x}^2c\beta_{ss^\prime_x}\Delta x\Delta t} + \color{red}\gamma_{ss^\prime_x}^2\beta_{ss^\prime_x}^2 \Delta x^2\color{black} + \cdots \\ \\ &\cdots - \color{red}\gamma_{ss^\prime_x}^2\Delta x^2\color{black} + \cancel{2\gamma_{ss^\prime_x}^2c\beta_{ss^\prime_x}\Delta x \Delta t} - \color{blue}\gamma_{ss^\prime_x}^2\beta_{ss^\prime_x}^2c^2\Delta t^2\color{black} - \Delta y^2 - \Delta z^2 \\ \\ & = \color{blue}(1-\beta_{ss^\prime_x}^2) \gamma_{ss^\prime_x}^2 c^2 \Delta t^2 \color{black} - \color{red}(1-\beta_{ss^\prime_x}^2)\gamma_{ss^\prime_x}^2\Delta x^2\color{black} - \Delta y^2 - \Delta z^2 \end{array}

最後に、\gamma_{ss^\prime_x}^{-2} = 1-\beta_{ss^\prime_x}^2 に注目すると、次のようになる:

\Delta s^{\prime 2} = c^2 \Delta t^2 - \Delta x^2 - \Delta y^2 - \Delta z^2 = \Delta s^2

この結果から、純粋な時間や純粋な空間の長さとは異なり、時空の長さはローレンツ変換の下で一定に保たれることが示された。