미적분학 I: 최종 결산

강좌가 목표로 삼은 것

세 가지 오래된 문제가 미적분학으로 이끌었다. 움직이는 물체의 한 순간의 속도, 곡선의 접선의 기울기, 곡선으로 둘러싸인 도형의 넓이이다. 이 강좌는 도함수로 이어지는 처음 두 문제를 택했고, 하나의 전체 목적을 가지고 태어났다. 일변수 실함수의 미분법을 극한의 정의와 완비성 공리 위에 세우고, 거기서 완전한 증명으로, 도함수가 함수의 변화, 모양, 극값과 최댓값·최솟값에 관해 알게 해 주는 것을 이끌어 내는 것이다. 학습 계획에 관한 수업은 이 목적을 일곱 가지 전체 학습 목표로 펼쳤으며, 그림이 그것들을 인용할 때의 번호와 함께 이를 눈앞에 두는 것이 좋다.

1. 명시적인 연역적 추론으로 증명한다. 정의를 양화사가 있는 진술로 쓰고 그것을 부정하며, 엡실론-델타로 논증하고, 존재 정리를 완비성 공리에서 이끌어 내며, 가정이 군더더기가 아님을 반례로 보이고, 이끌어 낸 것과 받아들인 것을 구별한다.
2. 유한한 극한, 한쪽 극한, 무한대에서의 극한, 무한 극한을 정의하고 계산하며, 로피탈의 정리로도 부정형을 풀고, 그것들로 함수의 점근선과 그래프를 구한다.
3. 함수의 연속성을 판정하고 불연속점을 분류하며, 완비성 공리에 기대는 볼차노 정리, 사잇값 정리, 바이어슈트라스 정리를 적용한다.
4. 도함수를 정의하고 일차근사와 카라테오도리 분해로 특징지으며, 그 공식을 증명하고 그것들로 온갖 함수를 미분하되, 각 도함수의 정의역을 분명히 한다.
5. 페르마의 정리, 롤의 정리, 라그랑주의 평균값 정리, 코시의 평균값 정리를 증명하고 적용하며, 그것들로 그래프의 단조성, 극값, 오목·볼록, 변곡점, 곡률을 조사한다.
6. 미분, 이분법, 뉴턴-랩슨 방법으로 값과 근의 근삿값을 구하고, 각 근사의 오차의 한계를 구하며, 어떤 방법이 실패하는 때를 알아본다.
7. 변화율, 관련된 변화율, 최적화 문제를 도함수로 모형화하고, 문제의 설정, 계산, 증명을 글로 전달한다.

강좌의 각 수업은 또한 저마다 세부 목표를 밝혔다. 수업들은 각 세부 목표가 어느 전체 목표에 이바지하는지 말하지 않는다. 이 대응은 바깥에서 한 읽기이며, 이 사이트의 다른 강좌들과 같은 방법으로 한 것이다. 각 세부 목표는 하나의 주 전체 목표에 배정되고, 다른 전체 목표에도 닿으면 그것들에 부 목표로 배정된다. 각 세부 목표는 주 목표에서는 하나로, 각 부 목표에서는 절반으로 세며, 수업은 가장 큰 무게를 모은 전체 목표와 주 목표로, 어떤 무게라도 받은 나머지 목표들과 부 목표로 이어진다. 두 목표의 무게가 같으면 번호가 작은 쪽으로 정한다. 단원의 여정을 기술하기만 하는 도입의 목표는 어느 목표에도 배정하지 않는다. 종합 수업은 이 사이트의 모든 수학 강좌에 공통인 기준을 따른다. 그 주 목표는 목표 1이다. 그 중심 부분이 단원의 연역 사슬을 재구성하기 때문이다. 끝으로, 최적화 문제에 관한 수업은 목표 7을 주 목표로 한다. 규칙대로라면 근소한 차이로 목표 5가 되겠지만, 이 수업이 밝힌 주제가 문제의 설정, 곧 문제를 수학의 언어로 옮기고, 정의역을 정하고, 찾은 값이 최댓값·최솟값임을 정당화하는 일이기 때문이다. 그렇다면 강좌 전체는 하나의 척추 모양을 띤다. 머리는 전체 목적이고, 기둥은 단원들의 순서로서 각 단원이 저마다의 부분을 가진다. 각 수업은 그 부분의 한 마디이며, 그 주 목표와 이어진다. 그리고 일곱 목표는 그것들을 길러 주는 수업들에 받쳐져 기둥 둘레에 떠 있다.