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Topos Uranos
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바이어슈트라스의 최대·최소 정리

요약

이 수업은 점별에서 대역으로의 이행을 연다. 한 점에서의 연속성은 그 점 근처에서만 함수를 통제한다. 바이어슈트라스 정리는 함수가 유계인 닫힌구간의 모든 점에서 연속이면 구간 전체에서 유계이고 그 구간에서 최댓값과 최솟값을 갖는다고 주장한다. 두 주장 모두 볼차노 정리처럼 상한을 거쳐 완비성 공리로 증명된다. 유계성은 함수가 그 점까지 유계인 점들의 상한과 극한과 연속성에 관한 수업의 국소 유계성으로 증명되고, 최댓값의 존재는 값들의 상한과, 그 상한이 값으로 나타나지 않는다면 연속이면서 유계가 아니게 될 보조함수로 증명된다. 이 수업은 어떤 가정도 생략할 수 없음을 반례로 보이고, 유계인 닫힌구간의 상이 같은 종류의 구간이라는 것과, 함수가 양 끝점에서 같은 값을 가지면 최댓값과 최솟값 가운데 하나를 내부에서 갖는다는 것을 이끌어 내며, 정리를 양의 함수, 주기함수, 실수 전체에서 정의된 함수에 적용한다.

학습 목표

  1. 함수의 값들의 상한과 최댓값을 구별하고, 함수가 집합에서 최댓값이나 최솟값을 가짐을 한정기호로 표현한다.
  2. 유계인 닫힌구간에서 연속인 함수가 유계이고 최댓값과 최솟값을 가짐을 완비성 공리로 증명한다.
  3. 구간이 닫혀 있지 않거나, 유계가 아니거나, 함수가 연속이 아니면 정리가 성립하지 않음을 반례로 보이고, 정리의 가정이 충분조건이지만 필요조건은 아님을 인식한다.
  4. 정리를 사잇값 정리 및 무한대에서의 극한과 함께 써서 유계인 닫힌구간의 상을 구하고, 유계인 닫힌구간이 아닌 정의역에서 함수가 최댓값·최솟값을 가짐을 증명한다.

함수의 최댓값, 최솟값, 상한

앞의 두 단원은 한 점에서 함수를 연구했다. 극한, 연속성, 도함수는 aa 근처에서 일어나는 일을 기술한다. 그러나 많은 물음은 집합 전체에 관한 것이다. 함수가 한 구간에서 갖는 가장 큰 값은 무엇인가(그런 값이 있다면), 또는 그 값을 어느 점에서 갖는가 하는 물음이다. 함수 xx는 (0,1)\ioo{0}{1}에서 다른 모든 값보다 큰 값을 갖지 않는다. 구간의 각 xx에 대하여 수 x+12\frac{x + 1}{2}도 그 구간에 있고 더 크기 때문이다. 그 값들은 11에 가까워지지만 그 수에 이르지 않는다. 따라서 두 개념을 구별해 두는 것이 좋다. 하나는 값들의 최소의 상계로, 값들이 유계이기만 하면 존재한다. 다른 하나는 최댓값으로, 이것은 함수의 값 가운데 하나이다.

정의유계함수; 집합에서 함수의 최댓값과 최솟값

ff를 집합 AA에서 정의된 함수라 하고, SS를 AA의 공집합이 아닌 부분집합이라 하자. ff가 SS에서 위로 유계라는 것은 어떤 수 KK가 존재하여 f(x)≤Kf(x) \leq K가 모든 xx(SS의 원소)에 대하여 성립하는 것이다. 아래로 유계라는 것은 어떤 KK가 존재하여 f(x)≥Kf(x) \geq K가 모든 xx(SS의 원소)에 대하여 성립하는 것이고, 유계라는 것은 두 가지 모두인 것, 곧 어떤 KK가 존재하여 ∣f(x)∣≤K\abs{f(x)} \leq K가 모든 xx(SS의 원소)에 대하여 성립하는 것이다. ff가 SS에서 점 x0x_0(SS의 점)에서 최댓값을 갖는다는 것은 값 f(x0)f(x_0)보다 큰 값이 ff의 SS에서의 다른 값 가운데 없는 것이고, x0x_0에서 최솟값을 갖는다는 것은 SS에 그보다 작은 값이 없는 것이다:

(∀x∈S)(f(x)≤f(x0)),(∀x∈S)(f(x0)≤f(x))(\forall x \in S)\left(f(x) \leq f(x_0)\right), \qquad (\forall x \in S)\left(f(x_0) \leq f(x)\right)

수 f(x0)f(x_0)을 ff의 SS에서의 최댓값(또는 최솟값)이라 하고, max⁡x∈Sf(x)\max_{x \in S} f(x)(또는 min⁡x∈Sf(x)\min_{x \in S} f(x))로 쓴다. 점 x0x_0을 최댓값을 갖는 점(또는 최솟값을 갖는 점)이라 한다.

최댓값은 존재하면 하나뿐이다. 두 최댓값이 있다면 각각이 다른 하나보다 크거나 같을 것이기 때문이다. 반면 최댓값을 갖는 점은 하나가 아닐 수 있다. 코사인은 최댓값 11을 [0,4π]\icc{0}{4\pi}에서 세 점 00, 2π2\pi, 4π4\pi에서 갖는다. 극값과 최댓값·최솟값에 관한 수업에서 보듯이, 이것들이 최댓값·최솟값이며, f(x0)f(x_0)을 근처의 값들과만 비교하는 극댓값·극솟값과는 다르다.

ff가 SS에서 위로 유계이면, 그 값들의 집합 f(S)f(S)는 공집합이 아니고 위로 유계이다. 실수 직선에 관한 수업에서 되짚은 완비성 공리에 의해 이 집합은 상한을 가지며, 그것을 sup⁡x∈Sf(x)\sup_{x \in S} f(x)로 쓴다. 두 개념의 관계는 간단하다. ff가 SS에서 최댓값을 갖는 것은 그 값들의 상한이 값 가운데 하나일 때, 그리고 그때에 한하며, 이때 둘은 일치한다. 실제로 f(x0)f(x_0)이 최댓값이면, 그것은 f(S)f(S)의 상계이면서 f(S)f(S)에 속하고, 그보다 작은 수는 상계가 될 수 없다. 거꾸로, 상한이 어떤 값 f(x0)f(x_0)이면 어떤 값도 그것을 넘지 않는다. 함수 xx는 (0,1)\ioo{0}{1}에서 유계이고, 그 상한은 11이지만 함수는 그 값에 이르지 않는다. 하한은 00이며 역시 그 값에 이르지 않는다. 바이어슈트라스 정리는 이런 일이 일어나지 않는 조건을 준다.