좌극한과 우극한 · Topos Uranos

요약

이 수업은 한 점의 양쪽에서 함수의 거동을 공부한다. 우극한과 좌극한은 함수를 한쪽으로 제한한 것의 보통의 극한으로 정의되므로, 앞 수업들의 모든 정리가 새로운 증명 없이 이들에 대해 성립한다. 엡실론과 델타로 증명하는 것은 두 결과뿐이다. 함수가 극한을 가질 필요충분조건은 두 한쪽 극한이 존재하고 일치하는 것이라는 결과와, 단조이고 유계인 함수는 구간의 끝점에서 한쪽 극한을 가지며 그 값은 함숫값들의 상한 또는 하한과 같다는 결과이다. 뒤의 것은 극한의 값을 미리 알지 못해도 극한의 존재를 보장하는, 이 강좌의 첫 정리이다. 문제들은 구간별로 정의된 함수, 정수 부분, 그리고 양쪽에서 서로 다른 수로 가는 삼각함수의 몫을 다룬다.

학습 목표

엡실론과 델타로 한쪽 극한을 제한의 극한으로 정의하고, 여기에 앞 수업들의 정리를 적용한다.
함수가 한 점에서 극한을 가질 필요충분조건은 두 한쪽 극한이 존재하고 같은 것임을 증명하고, 이를 이용해 극한이 존재하지 않음을 증명한다.
단조이고 유계인 함수가 구간의 끝점에서 한쪽 극한을 가지며, 그 값이 함숫값들의 상한 또는 하한과 같음을 증명한다.
구간별로 정의된 함수, 정수 부분, 삼각함수의 몫의 한쪽 극한을 계산하고, 극한이 존재하도록 상수를 정한다.

도약과 가장자리

실변수 함수의 극한에 관한 수업에서, 부호함수(양수에서는 $1$ , 음수에서는 $-1$ 의 값을 갖고, $0$ 에서 주는 값은 극한에 영향을 주지 않는다)는 $0$ 에서 극한을 갖지 않음을 증명했다. 그런데도 $0$ 근처에서 이 함수의 거동은 매우 단순하다. $0$ 의 오른쪽에서는 늘 $1$ 이고, 왼쪽에서는 늘 $-1$ 이다. 극한의 정의는 양쪽을 구별하지 않으며, 그래서 이 정보를 기록하지 않는다. 곧이어 정의할 정수 부분도 각 정수에서 마찬가지이다.

실수 직선에 관한 수업에서 유리수의 조밀성을 증명할 때, 모든 실수 $t$ 에 대하여 정수 $m$ 이 존재하여 $m - 1 \leq t < m$ 을 만족함을 보였다. 이 정수는 유일하다. 서로 다른 두 정수는 적어도 $1$ 만큼 떨어져 있어서, 한쪽 끝이 열린 길이 $1$ 의 구간에 둘 다 들어갈 수 없기 때문이다. 정수 $m - 1$ 을 $t$ 의 정수 부분이라 하고 $\lfloor t \rfloor$ 로 쓴다. 이것은 아래 조건을 만족하는 유일한 정수이다.

\lfloor t \rfloor \in \mathbb{Z}, \qquad \lfloor t \rfloor \leq t < \lfloor t \rfloor + 1

예를 들어 $\lfloor 2.7 \rfloor = 2$ , $\lfloor 3 \rfloor = 3$ , $\lfloor -0.5 \rfloor = -1$ 이다. 구간 $\ico{n}{n + 1}$ ( $n$ 은 정수)에서 정수 부분은 늘 $n$ 이고, $n + 1$ 에 이르면 하나만큼 뛰어오른다. 정수 $n$ 근처에서 이 함수는 왼쪽에서 $n - 1$ , 오른쪽에서 $n$ 이다.

이 수업 전체에서 $f$ 는 집합 $A$ 에서 정의된 실함수이고, $A \cap \ioo{a}{\infty}$ 로 $A$ 의 점 가운데 $a$ 의 오른쪽에 있는 것들을 나타내며, $A \cap \ioo{-\infty}{a}$ 로 왼쪽에 있는 것들을 나타낸다.