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Topos Uranos
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무한 극한

요약

이 수업에서는 값이 한없이 커지거나 한없이 작아지는 함수를 다룬다. 극한 정의의 공통 도식을 빠져 있던 칸, 곧 값이 ∞\infty 근처에 있는 칸으로 보완하고, 무한 극한(극한을 갖지 않는 하나의 정밀한 방식)을 다른 형태의 발산과 구별한다. 단 하나의 보조정리, 곧 역수 보조정리가 무한 극한을 영과 같은 극한으로 귀착시키므로, 합, 곱, 몫의 법칙은 극한의 연산 법칙에서 유도된다. 고유한 논증이 필요한 것은 비교, 유계가 아닌 단조함수의 정리, 그리고 합성뿐이다. 이것들로 앞선 수업들이 미완으로 남긴 두 결과, 곧 분모가 0으로 가는 몫과 분자의 차수가 더 큰 유리함수가 완성된다. 이 수업은 또한 부정형이 왜 법칙이 아닌지를 보이고, 무한 극한과의 합성으로 끝맺는다.

학습 목표

  1. 도전과 응답의 도식으로 한 점에서의, 한쪽에서의, 무한대에서의 무한 극한을 정의하고, 이를 다른 형태의 발산과 구별한다.
  2. 역수 보조정리를 증명하고, 그것과 비교로부터 무한 극한을 포함한 합, 곱, 몫의 법칙을 유도한다.
  3. 부정형을 알아보고, 그것이 어떤 결과도 줄 수 있음을 예로 보인다.
  4. 다항식, 유리함수, 삼각함수, 합성함수의 무한 극한을 계산하고, 유계가 아닌 단조함수의 정리를 증명한다.

빠져 있던 칸

변수가 무한대로 갈 때의 극한에 관한 수업에서 공통 도식을 설명했다. 극한의 정의는 모두 값에 관한 도전과 변수에 관한 응답으로 이루어지며, 달라지는 것은 각각에 가깝다는 것이 무엇을 뜻하는가뿐이다. 변수에 대해서는 이미 모든 형태를 썼다. 수 aa 근처, 그 한쪽, 또는 ±∞\pm\infty 근처이다. 값에 대해서는 하나뿐이다. 수 LL 근처이다. 이 수업은 남은 형태로 도식을 보완한다. 그것은 값이 ∞\infty 근처에 있는, 곧 f(x)>Nf(x) > N인 경우, 또는 −∞-\infty 근처에 있는, 곧 f(x)<Nf(x) < N인 경우이다.

정의무한 극한

aa를 집합 AA(ff의 정의역)의 집적점이라 하자. ff는 xx가 aa로 갈 때 무한대로 발산한다고 하고, lim⁡x→af(x)=∞\lim_{x \to a} f(x) = \infty라 쓴다. 그 조건은 모든 실수 NN에 대하여 어떤 δ>0\delta > 0가 존재하여 f(x)>Nf(x) > N가 모든 xx(AA의 원소로서 0<∣x−a∣<δ0 < \abs{x - a} < \delta를 만족하는 것)에 대하여 성립하는 것이다. 마찬가지로 lim⁡x→af(x)=−∞\lim_{x \to a} f(x) = -\infty라는 것은 모든 NN에 대하여 어떤 δ>0\delta > 0가 존재하여 f(x)<Nf(x) < N가 그 xx들에서 성립하는 것이다.

양화사로 쓰면 정의는 늘 같은 형태를 띤다. 이제 도전은 위쪽 반평면, 곧 세로좌표가 NN보다 큰 점들의 위쪽 반평면이다:

lim⁡x→af(x)=∞↔(∀N)(∃δ>0)(∀x∈A)(0<∣x−a∣<δ→f(x)>N)\lim_{x \to a} f(x) = \infty \leftrightarrow (\forall N)(\exists \delta > 0)(\forall x \in A)\left(0 < \abs{x - a} < \delta \rightarrow f(x) > N\right)

변형들은 앞선 수업들에서처럼 응답만 바꾸어 얻는다. lim⁡x→a+f(x)=∞\lim_{x \to a^+} f(x) = \infty라는 것은 조건이 a<x<a+δa < x < a + \delta에서 성립하는 것이고, lim⁡x→∞f(x)=∞\lim_{x \to \infty} f(x) = \infty라는 것은 어떤 MM이 존재하여 조건이 x>Mx > M에서 성립하는 것이다. 나머지 경우도 마찬가지이다. 이하에서 PP는 변수의 목표(aa, a+a^+, a−a^-, ∞\infty 또는 −∞-\infty) 중 어느 하나를 나타내고, 「PP 근처에서」는 경우에 따라 구멍 뚫린 근방에서, 한쪽에서, 또는 반직선 위에서라는 뜻이다. 이 수업의 모든 증명은 단 하나의 공통 성질만 쓴다. PP 근처에서 성립하는 두 조건은 두 반지름 중 작은 것 또는 두 문턱값 중 큰 것을 택하면 동시에 PP 근처에서 성립한다. 임의의 목표 PP에서 인용하는 유한 극한에 관한 정리(유일성, 국소 유계성, 부호 보존, 극한의 연산 법칙, 그리고 극한의 연산 법칙 수업의 보조정리들)는 한쪽 극한에 관한 수업과 앞 수업의 반전 보조정리에 의해 그 모두에서 성립한다. 반전 보조정리에서 문턱값과 반지름 사이의 대응 δ=1M\delta = \frac{1}{M}는 도전의 형태에 의존하지 않으므로, 무한 극한도 같은 방식으로 옮긴다.

이 표기가 무엇을 말하는지 강조해 두자. lim⁡x→af(x)=∞\lim_{x \to a} f(x) = \infty이면 함수는 aa에서 실변수 함수의 극한에 관한 수업의 의미로 극한을 갖지 않는다. aa 근처에서 유계가 아니기 때문이며, 국소 유계성에 따르면 극한을 갖는 함수는 유계이다. ∞\infty와의 등식은 극한을 갖지 않는 하나의 정밀한 방식을 나타낸다. ff는 PP에서 유한 극한을 갖지 않을 때 거기서 발산한다고 한다. ∞\infty 또는 −∞-\infty로 발산하는 것은 발산의 두 형태이지만 유일한 형태는 아니다. 함수 sin⁡1x\sin \frac{1}{x}는 00에서 발산하며 유계이다. 함수 1xsin⁡1x\frac{1}{x}\sin\frac{1}{x}는 00에서 발산하고 00 근처에서 유계가 아니지만, 그럼에도 ∞\infty로도 −∞-\infty로도 발산하지 않는다. 00에 얼마든지 가까운 점들에서 값이 영이 되기 때문이다.

명제영에서 x2x^2과 xx의 역수

lim⁡x→01x2=∞\lim_{x \to 0} \frac{1}{x^2} = \infty. 반면에 lim⁡x→0+1x=∞\lim_{x \to 0^+} \frac{1}{x} = \infty이고 lim⁡x→0−1x=−∞\lim_{x \to 0^-} \frac{1}{x} = -\infty이므로, 1x\frac{1}{x}는 ∞\infty로도 −∞-\infty로도 발산하지 않는다(xx가 00으로 갈 때). 도전 NN에 대한 응답은 NN의 역수의 제곱근이다. 그림에서 위쪽 반평면이 도전이고, 00 옆의 띠 모양의 영역이 응답이다.

증명

  1. δ=1N\delta = \dato{d}{\frac{1}{\sqrt{N}}}

    NN을 실수라 하자. N>0N > 0만 생각하면 충분하다. 더 큰 도전에 응하는 응답은 그보다 작은 모든 도전에도 응하기 때문이다. 응답으로 그 역수의 제곱근을 택한다.

  2. 0<x2<1N→1x2>N0 < x^2 < \frac{1}{N} \rightarrow \resaltar{\frac{1}{x^2} > N}

    0<∣x∣<δ0 < \abs{x} < \delta이면 xx의 제곱은 양수이고 1N\frac{1}{N}보다 작다. 양수의 역수를 취하면 부등호의 방향이 바뀐다.

  3. 0<x<1N→1x>N,−1N<x<0→1x<−N0 < x < \frac{1}{N} \rightarrow \frac{1}{x} > N, \qquad -\frac{1}{N} < x < 0 \rightarrow \frac{1}{x} < -N

    오른쪽에서의 1x\frac{1}{x}에 대해서는 앞 수업의 역수 명제가 응답 δ=1N\delta = \frac{1}{N}를 준다. 왼쪽에서는 1x\frac{1}{x}가 1−x\frac{1}{-x}의 역원이고, −x-x가 00의 오른쪽에 있다. 값은 −N-N보다 작다.

  4. lim⁡x→0+1x=∞≠−∞=lim⁡x→0−1x\lim_{x \to 0^+} \frac{1}{x} = \infty \neq -\infty = \lim_{x \to 0^-} \frac{1}{x}

    00을 중심으로 하는 모든 구멍 뚫린 근방에 1x\frac{1}{x}의 값으로서 11보다 큰 것과 −1-1보다 작은 것이 있다. 어떤 δ\delta도 도전 N=1N = 1(∞\infty에 대한)에도, 도전 N=−1N = -1(−∞-\infty에 대한)에도 응하지 않는다.