본문 바로가기
Topos Uranos
한국어

복소수: 연산과 방정식

요약

이 수업은 복소수를 실수의 순서쌍으로 구성하고, 덧셈과 곱셈을 명시적인 식으로 정의한다. 그리하여 등식 i2=−1i^2 = -1은 공준이 아니게 되고 정리가 된다. 대수적 형태, 복소평면, 허수단위의 거듭제곱, 켤레복소수와 절댓값을 도입하고 그 성질들을 증명하며, 그 가운데에는 삼각부등식이 있고, 켤레복소수를 이용한 나눗셈도 있다. 이 도구들로 판별식이 음수인 이차방정식을 풀고, 실수 계수 다항식의 실수가 아닌 근은 켤레인 쌍으로 나타남을 증명하며, z3=1z^3 = 1와 같은 방정식이나 zz와 그 켤레를 함께 포함하는 방정식을 푼다.

학습 목표

  1. 복소수를 실수의 쌍으로 구성하고, 곱셈의 정의로부터 i2=−1i^2 = -1임을 이끌어 내며, 대수적 형태로 계산한다.
  2. 복소수를 평면 위에 나타내고, 합, 켤레, 절댓값, 그리고 ii를 곱하는 것을 기하학적으로 해석한다.
  3. 켤레와 절댓값의 성질을 삼각부등식을 포함하여 증명하고, 켤레를 곱하여 나눗셈을 한다.
  4. C\mathbb{C}에서 이차방정식, 간단한 다항방정식, 그리고 zz와 그 켤레에 대한 일차방정식을 푼다.

실수의 쌍으로서의 복소수

수 집합에 관한 수업에서는 허수단위 ii를 제곱이 −1-1인 새로운 수로 도입하고, 식 a+bia + bi를 실수와 같은 규칙으로 계산하였다. 이런 방식에는 두 가지 물음이 남는다. 이 성질을 갖는 대상이 정말로 존재하는가, 그리고 실수의 규칙을 그것에 모순 없이 적용할 수 있는가. 해밀턴이 1837년에 발표한 답은 아무것도 새로 가정하지 않고 실수로부터 복소수를 구성하는 것이다. 복소수란 실수의 순서쌍이다.

정의 (복소수). 복소수란 실수의 순서쌍 (a,b)(a, b)이다. 복소수 전체의 집합을 C\mathbb{C}로 나타낸다. 두 복소수는 첫째 성분끼리 같고 둘째 성분끼리 같을 때 서로 같다. 합과 곱은 다음 식으로 정의한다.
(a,b)+(c,d)=(a+c,b+d),(a,b)⋅(c,d)=(ac−bd,ad+bc)(a, b) + (c, d) = (a + c, b + d), \qquad (a, b) \cdot (c, d) = (ac - bd, ad + bc)

합은 성분별로 계산한다. 반면에 곱은 성분별 곱(그러면 (ac,bd)(ac, bd)가 된다)이 아니며, 그 형태는 임의적으로 보인다. 이 정의는 그 결과들에 의해 정당화된다. 성분별 곱에서는 (1,0)(1, 0)과 (0,1)(0, 1)의 곱이 (0,0)(0, 0)이 되는데, 어느 인수도 0이 아닌데도 그러하므로 나눗셈이 있을 수 없다. 정의된 곱에서는 쌍 (0,1)(0, 1)의 제곱이 쌍 (−1,0)(-1, 0)이고, (a,0)(a, 0) 꼴의 쌍은 실수와 똑같이 행동한다.

복소수 안의 실수

둘째 성분이 0인 쌍은 실수와 같은 방식으로 더해지고 곱해진다.

(a,0)+(c,0)=(a+c,0),(a,0)⋅(c,0)=(ac,0)(a, 0) + (c, 0) = (a + c, 0), \qquad (a, 0) \cdot (c, 0) = (ac, 0)

따라서 쌍 (a,0)(a, 0)은 실수 aa와 동일시할 수 있으며, 어떤 연산의 결과도 바뀌지 않는다. 그리하여 R\mathbb{R}은 C\mathbb{C}에 포함된다. 이는 수 집합에 관한 수업에서 말한 확장의 원리가 요구하는 대로이다. 또한 쌍에 실수를 곱하면 두 성분이 모두 그 실수배가 된다. (r,0)⋅(a,b)=(ra,rb)(r, 0) \cdot (a, b) = (ra, rb)이기 때문이다. 쌍 i=(0,1)i = (0, 1)를 허수단위라고 한다.

정리허수단위와 대수적 형태

i=(0,1)i = (0, 1)의 제곱은 실수 −1-1이고, 모든 복소수 (a,b)(a, b)는 오직 한 가지 방식으로 a+bia + bi로 쓸 수 있다. 여기서 aa와 bb는 실수이다. 증명에는 곱의 정의와, 각 실수 aa를 쌍 (a,0)(a, 0)과 동일시하는 것만 쓴다. 그림은 각 쌍 (a,b)(a, b)를 좌표가 aa와 bb인 평면 위의 점으로 나타내며, 이 생각은 다음 절에서 전개한다.

증명

  1. i2=(0,1)⋅(0,1)=(0⋅0−1⋅1,0⋅1+1⋅0)=(−1,0)i^2 = \resaltar{(0, 1) \cdot (0, 1)} = (0 \cdot 0 - 1 \cdot 1, 0 \cdot 1 + 1 \cdot 0) = \resaltar{(-1, 0)}

    곱의 정의를 a=c=0a = c = 0, b=d=1b = d = 1로 하여 적용한다.

  2. i2=−1\resaltar{i^2} = \resaltar{-1}

    쌍 (−1,0)(-1, 0)은 실수 −1-1이다. 허수단위는 −1-1의 제곱근 가운데 하나이다. 다른 하나는 그 역원 −i=(0,−1)-i = (0, -1)이다. (−i)2=i2(-i)^2 = i^2이기 때문이다.

  3. b⋅i=(b,0)⋅(0,1)=(b⋅0−0⋅1,b⋅1+0⋅0)=(0,b)b \cdot i = \resaltar{(b, 0) \cdot (0, 1)} = (b \cdot 0 - 0 \cdot 1, b \cdot 1 + 0 \cdot 0) = \dato{b}{\resaltar{(0, b)}}

    실수 bb에 ii를 곱하면 첫째 성분이 0이고 둘째 성분이 bb인 쌍이 나온다.

  4. (a,b)=(a,0)+(0,b)=a+bi(a, b) = \resaltar{(a, 0) + (0, b)} = \dato{f}{\resaltar{a + bi}}

    모든 쌍은 첫째 축 위의 쌍과 둘째 축 위의 쌍의 합이다.

  5. a+bi=c+di↔(a=c∧b=d)a + bi = c + di \leftrightarrow \resaltar{(a = c \wedge b = d)}

    이 표기는 유일하다. a+bi=c+dia + bi = c + di이면 쌍 (a,b)(a, b)와 (c,d)(c, d)는 같고, 같음의 정의에 의해 성분끼리 같다.

식 a+bia + bi를 복소수 z=(a,b)z = (a, b)의 대수적 형태라고 한다. 실수 aa를 zz의 실수부분, 실수 bb를 그 허수부분이라고 한다. 허수부분은 실수 bb이며 곱 bibi가 아님에 주의한다. 허수부분이 0인 복소수는 실수이고, 실수부분이 0인 복소수는 3i3i처럼 순허수라고 부른다. 정리의 마지막 부분에 의해, 복소수 사이의 등식은 실수 사이의 두 등식과 동치이다. 이로부터 모든 복소수 방정식은 두 실수 방정식으로 이루어진 연립방정식으로 바꿀 수 있으며, 이것이 마지막 절의 주된 도구이다.

연산의 성질

대수적 형태가 쓸모 있는 것은 실수의 문자식처럼 곱을 전개하고 i2i^2을 −1-1로 바꾸면서 계산할 수 있을 때뿐이다. 그러려면 C\mathbb{C}의 연산이 R\mathbb{R}의 연산과 같은 성질을 가져야 한다.

정리연산의 성질

복소수의 덧셈과 곱셈은 교환법칙과 결합법칙을 만족하고, 곱셈은 덧셈에 대하여 분배법칙을 만족한다. 0=(0,0)0 = (0, 0)과 1=(1,0)1 = (1, 0)는 각각 덧셈과 곱셈의 항등원이며, 모든 복소수 (a,b)(a, b)는 덧셈의 역원 (−a,−b)(-a, -b)를 갖는다. 덧셈의 성질은 성분별로 실수의 성질에서 물려받는다. 곱셈의 성질은 실수의 성질로 양변을 전개하여 확인한다. 역수의 존재는 뒤에서 켤레를 이용하여 증명한다. 그림은 (a,b)=2+i(a, b) = 2 + i, (c,d)=1+i(c, d) = 1 + i, (e,f)=1−i(e, f) = 1 - i로 증명을 따라가며, 그림에서는 이들을 zz, ww, uu라고 부른다. 결합법칙과 분배법칙에 나오는 세 곱은 같은 점 4+2i4 + 2i에 이른다.

증명

  1. (c,d)⋅(a,b)=(ca−db,cb+da)=(a,b)⋅(c,d)(c, d) \cdot (a, b) = (\resaltar{ca - db}, \resaltar{cb + da}) = (a, b) \cdot (c, d)

    곱셈의 교환법칙은 식에서 읽을 수 있다. (a,b)(a, b)와 (c,d)(c, d)를 서로 바꾸어도 어떤 성분도 바뀌지 않는다. ca=acca = ac, db=bddb = bd, cb+da=ad+bccb + da = ad + bc이기 때문이다.

  2. [(a,b)⋅(c,d)]⋅(e,f)=(ac−bd,ad+bc)⋅(e,f)=(ace−bde−adf−bcf,acf−bdf+ade+bce)\left[ (a, b) \cdot (c, d) \right] \cdot (e, f) = \resaltar{(ac - bd, ad + bc)} \cdot (e, f) = \dato{p}{(ace - bde - adf - bcf, acf - bdf + ade + bce)}

    결합법칙을 위해 먼저 앞의 두 인수를 곱하고 전개한다.

  3. (a,b)⋅[(c,d)⋅(e,f)]=(a,b)⋅(ce−df,cf+de)=(ace−adf−bcf−bde,acf+ade+bce−bdf)(a, b) \cdot \left[ (c, d) \cdot (e, f) \right] = (a, b) \cdot \resaltar{(ce - df, cf + de)} = \resaltar{(ace - adf - bcf - bde, acf + ade + bce - bdf)}

    이번에는 먼저 뒤의 두 인수를 곱한다. 같은 여덟 항이 다른 순서로 나온다.

  4. (a,b)⋅(c+e,d+f)=(ac−bd+ae−bf,ad+bc+af+be)(a, b) \cdot (c + e, d + f) = (\resaltar{ac - bd} + \resaltar{ae - bf}, \resaltar{ad + bc} + \resaltar{af + be})

    분배법칙을 위해 각 성분을 전개하고 항을 다시 묶는다. 결과는 (a,b)⋅(c,d)(a, b) \cdot (c, d)와 (a,b)⋅(e,f)(a, b) \cdot (e, f)의 합이다.

  5. (a,b)⋅(1,0)=(a⋅1−b⋅0,a⋅0+b⋅1)=(a,b)(a, b) \cdot (1, 0) = (a \cdot 1 - b \cdot 0, a \cdot 0 + b \cdot 1) = \resaltar{(a, b)}

    끝으로, (1,0)(1, 0)은 곱셈의 항등원이고, (−a,−b)(-a, -b)를 (a,b)(a, b)에 더하면 (0,0)(0, 0)이 된다.

따라서 대수적 형태는 문자 ii에 대한 문자식처럼 계산하고, 각 i2i^2을 −1-1로 바꾼다. 특히 곱은 그것을 정의한 식을 다시 준다.

(a+bi)(c+di)=ac+adi+bci+bdi2=(ac−bd)+(ad+bc)i(a + bi)(c + di) = ac + adi + bci + bdi^2 = (ac - bd) + (ad + bc)i

예를 들어 (2+3i)(4−i)=8−2i+12i−3i2=11+10i(2 + 3i)(4 - i) = 8 - 2i + 12i - 3i^2 = 11 + 10i이다. 곱셈 공식(예를 들어 합의 제곱이나 제곱의 차)과 조합론에 관한 수업의 이항정리는 C\mathbb{C}에서도 그대로 성립한다. 그 증명들이 이 성질들만 쓰기 때문이다. 보존되지 않는 것은 순서이다. 수 집합에 관한 수업의 예제 5에 따르면 C\mathbb{C}에는 연산과 양립하는 순서가 존재하지 않으므로, 실수가 아닌 복소수 사이의 부등식은 의미가 없다. 복소수의 크기는 그 절댓값으로 잴 것이다.