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Topos Uranos
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도함수의 응용: 종합과 도전 과제

요약

이 수업은 도함수의 응용 단원을 마무리하며, 그와 함께 강좌를 마무리한다. 단원의 아홉 수업이 증명한 것을 하나의 연역 사슬로 모은다. 곧, 볼차노 정리와 마찬가지로 완비성 공리에서 얻는 바이어슈트라스 정리와, 한 점에서의 미분계수의 부호에서 얻는 페르마의 정리가 롤의 정리를 주고, 그로부터 라그랑주와 코시의 평균값 정리가 나온다. 다시 그것들로부터 로피탈의 정리, 도함수의 부호에 의한 단조성, 극값과 최댓값·최솟값의 판정법, 오목·볼록, 최적화, 그리고 뉴턴-랩슨 방법의 오차의 상계가 나온다. 이 수업은 단원이 앞의 두 단원과 대수학과 기하학에 어떻게 기대는지, 그리고 이어지는 강좌에 무엇을 남기는지, 곧 적분, 수열과 급수, 테일러 다항식을 설명한다. 마지막에는 입문 평가와 짝을 이루는 마무리 평가와 열 개의 도전 과제가 있다. 도전 과제는 수업의 문제보다 어려우며, 각각 그 수업들 가운데 여럿과 앞 단원들의 결과를 결합한다.

학습 목표

  1. 단원의 주요 정리를 논리적 순서로 서술하고, 각 정리가 어떤 앞선 결과에 의존하는지, 그리고 바이어슈트라스 정리, 평균값 정리, 도함수의 부호에 의한 단조성이 어떤 증명에서 다시 쓰이는지 밝힌다.
  2. 단원이 받아들이는 것과 증명하는 것을 구별하고, 각 결과의 가정을 알아보며, 완비성 공리가 어디에서 작용하는지 짚는다.
  3. 단원의 결과를 극한 단원과 도함수 단원, 대수학과 기하학, 그리고 미적분학 II에서 공부하는 내용과 관련짓는다.
  4. 최댓값·최솟값의 존재, 평균값 정리, 로피탈의 정리, 단조성, 오목·볼록, 곡률, 최적화, 뉴턴-랩슨 방법을 결합하는, 정형화되지 않은 문제를 푼다.

단원에서 이룬 것

앞의 두 단원은 한 점에서 생각했다. 한 점에서의 극한, 한 점에서의 연속성, 한 점에서의 미분계수이다. 이 단원은 점별에서 대역으로 이행했으며, 그 다리가 된 것은 완비성 공리였다. 볼차노 정리와 마찬가지로 상한을 써서 증명되는 바이어슈트라스 정리는 유계인 닫힌구간에서 연속인 함수가 최댓값과 최솟값을 가짐을 보장한다. 한 점에서의 미분계수의 부호에서 나오는 페르마의 정리는 내부의 점에서 갖는 극값이 어디에 있을 수 있는지 알려 준다. 그리고 둘이 함께 롤의 정리를 주고, 그로부터 두 평균값 정리가 따라 나온다. 라그랑주의 평균값 정리는 이렇게 쓴다.

f(b)−f(a)=f′(c)(b−a),c∈(a,b)f(b) - f(a) = f'(c)(b - a), \qquad c \in \ioo{a}{b}

이 등식은 구간의 모든 점에서의 도함수에 관한 정보를 함수의 값에 관한 정보로 바꾼다. 단원의 나머지는 거의 모두 이 등식을 읽는 방식이다. 단조성, 극값의 판정법, 오목·볼록, 코시의 형태를 통한 로피탈의 정리, 그리고 뉴턴-랩슨 방법의 오차의 상계이다. 증명들은 논증을 새로 하는 대신 이 정리들을 인용한다.

존재와 평균값 정리

바이어슈트라스 정리 수업은 먼저 유계성 정리를 증명했다. 함수가 유계인 점들의 상한을 잡고, 연속성이 주는 국소 유계성으로 그 너머로 나아간 것이다. 이어서 값들의 상한이 실제로 취해짐을 증명했다. 취해지지 않는다면 값과 그 상한 사이의 거리의 역수가 연속이면서 유계가 아니게 되기 때문이다. 반례로 어느 가정도 군더더기가 아님을 보이고(열린구간, 유계가 아닌 구간, 불연속인 함수, 그리고 완비성이 없는 유리수), 사잇값 정리로 유계인 닫힌구간의 상이 같은 종류의 구간임과, 구간의 양 끝점에서 같은 값을 갖는 함수가 그 내부에서 최댓값 또는 최솟값을 가짐을 이끌어 냈다. 페르마, 롤, 라그랑주, 코시의 정리 수업은 극값을 양화된 명제로 정의하고, 한 점에서의 미분계수의 부호로 내부의 점에서 갖는 극값에서는 미분계수가 0이 됨을 증명했으며, 롤의 정리, 라그랑주의 평균값 정리, 코시의 평균값 정리를 차례로 이어 그 가정들이 필요함을 보였다. 그 따름정리들이 최초의 대역적 결론이었다. 구간에서 도함수가 0인 함수는 상수라는 것, 도함수가 같은 두 함수는 상수만큼 차이 난다는 것, 도함수의 상계가 증분을 억누른다는 것, 함수의 두 근 사이에 그 도함수의 근이 있다는 것, 그리고 도함수의 극한은 존재하면 미분계수와 같다는 것이다. 로피탈의 정리 수업은 이 정리를 코시의 정리로 증명했는데, 00\frac{0}{0} 꼴에 대해, 그리고 더 주의 깊게 ∞∞\frac{\infty}{\infty} 꼴에 대해, 점의 한쪽에서, 점에서, 그리고 무한대에서 증명했다. 0⋅∞0 \cdot \infty, ∞−∞\infty - \infty, 1∞1^\infty, 000^0, ∞0\infty^0 꼴을 그것들로 환원하고, 도함수의 비가 극한을 갖지 않을 때는 이 정리로 판정할 수 없음을 보였으며, 도함수를 계산할 때 쓴 극한에는 이 정리를 쓸 수 없음을 경고하고, 그로부터 한 점에서 미분계수가 0이라는 따름정리를 얻었다. 이 따름정리는 함수의 증분을 x−ax - a의 거듭제곱과 비교한다.

단조성, 극값과 최대·최소, 그래프의 모양

단조성 수업은 평균값 정리로, 구간에서 음이 아닌 도함수는 증가함수를 주고 양의 도함수는 엄격하게 증가하는 함수를 줌을 증명했으며, 도함수가 음이 아닐 때의 엄격한 단조성을 특성화했다. 도함수가 한 구간 전체에서 0이 되어서는 안 된다는 것이다. 이렇게 하여, 구간에서 도함수가 양이면 역함수가 존재하고 미분가능하다는 약속처럼, 도함수 단원의 약속들이 지켜졌다. 임계점을 정의하고, 일계도함수 판정법과 다르부 정리를 증명했다. 이 정리에 따르면 도함수는 연속이 아니더라도 모든 중간값을 취하며, 따라서 도약 불연속점을 갖지 않는다. 그리고 구간에서 근이 없는 도함수는 부호를 바꾸지 않음을 이끌어 냈다. 극값과 최댓값·최솟값 수업은 최댓값·최솟값과 엄격한 극값을 정의했다. 이계도함수 판정법을 증명하고, 로피탈의 정리를 써서 테일러 다항식 없이 고계도함수 판정법을 증명했는데, 이 판정법은 0이 아닌 첫 도함수의 계수의 홀짝으로 판정한다. 그리고 유계인 닫힌구간에서의 최댓값·최솟값을 구간의 끝점과 임계점 가운데에서 찾고, 열린구간이나 유계가 아닌 구간에서는 끝점에서의 극한과 단조성으로 찾았다. 단조성에서는 유일한 임계점에서 갖는 극값이 최댓값 또는 최솟값이라는 것도 나온다. 오목·볼록 수업은 현에 대한 그래프의 위치로 아래로 볼록함을 정의하고(단원의 약속에 따라 아래로 볼록한 함수의 그래프는 현 아래에 있다), 미분가능한 함수에 대해서는 아래로 볼록함이 도함수의 증가와 동치이고 그래프가 접선 위에 있는 것과도 동치임을, 두 번 미분가능한 함수에 대해서는 이계도함수가 음이 아닌 것과 동치임을 증명했다. 변곡점을 정의하고, 이계도함수의 부호 변화나 삼계도함수로 판정했으며, x4x^4으로 이계미분계수가 0인 것만으로는 충분하지 않음을 보이고, 옌센 부등식과 산술평균과 기하평균의 관계를 얻었다. 곡률 수업은 접촉원을, 그 점에서 함수와 같은 값, 같은 미분계수, 같은 이계미분계수를 갖는 원으로 정의했다. 음함수의 미분법으로, 이계미분계수가 0이 아닐 때 접촉원이 유일하게 존재하며 그 반지름이 ρ=(1+f′(a)2)32∣f′′(a)∣\rho = \frac{\left(1 + f'(a)^2\right)^{\frac{3}{2}}}{\abs{f''(a)}}이고 중심이 법선 위의, 그래프가 휘는 쪽에 있음을 증명하고, 그 중심이 가까운 법선들의 교점의 극한임을 보였다.

최적화와 근사

최적화 문제 수업은 다섯 과정으로 이루어진 방법을 정했다(변수, 함수, 정의역, 근거를 갖춘 최댓값·최솟값, 결론). 그 관건은 찾은 값이 최댓값 또는 최솟값임을 정당화하는 데 있다. 정의역이 유계인 닫힌집합이면 바이어슈트라스 정리로, 그렇지 않으면 도함수의 부호, 오목·볼록, 또는 끝점에서의 극한으로 정당화한다. 함수와, 그 함수와 엄격하게 증가하는 함수의 합성이 같은 점에서 최댓값·최솟값을 가짐과, 주어진 점에 가장 가까운 그래프 위의 점이 존재하고 법선 위에 있음을 증명했으며, 최소 시간으로부터 굴절 법칙과 반사 법칙을 이끌어 냈다. 뉴턴-랩슨 방법 수업은 근을 근사하기 위해 그래프를 그 접선으로 바꾸었다. 반복값을 자연수에서 정의된 함수로 다루어, 수열의 이론 없이 무한대에서의 극한의 정의를 썼다. 아래로 볼록함과 반복값들의 하한으로, 알맞은 쪽에서 출발하면 반복값이 근을 넘지 않고 다가가 근에 수렴하고, 반대쪽에서 출발하면 첫 반복에서 알맞은 쪽으로 옮겨 감을 증명했다. 평균값 정리로 오차를 억누르고, 이 방법의 실패(도함수가 0, 순환, 달아나는 반복값)를 보였으며, 이분법과 비교했다. 이분법은 한 번 이등분할 때마다 이진 자릿수를 하나씩 얻는 데 비해, 뉴턴-랩슨 방법은 단순근 가까이에서 예들에서 정확한 자릿수의 개수를 두 배로 늘린다.

받아들이는 것, 증명하는 것, 남는 것

단원의 결산은 이렇게 요약할 수 있다.

  • 받아들이는 것은 완비성 공리(단원은 이것을 유계성 정리, 바이어슈트라스 정리, 뉴턴-랩슨 방법의 반복값의 수렴에서 직접 쓴다), 극한 단원과 도함수 단원의 정리들, 특히 볼차노 정리, 부호의 보존, 미분계수의 국소성, 한 점에서의 미분계수의 부호, 그리고 대수학과 기하학의 결과들, 예컨대 삼각함수의 공식, 부등식 sin⁡x<x<tan⁡x\sin x < x < \tan x, 지수법칙과 로그의 성질이다.
  • 도함수 단원이 예고했으나 증명하지 못한 사실들을 증명한다. 구간에서 도함수가 양인 함수는 증가한다는 것, 구간에서 도함수가 0인 함수는 상수라는 것, 미분에 의한 근사의 오차를 억누를 수 있다는 것이다. 또한 접선은 근을 근사하고, 그래프를 그 자신과 비교하며, 얼마나 휘는지 재는 도구가 된다.
  • 논증을 반복하는 대신 세 도구를 다시 쓴다. 최댓값·최솟값을 주는 바이어슈트라스 정리, 도함수의 부호를 값에 관한 정보로 옮기는 평균값 정리, 그리고 극값과 오목·볼록의 판정법의 토대가 되는 도함수의 부호에 의한 단조성이다.
  • 도함수 이상의 것을 요구하는 내용은 미적분학 II로 남긴다. 적분, 호의 길이(이것으로 곡률을 접선이 도는 빠르기로 읽는다), 균등연속성, 수열과 급수, 테일러 다항식이다. 그리고 미적분학 III에는 다변수함수의 극값과 매개변수 곡선의 곡률을 남긴다.

아래 그림은 세 구간을 하나의 사슬로 모은 것이다. 가운데 열의 각 마디는 정의나 정리이며, 논리적 순서에 따라 번호가 붙고, 그 증명이 쓰는 앞선 고리들과 호로 이어진다. 그 둘레에 떠 있는 것이 받침, 곧 사슬이 거듭 의지하는 원리와 도구이며, 각 받침은 자신에게 기대는 고리들과 실선으로, 자신이 세워지는 고리와 점선으로 이어진다. 다만 앞 단원이나 대수학과 기하학에서 온 것은 예외로, 둥근 테로 그려진다. 받침을 누르면 그것을 쓰는 고리가 모두 강조되고, 각 고리는 그것이 증명되는 수업으로 이어진다.

사슬의 받침

  • A완비성 공리. 대수학과 기하학 I에서부터, 실수가 완비 순서체를 이룬다는 것, 곧 위로 유계인 공집합이 아닌 실수 집합은 모두 상한을 갖고, 아래로 유계인 공집합이 아닌 집합은 모두 하한을 갖는다는 것을 받아들인다. 이 단원에서는 증명 없이 받아들인다.
  • B단원 1에서 물려받은 것. 극한과 연속성 단원에서 증명된 결과들. 극한의 연산 법칙, 한쪽 극한, 무한대에서의 극한과 무한대로 발산하는 극한, 부등식의 보존, 연산과 합성의 연속성, 극한과 연속함수에 대한 국소 유계성과 부호의 보존, 그리고 주요 극한. 이 단원에서는 증명 없이 받아들인다.
  • C단원 2에서 물려받은 것. 도함수 단원에서 증명된 결과들. 미분계수의 정의와 한쪽 미분계수, 미분가능하면 연속이라는 것, 미분계수의 국소성, 미분법과 연쇄 법칙, 초등함수의 도함수, 역함수의 미분법과 음함수의 미분법, 그리고 고계도함수. 이 단원에서는 증명 없이 받아들인다.
  • D사잇값 정리. 도함수 단원에서 상한을 써서 증명되었다. ff가 [a,b]\icc{a}{b}에서 연속이고 f(a)f(a)와 f(b)f(b)의 부호가 서로 반대이면, ff는 (a,b)\ioo{a}{b}의 어떤 점에서 0이 된다. 이것이 볼차노 정리이다. 또한 연속함수에 의한 구간의 상은 구간이다. 이 단원에서는 증명 없이 받아들인다.
  • E한 점에서의 미분계수의 부호. 도함수 단원에서 증명되었다. ff가 열린구간에서 정의되고 f′(a)>0f'(a) > 0이면, δ>0\delta > 0이 존재하여 f(x)<f(a)f(x) < f(a)(a−δ<x<aa - \delta < x < a일 때), f(x)>f(a)f(x) > f(a)(a<x<a+δa < x < a + \delta일 때)이다. 다만 ff가 aa 근처에서 증가한다는 것은 따라 나오지 않는다. 이 단원에서는 증명 없이 받아들인다.
  • F최댓값·최솟값의 존재. 유계인 닫힌구간에서 연속인 함수는 거기서 최댓값과 최솟값을 갖는다. 이어지는 정리들의 최댓값·최솟값과 중간점에 존재를 주는 도구이다. 확립되는 곳: 2. 바이어슈트라스 정리.
  • G평균값 정리. ff가 [a,b]\icc{a}{b}에서 연속이고 (a,b)\ioo{a}{b}의 각 점에서 미분가능하면, cc가 (a,b)\ioo{a}{b}에 존재하여 f(b)−f(a)=f′(c)(b−a)f(b) - f(a) = f'(c)(b - a)이다. 모든 점에서의 도함수에 관한 정보가 값에 관한 정보로 바뀐다. 확립되는 곳: 7. 라그랑주의 평균값 정리.
  • H도함수에 의한 단조성. 구간에서 음이 아닌 도함수는 증가함수를 주고, 양의 도함수는 엄격하게 증가하는 함수를 준다. 극값과 오목·볼록을 판정하는 도구이다. 확립되는 곳: 12. 도함수의 부호에 의한 단조성.

  1. 제1구간 존재와 평균값 정리

    • 유계인 닫힌구간에서 연속인 함수가 유계이고 최댓값과 최솟값을 가짐을 상한으로 증명하고, 어느 가정도 군더더기가 아님을 보인다.
    • 페르마의 정리로 내부의 점에서 갖는 극값의 위치를 찾고, 그것과 바이어슈트라스 정리로부터 롤, 라그랑주, 코시의 정리를 이끌어 낸다.
    • 평균값 정리로부터, 도함수가 0이면 함수가 상수임을 얻고, 증분을 억누르며, 근을 센다.
    • 로피탈의 정리를 코시의 정리로 증명하고, 그 밖의 부정형을 이 정리로 환원하며, 도함수를 계산할 때 쓴 극한에는 이 정리를 쓰지 않는다.

    1. 유계성 정리. ff가 유계인 닫힌구간 [a,b]\icc{a}{b}에서 연속이면, 수 KK가 존재하여 ∣f(x)∣≤K\abs{f(x)} \leq K가 모든 xx([a,b]\icc{a}{b}의 원소)에 대하여 성립한다.

      받침: A (완비성 공리), B (단원 1에서 물려받은 것). 증명된 수업: 바이어슈트라스의 최대·최소 정리.

    2. 바이어슈트라스 정리. ff가 유계인 닫힌구간 [a,b]\icc{a}{b}에서 연속이면, x1x_1과 x2x_2가 [a,b]\icc{a}{b}에 존재하여 f(x1)≤f(x)≤f(x2)f(x_1) \leq f(x) \leq f(x_2)이 모든 xx([a,b]\icc{a}{b}의 원소)에 대하여 성립한다. 가정은 어느 것도 생략할 수 없다.

      사용: 1. 유계성 정리. 받침: A (완비성 공리), B (단원 1에서 물려받은 것). 증명된 수업: 바이어슈트라스의 최대·최소 정리.

    3. 유계인 닫힌구간의 상. ff가 [a,b]\icc{a}{b}에서 연속이고 mm과 MM이 거기서의 최솟값과 최댓값이면, [a,b]\icc{a}{b}의 상은 구간 [m,M]\icc{m}{M}이다.

      사용: 2. 바이어슈트라스 정리. 받침: F (최댓값·최솟값의 존재), D (사잇값 정리). 증명된 수업: 바이어슈트라스의 최대·최소 정리.

    4. 내부의 점에서 갖는 최댓값 또는 최솟값. ff가 [a,b]\icc{a}{b}에서 연속이고 a<ba < b이며 f(a)=f(b)f(a) = f(b)이면, (a,b)\ioo{a}{b}의 어떤 점에서 최댓값 또는 최솟값을 갖는다.

      사용: 2. 바이어슈트라스 정리. 받침: F (최댓값·최솟값의 존재). 증명된 수업: 바이어슈트라스의 최대·최소 정리.

    5. 페르마의 정리. ff(AA에서 정의된 함수)이 내점 aa(AA의 점)에서 극값을 가질 때, 곧 δ>0\delta > 0가 존재하여 f(x)≤f(a)f(x) \leq f(a)이 모든 xx(AA의 원소로서 ∣x−a∣<δ\abs{x - a} < \delta를 만족하는 것)에 대하여 성립하거나 그 모두에 대하여 f(a)≤f(x)f(a) \leq f(x)이 성립할 때, 그리고 ff가 aa에서 미분가능하면 f′(a)=0f'(a) = 0이다.

      받침: E (한 점에서의 미분계수의 부호), C (단원 2에서 물려받은 것). 증명된 수업: 페르마, 롤, 라그랑주, 코시의 정리.

    6. 롤의 정리. ff가 [a,b]\icc{a}{b}에서 연속이고 a<ba < b이며, (a,b)\ioo{a}{b}의 각 점에서 미분가능하고 f(a)=f(b)f(a) = f(b)이면, cc가 (a,b)\ioo{a}{b}에 존재하여 f′(c)=0f'(c) = 0이다.

      사용: 4. 내부의 점에서 갖는 최댓값 또는 최솟값, 5. 페르마의 정리. 받침: F (최댓값·최솟값의 존재), C (단원 2에서 물려받은 것). 증명된 수업: 페르마, 롤, 라그랑주, 코시의 정리.

    7. 라그랑주의 평균값 정리. ff가 [a,b]\icc{a}{b}에서 연속이고 a<ba < b이며, (a,b)\ioo{a}{b}의 각 점에서 미분가능하면, cc가 (a,b)\ioo{a}{b}에 존재하여 f(b)−f(a)=f′(c)(b−a)f(b) - f(a) = f'(c)(b - a)이다. 어떤 접선은 현과 평행하다.

      사용: 6. 롤의 정리. 받침: B (단원 1에서 물려받은 것), C (단원 2에서 물려받은 것). 증명된 수업: 페르마, 롤, 라그랑주, 코시의 정리.

    8. 코시의 평균값 정리. ff와 gg가 [a,b]\icc{a}{b}에서 연속이고 a<ba < b이며, (a,b)\ioo{a}{b}의 각 점에서 미분가능하면, cc가 (a,b)\ioo{a}{b}에 존재하여 (f(b)−f(a))g′(c)=(g(b)−g(a))f′(c)\left(f(b) - f(a)\right) g'(c) = \left(g(b) - g(a)\right) f'(c)이다. 나아가 g′g'이 (a,b)\ioo{a}{b}에서 0이 되지 않으면 g(b)≠g(a)g(b) \neq g(a)이고 f(b)−f(a)g(b)−g(a)=f′(c)g′(c)\frac{f(b) - f(a)}{g(b) - g(a)} = \frac{f'(c)}{g'(c)}이다.

      사용: 6. 롤의 정리. 받침: B (단원 1에서 물려받은 것), C (단원 2에서 물려받은 것). 증명된 수업: 페르마, 롤, 라그랑주, 코시의 정리.

    9. 평균값 정리의 결과. ff가 구간 II에서 연속이고 각 내점에서 미분가능하다고 하자. f′f'이 그 점들에서 0이 되면 ff는 상수이다. 도함수가 같은 두 함수는 상수만큼 차이 난다. 그 점들에서 ∣f′(x)∣≤K\abs{f'(x)} \leq K이면, ∣f(x)−f(y)∣≤K∣x−y∣\abs{f(x) - f(y)} \leq K \abs{x - y}이 모든 xx, yy(II의 원소)에 대하여 성립한다. 그리고 ff가 II에서 미분가능하고 거기서 서로 다른 근을 n≥2n \geq 2개 가지면, f′f'은 적어도 n−1n - 1개의 근을 갖는다.

      사용: 6. 롤의 정리, 7. 라그랑주의 평균값 정리. 받침: G (평균값 정리), C (단원 2에서 물려받은 것). 증명된 수업: 페르마, 롤, 라그랑주, 코시의 정리.

    10. 로피탈의 정리. ff와 gg가 (a,b)\ioo{a}{b}에서 미분가능하고 거기서 g′(x)≠0g'(x) \neq 0이며, f(x)f(x)와 g(x)g(x)가 00에 가까워지거나 g(x)g(x)가 ∞\infty 또는 −∞-\infty에 가까워질 때(x→a+x \to a^+일 때), 나아가 f′(x)g′(x)\frac{f'(x)}{g'(x)}가 LL(실수), ∞\infty 또는 −∞-\infty에 가까워지면, f(x)g(x)\frac{f(x)}{g(x)}는 LL에 가까워진다. 왼쪽에서, 점의 양쪽에서, 그리고 무한대에서도 마찬가지이다.

      사용: 8. 코시의 평균값 정리. 받침: B (단원 1에서 물려받은 것), C (단원 2에서 물려받은 것). 증명된 수업: 로피탈의 정리.

    11. 한 점에서 미분계수가 0. n≥2n \geq 2을 자연수, II를 열린구간, aa를 II의 점이라 하고, ff를 함수로서 n−1n - 1번 미분가능하고(II에서) nn번 미분가능하며(aa에서) f′(a)=⋯=f(n−1)(a)=0f'(a) = \dots = f^{(n - 1)}(a) = 0을 만족하는 것이라 하자. 그러면 f(x)−f(a)(x−a)n\frac{f(x) - f(a)}{(x - a)^n}은 f(n)(a)n!\frac{f^{(n)}(a)}{n!}에 가까워진다(x→ax \to a일 때).

      사용: 10. 로피탈의 정리. 받침: C (단원 2에서 물려받은 것). 증명된 수업: 로피탈의 정리.

  2. 제2구간 단조성, 극값과 최대·최소, 그래프의 모양

    • 도함수의 부호로 단조성을 판정하고, 엄격한 단조성을 특성화하며, 다르부 정리를 증명한다.
    • 일계도함수, 이계도함수, 고계도함수 판정법으로 임계점을 분류하고, 닫힌구간, 열린구간, 유계가 아닌 구간에서 최댓값·최솟값을 구한다.
    • 현, 도함수의 증가, 접선, 이계도함수로 아래로 볼록함을 특성화하고, 변곡점을 알아본다.
    • 접촉원으로 그래프의 곡률을 잰다.

    1. 도함수의 부호에 의한 단조성. ff가 구간 II에서 연속이고 각 내점에서 미분가능하다고 하자. 그 점들에서 f′(x)≥0f'(x) \geq 0이면 ff는 II에서 증가하고, f′(x)>0f'(x) > 0이면 엄격하게 증가한다. f′(x)≤0f'(x) \leq 0 또는 f′(x)<0f'(x) < 0이면 감소하거나 엄격하게 감소한다. 거꾸로, ff가 II에서 증가하고 내점 aa에서 미분가능하면 f′(a)≥0f'(a) \geq 0이다.

      사용: 7. 라그랑주의 평균값 정리. 받침: E (한 점에서의 미분계수의 부호), G (평균값 정리), C (단원 2에서 물려받은 것). 증명된 수업: 단조성과 일계도함수 판정법.

    2. 도함수가 음이 아닐 때의 엄격한 단조성. ff가 구간 II에서 연속이고 각 내점에서 f′(x)≥0f'(x) \geq 0이면, ff가 II에서 엄격하게 증가하기 위한 필요충분조건은 f′f'이 어떤 구간 (p,q)\ioo{p}{q}(II에 포함된 것)에서도 그 모든 점에서 0이 되지는 않는 것이다. 특히 유한개의 점에서만 0이 되면 그렇다.

      사용: 9. 평균값 정리의 결과, 12. 도함수의 부호에 의한 단조성. 받침: H (도함수에 의한 단조성), C (단원 2에서 물려받은 것). 증명된 수업: 단조성과 일계도함수 판정법.

    3. 일계도함수 판정법. ff가 (a−r,a+r)\ioo{a - r}{a + r}에서 연속이고 aa와 다른 각 점에서 미분가능하며, f′(x)≥0f'(x) \geq 0(aa의 왼쪽에서)이고 f′(x)≤0f'(x) \leq 0(오른쪽에서)이면, aa에서 극댓값을 갖고, 부등식이 엄격하면 그것은 엄격한 극댓값이다. 부등식이 반대 방향이면 극솟값을 갖는다. 그리고 f′(x)f'(x)가 양쪽에서 양이거나 양쪽에서 음이면 aa에서 극값을 갖지 않는다.

      사용: 12. 도함수의 부호에 의한 단조성. 받침: H (도함수에 의한 단조성). 증명된 수업: 단조성과 일계도함수 판정법.

    4. 다르부 정리. ff가 열린구간 II에서 미분가능하고 a<ba < b이 II의 점이면, f′f'은 (a,b)\ioo{a}{b}에서 f′(a)f'(a)와 f′(b)f'(b) 사이에 엄격하게 놓인 모든 값을 취한다. 따라서 f′f'은 II에서 제거 가능 불연속점도 도약 불연속점도 갖지 않는다.

      사용: 2. 바이어슈트라스 정리, 5. 페르마의 정리. 받침: E (한 점에서의 미분계수의 부호), F (최댓값·최솟값의 존재), B (단원 1에서 물려받은 것), C (단원 2에서 물려받은 것). 증명된 수업: 단조성과 일계도함수 판정법.

    5. 영점이 없는 도함수. ff가 두 점 이상을 포함하는 구간 II에서 연속이고 각 내점에서 미분가능하며 그 각 점에서 f′(x)≠0f'(x) \neq 0이면, f′f'은 그 모든 점에서 같은 부호를 갖고 ff는 II에서 엄격하게 단조이다.

      사용: 12. 도함수의 부호에 의한 단조성, 15. 다르부 정리. 받침: H (도함수에 의한 단조성). 증명된 수업: 단조성과 일계도함수 판정법.

    6. 이계도함수 판정법. ff가 열린구간 II에서 미분가능하고 점 aa(II의 점)에서 두 번 미분가능하며 f′(a)=0f'(a) = 0이면, aa에서, f′′(a)>0f''(a) > 0일 때 엄격한 극솟값을 갖고 f′′(a)<0f''(a) < 0일 때 엄격한 극댓값을 갖는다.

      사용: 14. 일계도함수 판정법. 받침: E (한 점에서의 미분계수의 부호), C (단원 2에서 물려받은 것). 증명된 수업: 함수의 극값과 최댓값·최솟값.

    7. 고계도함수 판정법. ff가 n−1n - 1번 미분가능하고(열린구간 II에서) nn번 미분가능하며(점 aa에서, 이것은 II의 점), n≥2n \geq 2, f′(a)=⋯=f(n−1)(a)=0f'(a) = \dots = f^{(n - 1)}(a) = 0, f(n)(a)≠0f^{(n)}(a) \neq 0이면, nn이 짝수일 때 ff는 aa에서, f(n)(a)>0f^{(n)}(a) > 0이면 엄격한 극솟값을, f(n)(a)<0f^{(n)}(a) < 0이면 엄격한 극댓값을 갖는다. nn이 홀수일 때는 aa에서 어떤 극값도 갖지 않는다.

      사용: 11. 한 점에서 미분계수가 0. 받침: B (단원 1에서 물려받은 것). 증명된 수업: 함수의 극값과 최댓값·최솟값.

    8. 구간에서의 최댓값·최솟값. ff가 [a,b]\icc{a}{b}에서 연속이면 최댓값과 최솟값을 가지며, 그것들을 갖는 각 점은 aa, bb, 또는 (a,b)\ioo{a}{b}의 임계점이다. 열린구간(유계이든 아니든)에서 연속이고 어떤 값이 양 끝에서의 극한보다 크면, 최댓값을 가지며 그것을 갖는 점은 임계점이다.

      사용: 2. 바이어슈트라스 정리, 5. 페르마의 정리. 받침: F (최댓값·최솟값의 존재), B (단원 1에서 물려받은 것). 증명된 수업: 함수의 극값과 최댓값·최솟값.

    9. 단조성에 의한 최댓값·최솟값. ff가 구간 II에서 연속이고 cc가 그 내점이며, f′(x)≥0f'(x) \geq 0(cc보다 작은 내점들에서)이고 f′(x)≤0f'(x) \leq 0(큰 내점들에서)이면, ff는 cc에서, II에서의 최댓값을 갖는다. 그리고 cc가 ff의 유일한 임계점(II에서의)이고 ff가 거기서 극값을 가지면, 그 극값은 II에서의 엄격한 최댓값 또는 최솟값이다.

      사용: 12. 도함수의 부호에 의한 단조성, 16. 영점이 없는 도함수. 받침: H (도함수에 의한 단조성). 증명된 수업: 함수의 극값과 최댓값·최솟값.

    10. 아래로 볼록함과 도함수의 증가. 함수 ff가 구간 II에서 아래로 볼록하다는 것은 f(tx+(1−t)y)≤tf(x)+(1−t)f(y)f\left(tx + (1 - t)y\right) \leq t f(x) + (1 - t) f(y)이 모든 xx, yy(II의 원소)와 모든 tt([0,1]\icc{0}{1}의 원소)에 대하여 성립하는 것이다. ff가 II에서 연속이고 각 내점에서 미분가능하면, 그것이 아래로 볼록하기 위한 필요충분조건은 f′f'이 내점들에서 증가하는 것이고, 엄격하게 아래로 볼록하기 위한 필요충분조건은 f′f'이 그 점들에서 엄격하게 증가하는 것이다.

      사용: 7. 라그랑주의 평균값 정리. 받침: G (평균값 정리), B (단원 1에서 물려받은 것), C (단원 2에서 물려받은 것). 증명된 수업: 오목·볼록과 변곡점.

    11. 접선 위에 있는 그래프. ff가 두 점 이상을 포함하는 구간 II에서 연속이고 각 내점에서 미분가능하면, 그것이 아래로 볼록하기 위한 필요충분조건은 f(x)≥f(a)+f′(a)(x−a)f(x) \geq f(a) + f'(a)(x - a)이 모든 내점 aa와 모든 xx(II의 원소)에 대하여 성립하는 것이다. 특히 아래로 볼록하고 f′(a)=0f'(a) = 0이면 aa에서, II에서의 최솟값을 갖는다.

      사용: 21. 아래로 볼록함과 도함수의 증가. 증명된 수업: 오목·볼록과 변곡점.

    12. 아래로 볼록함과 이계도함수. ff가 두 점 이상을 포함하는 구간 II에서 연속이고 각 내점에서 두 번 미분가능하면, 그것이 아래로 볼록하기 위한 필요충분조건은 그 점들에서 f′′(x)≥0f''(x) \geq 0인 것이고, 나아가 f′′f''이 II에 포함된 어떤 열린구간에서도 그 모든 점에서 0이 되지는 않으면 엄격하게 아래로 볼록하다.

      사용: 12. 도함수의 부호에 의한 단조성, 13. 도함수가 음이 아닐 때의 엄격한 단조성, 21. 아래로 볼록함과 도함수의 증가. 받침: H (도함수에 의한 단조성), C (단원 2에서 물려받은 것). 증명된 수업: 오목·볼록과 변곡점.

    13. 변곡점. ff가 aa 근처에서 연속이고 aa에서 미분가능하며 f′′f''이 aa에서 부호를 바꾸면, 점 aa는 변곡점이다. ff가 두 번 미분가능한 변곡점에서는 f′′(a)=0f''(a) = 0이지만, 그것만으로는 충분하지 않음을 x4x^4(00에서)가 보여 준다. 그리고 f′′(a)=0f''(a) = 0이고 f′′′(a)≠0f'''(a) \neq 0이면 aa는 변곡점이며, 그래프는 그 접선을 가로지른다.

      사용: 5. 페르마의 정리, 18. 고계도함수 판정법, 21. 아래로 볼록함과 도함수의 증가, 23. 아래로 볼록함과 이계도함수. 받침: E (한 점에서의 미분계수의 부호), B (단원 1에서 물려받은 것). 증명된 수업: 오목·볼록과 변곡점.

    14. 옌센 부등식. ff가 구간 II에서 연속이고 아래로 볼록하며 각 내점에서 미분가능하면 f(t1x1+⋯+tnxn)≤t1f(x1)+⋯+tnf(xn)f\left(t_1 x_1 + \dots + t_n x_n\right) \leq t_1 f(x_1) + \dots + t_n f(x_n)이 성립한다. 여기서 xix_i는 II의 점, ti≥0t_i \geq 0은 합이 11인 가중치이다. 위로 볼록한 로그를 쓰면, 양수들의 기하평균은 산술평균을 넘지 않는다.

      사용: 22. 접선 위에 있는 그래프, 23. 아래로 볼록함과 이계도함수. 받침: C (단원 2에서 물려받은 것). 증명된 수업: 오목·볼록과 변곡점.

    15. 접촉원. ff가 열린구간에서 미분가능하고 점 aa에서 두 번 미분가능하며 m=f′(a)m = f'(a)이고 q=f′′(a)≠0q = f''(a) \neq 0이면, aa에서 ff와 같은 값, 같은 미분계수, 같은 이계미분계수를 갖는 원이 정확히 하나 있다. 그 반지름은 ρ=(1+m2)32∣q∣\rho = \frac{\left(1 + m^2\right)^{\frac{3}{2}}}{\abs{q}}, 곧 곡률 κ\kappa의 역수이며, 중심은 법선 위에 있어서 q>0q > 0이면 점의 위쪽에, q<0q < 0이면 점의 아래쪽에 있다.

      받침: C (단원 2에서 물려받은 것). 증명된 수업: 곡률과 곡률 반지름.

  3. 제3구간 최적화와 근사

    • 기하학적 또는 물리적 문제를, 정확히 정한 정의역에서 함수의 최댓값 또는 최솟값을 찾는 문제로 옮기고, 찾은 값이 최댓값 또는 최솟값임을 정당화한다.
    • 주어진 점에 가장 가까운 그래프 위의 점을 구하고, 최소 시간으로부터 반사 법칙과 굴절 법칙을 이끌어 낸다.
    • 뉴턴-랩슨 방법으로 근을 근사하고, 아래로 볼록함으로 그 수렴을 보장하며, 평균값 정리로 오차를 억누른다.

    1. 점과 그래프 사이의 거리. ff가 두 점 이상을 포함하고 끝점이 있으면 그것을 포함하는 구간에서 연속이면, 그 그래프의 어떤 점은 점 P=(x1,y1)P = (x_1, y_1)로부터 최소 거리에 있다. 그 점의 횡좌표 cc가 내점이고 ff가 거기서 미분가능하면, PP는 법선 위에 있다. 곧 (x1−c)+f′(c)(y1−f(c))=0(x_1 - c) + f'(c)\left(y_1 - f(c)\right) = 0이다.

      사용: 2. 바이어슈트라스 정리, 5. 페르마의 정리. 받침: F (최댓값·최솟값의 존재), B (단원 1에서 물려받은 것), C (단원 2에서 물려받은 것). 증명된 수업: 최적화 문제.

    2. 스넬의 법칙. 소요 시간 T(x)=a2+x2v1+b2+(d−x)2v2T(x) = \frac{\sqrt{a^2 + x^2}}{v_1} + \frac{\sqrt{b^2 + (d - x)^2}}{v_2}((0,a)(0, a)에서 (x,0)(x, 0)까지 속력 v1v_1로 가고, 거기서 (d,−b)(d, -b)까지 속력 v2v_2로 가는 경로의)은 유일한 점에서 엄격한 최솟값을 가지며, 거기서 sin⁡θ1v1=sin⁡θ2v2\frac{\sin \theta_1}{v_1} = \frac{\sin \theta_2}{v_2}이다. 이로부터, 한 직선에 닿는 두 점 사이의 최단 경로는 그 직선에 대한 수선과 같은 각을 이룬다. 이것이 반사 법칙이다.

      사용: 22. 접선 위에 있는 그래프, 23. 아래로 볼록함과 이계도함수. 받침: D (사잇값 정리), C (단원 2에서 물려받은 것). 증명된 수업: 최적화 문제.

    3. 뉴턴-랩슨 방법의 수렴. ff가 열린구간 II에서 미분가능하고 아래로 볼록하며, f′(x)≠0f'(x) \neq 0(모든 II에서)이고 f(r)=0f(r) = 0이면, 반복값 xn+1=xn−f(xn)f′(xn)x_{n+1} = x_n - \frac{f(x_n)}{f'(x_n)}은 x0x_0(II의 점으로서 f(x0)≥0f(x_0) \geq 0를 만족하는 것)에서 출발하면 rr에 단조롭게, 그것을 넘지 않고 다가가며 rr에 수렴한다. x0x_0(f(x0)<0f(x_0) < 0을 만족하는 것)에서 출발하면, x1x_1이 II에 있을 때 첫 반복에서 알맞은 쪽으로 옮겨 간다.

      사용: 16. 영점이 없는 도함수, 21. 아래로 볼록함과 도함수의 증가, 22. 접선 위에 있는 그래프. 받침: A (완비성 공리), B (단원 1에서 물려받은 것). 증명된 수업: 뉴턴-랩슨 방법.

    4. 오차의 상계. ff가 구간 JJ에서 연속이고 각 내점에서 미분가능하며 그 점들에서 ∣f′(x)∣≥m>0\abs{f'(x)} \geq m > 0이고, 나아가 f(r)=0f(r) = 0가 어떤 rr(JJ의 원소)에 대하여 성립하면, ∣x−r∣≤∣f(x)∣m\abs{x - r} \leq \frac{\abs{f(x)}}{m}이 모든 xx(JJ의 원소)에 대하여 성립한다.

      사용: 7. 라그랑주의 평균값 정리. 받침: G (평균값 정리). 증명된 수업: 뉴턴-랩슨 방법.

미적분학 II를 향하여. 사슬은 강좌가 끝나는 곳에서 멈춘다. 미적분학 II에서는, 도함수가 같은 두 함수는 상수만큼 차이 난다는 따름정리가 원시함수의 기초가 되고, 적분은 미적분의 기본 정리에서 도함수와 결합한다. 그 자체가 적분인 호의 길이로, 곡률을 접선이 도는 빠르기로 읽는다. 수열은(뉴턴-랩슨 방법의 반복값이 그 첫 예였다) 급수와 함께, 자연수에서 정의된 함수에 고유한 이론을 준다. 그리고 테일러 다항식은 그 나머지항이 롤의 정리와 코시의 정리로 억눌리며, 고계도함수로 접선을 연장하고, 고계도함수 판정법을 일반화하며, 이계도함수에 관한 가정 아래에서, 이 단원이 예들에서 관찰하기만 한 뉴턴-랩슨 방법의 이차 수렴을 증명한다.