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Topos Uranos
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복소수의 극형식

요약

이 수업은 0이 아닌 모든 복소수를 그 절댓값과 하나의 편각, 곧 그 수를 나타내는 점의 극좌표에서의 편각으로 나타내고, 이렇게 하여 그 수의 극형식, 또는 삼각형식인 z=r(cos⁡θ+isin⁡θ)z = r\left( \cos \theta + i \sin \theta \right) 식을 얻는다. 복소수의 모든 편각을 기술하고, 편각의 주값을 정의하여 사분면에 따라 보정한 아크탄젠트로 이를 계산하며, 두 극형식이 같은 수를 나타내는 것이 언제인지 증명한다. 덧셈정리를 이용하여 중심 정리를 증명한다. 두 복소수를 곱하면 절댓값은 곱해지고 편각은 더해지며, 나누면 절댓값은 나누어지고 편각은 빼진다. 이 정리로부터 켤레복소수의 편각과 역수의 편각이 유도되고, 곱의 편각의 주값은 편각의 주값들의 합과 한 바퀴의 차이를 제외하고서만 같다는 점에 주의한다. 끝으로 복소수를 곱하는 것을 회전과 확대의 합성으로 해석하는데, 이는 ii 식을 곱할 때의 사분의 일 회전을 일반화한다. 그리고 꼭짓점이 00, 11, ww인 삼각형과 꼭짓점이 00, zz, zwzw인 삼각형이 닮음임을 증명한다.

학습 목표

  1. 0이 아닌 복소수를 극형식으로 쓰고, 사분면에 따라 그 편각의 주값을 계산하며, 두 극형식이 같은 수를 나타내는 것이 언제인지 판정한다.
  2. 덧셈정리를 이용하여 곱에서는 절댓값이 곱해지고 편각이 더해짐을 증명하고, 몫, 켤레복소수, 역수에 대한 규칙을 유도한다.
  3. 복소수를 곱하는 것을 회전과 확대의 합성으로 해석하고, 꼭짓점이 00, 11, ww인 삼각형과 꼭짓점이 00, zz, zwzw인 삼각형의 닮음을 증명한다.
  4. 극형식을 삼각비의 정확한 값, 아크탄젠트 사이의 등식, zz 및 그 켤레복소수를 포함하는 방정식, 편각으로 정의되는 자취에 적용한다.

복소수의 극형식

강좌 대수학과 기하학 I의 복소수에 관한 수업에서는 각 복소수 z=a+biz = a + bi 식을 평면의 점 (a,b)(a, b) 좌표로 나타내고, 그 절댓값 ∣z∣\abs{z} 식을 그 점과 원점 사이의 거리로 정의했으며, ii 식을 곱하면 각 점이 사분의 일 회전함을 증명했다. 임의의 복소수를 곱하는 경우는 미해결로 남았는데, 그 효과가 대수적 형태에서는 읽히지 않기 때문이다. (a+bi)(c+di)(a + bi)(c + di) 식의 실수부분은 ac−bdac - bd 식이며, 이 식은 어떤 기하도 드러내지 않는다. 그런데 평면의 점은 원점으로부터의 거리와 원점에서 그 점을 바라보는 방향으로도 지정할 수 있다. 극좌표에 관한 수업에서 그렇게 했던 것과 같다. 점에 대해 그러하다면 복소수에 대해서도 그러하다. 그리고 이 두 번째 기술에서는, 증명하게 되듯이, 곱셈이 투명해진다.

z=a+biz = a + bi 식을 0이 아닌 복소수라 하자. zz 수의 편각이란 실수 θ\theta 수로서 a=∣z∣cos⁡θa = \abs{z} \cos \theta 및 b=∣z∣sin⁡θb = \abs{z} \sin \theta 식을 만족하는 것을 말한다. r=∣z∣r = \abs{z} 식이 성립하고 θ\theta 수가 zz 수의 편각일 때, 아래의 식을 zz 수의 극형식, 또는 삼각형식이라 한다.
z=r(cos⁡θ+isin⁡θ)z = r\left( \cos \theta + i \sin \theta \right)

0이 아닌 복소수는 모두 편각을 가진다. 실제로, 극좌표에 관한 수업에서 증명한 직교좌표에서 극좌표로의 이행 정리에 의해, 점 (a,b)(a, b)(극과는 다른 점)은 극좌표 표현 (r,θ)(r, \theta)(단, r>0r > 0)를 가지며, 그 동경은 r=a2+b2r = \sqrt{a^2 + b^2}, 곧 zz 수의 절댓값이다. 이때 등식 a=rcos⁡θa = r \cos \theta 및 b=rsin⁡θb = r \sin \theta 식은 편각 θ\theta 수가 zz 수의 편각임을 말해 준다. 따라서 zz 수의 편각이란 원점과 zz 점을 잇는 선분이 양의 실수축과 이루는 각을 라디안으로 잰 것이다. 반면에 0은 편각을 가지지 않는다. 등식 0=0(cos⁡θ+isin⁡θ)0 = 0\left( \cos \theta + i \sin \theta \right) 식은 모든 θ\theta 값에 대해 성립하고, 어떤 각도 0을 구별하지 못하기 때문이다. zz 수의 편각 가운데 아무것이나 하나를 나타내려면 arg⁡z\arg z 기호로 쓰고, “zz 수의 편각”이라고 읽는다.

아래의 정리는, 절댓값과 편각이 반지름이 음수인 극좌표와는 달리 한 바퀴의 정수배 차이를 제외하면 복소수를 모호함 없이 결정한다는 것을 말한다. 극형식을 이용한 모든 계산은 이 정리에 의존한다. 두 복소수가 같음을 보이려면 그 절댓값과 편각을 비교하는 것으로 충분하다.

정리극형식에서의 상등

rr, r1r_1, r2r_2 수를 양의 실수라 하고, θ\theta, θ1\theta_1, θ2\theta_2 수를 실수라 하자. 복소수 r(cos⁡θ+isin⁡θ)r\left( \cos \theta + i \sin \theta \right) 식은 절댓값 rr 값과 편각 θ\theta 값을 가진다. 또한 복소수 r1(cos⁡θ1+isin⁡θ1)r_1\left( \cos \theta_1 + i \sin \theta_1 \right) 식과 r2(cos⁡θ2+isin⁡θ2)r_2\left( \cos \theta_2 + i \sin \theta_2 \right) 식이 같을 필요충분조건은 r1=r2r_1 = r_2 및 θ1−θ2=2kπ\theta_1 - \theta_2 = 2k\pi 식이 어떤 정수 kk 값에 대하여 성립하는 것이다. 피타고라스 항등식, 사인과 코사인의 주기성, 그리고 각과 그 측정에 관한 수업에서 다룬 동경이 같은 각의 특징을 이용한다. 두 각이 단위원의 같은 점을 주는 것은 두 각이 2π2\pi 값의 정수배만큼 다를 때, 그리고 그때에 한한다.

증명

  1. ∣z∣2=r2cos⁡2θ+r2sin⁡2θ=r2\abs{z}^2 = \resaltar{r^2 \cos^2 \theta + r^2 \sin^2 \theta} = \resaltar{r^2}

    z=r(cos⁡θ+isin⁡θ)z = r\left( \cos \theta + i \sin \theta \right) 식이라 하자(단, r>0r > 0). 그 실수부분은 rcos⁡θr \cos \theta 식이고, 허수부분은 rsin⁡θr \sin \theta 식이다. 피타고라스 항등식에 의해 그 절댓값의 제곱은 r2r^2 식이다.

  2. ∣z∣=r,rcos⁡θ=∣z∣cos⁡θ,rsin⁡θ=∣z∣sin⁡θ\dato{m}{\resaltar{\abs{z} = r}}, \qquad r \cos \theta = \resaltar{\abs{z} \cos \theta}, \qquad r \sin \theta = \abs{z} \sin \theta

    수 ∣z∣\abs{z} 값과 rr 값은 양수이고 제곱이 같다. 따라서 둘은 같으며, zz 수의 실수부분과 허수부분은 정의가 요구하는 그대로이다. 곧 θ\theta 값은 zz 수의 편각이다. 그러므로 이 꼴의 식으로서 r>0r > 0 조건을 만족하는 것은 모두 극형식이다.

  3. r1(cos⁡θ1+isin⁡θ1)=r2(cos⁡θ2+isin⁡θ2)→r1=r2r_1 \left( \cos \theta_1 + i \sin \theta_1 \right) = r_2 \left( \cos \theta_2 + i \sin \theta_2 \right) \rightarrow \dato{r}{\resaltar{r_1 = r_2}}

    절댓값이 r1r_1 값과 r2r_2 값인 두 복소수가 같다면 절댓값도 같은데, 바로 위에서 보인 것에 의해 그 절댓값은 r1r_1 값과 r2r_2 값이다.

  4. cos⁡θ1=cos⁡θ2∧sin⁡θ1=sin⁡θ2↔θ1−θ2=2kπ\resaltar{\cos \theta_1 = \cos \theta_2 \wedge \sin \theta_1 = \sin \theta_2} \leftrightarrow \resaltar{\theta_1 - \theta_2 = 2k\pi}

    실수부분끼리, 허수부분끼리 같다고 놓고, 0이 아닌 r1=r2r_1 = r_2 값으로 나눈다. 각 θ1\theta_1 값과 θ2\theta_2 값은 단위원의 같은 점을 주므로 동경이 같은 각이다.

  5. cos⁡(θ2+2kπ)=cos⁡θ2,sin⁡(θ2+2kπ)=sin⁡θ2\cos(\resaltar{\theta_2 + 2k\pi}) = \resaltar{\cos \theta_2}, \qquad \sin(\theta_2 + 2k\pi) = \sin \theta_2

    역으로, r1=r2r_1 = r_2 및 θ1=θ2+2kπ\theta_1 = \theta_2 + 2k\pi 식이 성립하면 사인과 코사인의 주기성에 의해 두 식은 같은 실수부분과 허수부분을 가지며, 두 복소수는 같다.

이로부터, θ\theta 값이 zz 수의 편각이면 zz 수의 편각은 정확히 수 θ+2kπ\theta + 2k\pi 값들(단, kk 값은 정수)임이 따라 나온다. 같은 복소수의 두 편각은 언제나 한 바퀴의 정수배만큼 다르다. 따라서 등식 arg⁡z=θ\arg z = \theta 식은 θ\theta 값이 zz 수의 편각 가운데 하나라는 뜻이며, 나머지 편각을 정하지는 않는다. 또한 정리가 r>0r > 0 조건을 요구한다는 점에 주의해야 한다. 식 −2(cos⁡π3+isin⁡π3)-2\left( \cos \frac{\pi}{3} + i \sin \frac{\pi}{3} \right) 식은 극형식이 아닌데, −2-2 값은 절댓값이 될 수 없기 때문이다. −cos⁡θ=cos⁡(θ+π)-\cos \theta = \cos(\theta + \pi) 및 −sin⁡θ=sin⁡(θ+π)-\sin \theta = \sin(\theta + \pi) 식이 성립하므로, 같은 수를 극형식으로 쓰면 2(cos⁡4π3+isin⁡4π3)2\left( \cos \frac{4\pi}{3} + i \sin \frac{4\pi}{3} \right) 식이 된다.

편각의 주값

0이 아닌 복소수의 편각 가운데 구간 (−π,π]\ioc{-\pi}{\pi} 범위에 속하는 것은 정확히 하나이다. 이 구간의 길이는 2π2\pi 값이고, 각 모임 θ+2kπ\theta + 2k\pi 값들의 대표를 단 하나 포함하기 때문이다. 이 편각을 zz 수의 편각의 주값이라 하고, Arg⁡z\operatorname{Arg} z 기호로 쓰며, “zz 수의 편각의 주값”이라고 읽는다. 극좌표에 관한 수업의 정리에 의해, aa 값과 bb 값을 xx 값과 yy 값의 역할에 두고, 역삼각함수에 관한 수업의 아크탄젠트로 계산한다. 아크탄젠트는 제1사분면과 제4사분면만 보므로 나머지 두 사분면에서는 보정해야 한다.

Arg⁡z={arctan⁡baa>0arctan⁡ba+πa<0∧b≥0arctan⁡ba−πa<0∧b<0π2a=0∧b>0−π2a=0∧b<0\operatorname{Arg} z = \begin{cases} \arctan \frac{b}{a} & a > 0 \\ \arctan \frac{b}{a} + \pi & a < 0 \wedge b \geq 0 \\ \arctan \frac{b}{a} - \pi & a < 0 \wedge b < 0 \\ \frac{\pi}{2} & a = 0 \wedge b > 0 \\ -\frac{\pi}{2} & a = 0 \wedge b < 0 \end{cases}
예시제2사분면에 있는 복소수의 극형식

복소수 z=−3+iz = -\sqrt{3} + i 식을 극형식으로 쓰고, 그 모든 편각을 기술한다. 그림은 복소평면에서 이 계산을 따라간다.

증명

  1. ∣z∣=(−3)2+12=4=2\abs{z} = \sqrt{\resaltar{\left( -\sqrt{3} \right)^2 + 1^2}} = \sqrt{4} = \dato{m}{\resaltar{2}}

    절댓값은 점 (−3,1)\left( -\sqrt{3}, 1 \right) 좌표와 원점 사이의 거리이다.

  2. arctan⁡1−3=arctan⁡(−33)=−π6\arctan \frac{1}{-\sqrt{3}} = \resaltar{\arctan\left( -\frac{\sqrt{3}}{3} \right)} = \dato{a}{\resaltar{-\frac{\pi}{6}}}

    허수부분을 실수부분으로 나눈 몫의 아크탄젠트는 제4사분면의 각을 준다. 그것은 반대쪽 점 3−i\sqrt{3} - i 식의 편각이지 zz 수의 편각이 아니다.

  3. Arg⁡z=−π6+π=5π6\operatorname{Arg} z = \resaltar{-\frac{\pi}{6} + \pi} = \dato{t}{\resaltar{\frac{5\pi}{6}}}

    실수부분이 음수이고 허수부분이 양수이므로 점은 제2사분면에 있고, 공식은 π\pi 값을 더한다.

  4. z=2(cos⁡5π6+isin⁡5π6)=2(−32+12i)=−3+iz = 2\left( \resaltar{\cos \frac{5\pi}{6}} + i \sin \frac{5\pi}{6} \right) = 2\left( \resaltar{-\frac{\sqrt{3}}{2}} + \frac{1}{2} i \right) = -\sqrt{3} + i

    극형식을 5π6\frac{5\pi}{6} 각의 코사인과 사인의 값으로 확인한다. 이 값들은 π6\frac{\pi}{6} 각의 값에서 보각의 대칭성으로 얻어진다.

  5. arg⁡z=5π6+2kπ,k∈Z\arg z = \resaltar{\frac{5\pi}{6} + 2k\pi}, \qquad k \in \mathbb{Z}

    나머지 편각은 주값과 한 바퀴의 정수배만큼 다르다. 예를 들어 −7π6-\frac{7\pi}{6} 값과 17π6\frac{17\pi}{6} 값도 zz 수의 편각이지만 (−π,π]\ioc{-\pi}{\pi} 범위에 속하지 않는다.

축 위에 있는 복소수의 극형식은 곧바로 알아볼 수 있어야 한다. 양의 실수는 편각의 주값이 00 값이고, 음의 실수는 π\pi 값이다. 순허수 bibi 식은 b>0b > 0 조건일 때 편각의 주값이 π2\frac{\pi}{2} 값이고, b<0b < 0 조건일 때는 −π2-\frac{\pi}{2} 값이다. 예를 들면 이렇다.

−1=cos⁡π+isin⁡π,i=cos⁡π2+isin⁡π2,−2i=2(cos⁡(−π2)+isin⁡(−π2))-1 = \cos \pi + i \sin \pi, \qquad i = \cos \frac{\pi}{2} + i \sin \frac{\pi}{2}, \qquad -2i = 2\left( \cos\left( -\frac{\pi}{2} \right) + i \sin\left( -\frac{\pi}{2} \right) \right)

구간 (−π,π]\ioc{-\pi}{\pi} 범위는 하나의 약속이며, 극좌표에 관한 수업의 약속과 같다. 다른 책에서는 [0,2π)\ico{0}{2\pi} 범위를 쓰기도 한다. 약속에 의존하지 않는 것은 모든 편각의 집합이며, 그래서 이 수업의 정리들은 따로 명시하지 않는 한 임의의 편각에 대하여 서술된다.