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Topos Uranos
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실변수의 대수 함수

요약

이 수업에서는 함수의 개념을 정의역 및 치역과 함께 소개하고, 한 실변수의 대수함수, 곧 변수로부터 합, 차, 곱, 몫, 거듭제곱, 거듭제곱근을 통해 얻어지는 함수를 공부한다. 식으로 정의된 함수의 정의역을 구하는 방법과 간단한 경우에 치역을 계산하는 방법을 다루고, 거듭제곱과 거듭제곱근의 그래프를 살펴보며, 함수를 대수함수와 초월함수로, 대수함수를 다항함수, 유리함수, 무리함수로 분류한다.

학습 목표

  1. 함수의 정의를 진술하고, 각 경우에 정의역, 공역, 치역을 구별한다.
  2. 식으로 정의된 대수함수의 정의역을 구한다.
  3. 변수에 대하여 풀어서 간단한 대수함수의 치역을 계산한다.
  4. 단조성과 홀짝성을 바탕으로 자연수 지수의 거듭제곱과 거듭제곱근의 그래프를 그린다.
  5. 함수를 다항함수, 유리함수, 무리함수, 초월함수 중 하나로 분류한다.

변수와 대수식

변수는 수를 써넣을 수 있는 자리를 나타내는 기호이다. 실수에는 전통적으로 문자 xx, yy, tt를 사용하고, 문자 zz는 보통 복소수를 위해 남겨 둔다. 많은 변수가 필요할 때에는 첨자를 사용한다: x1,x2,…,xnx_1, x_2, \ldots, x_n.

대수식은 변수와 실수로부터 유한 번의 합, 차, 곱, 몫, 정수 지수의 거듭제곱, 거듭제곱근으로 만들어지는 식이다. 예를 들면 다음과 같다:

x3+5x+6x,2x+3x−13x^3 + 5x + \frac{6}{\sqrt{x}}, \qquad \frac{2x + 3}{\sqrt[3]{x - 1}}

대수식이 변수의 모든 값에 대하여 항상 의미를 갖는 것은 아니다. 예를 들어 첫 번째 식은 xx가 음수이면 제곱근이 존재하지 않으므로 의미가 없고, xx가 영이면 영으로 나누게 되므로 역시 의미가 없다. 어디에서 의미를 갖는지를 정확히 밝히는 것이 함수의 연구가 제기하는 첫 번째 문제이다.