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Topos Uranos
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드무아브르 공식과 복소수의 거듭제곱

요약

이 수업은 드무아브르 공식을 증명한다. 이 공식에 따르면 복소수의 정수 거듭제곱(지수는 nn, 복소수의 절댓값은 11, 편각은 θ\theta)의 편각은 nθn\theta 값이다. 그리고 이 공식을 다섯 방향으로 응용한다. 곱을 전개하지 않고 지수가 큰 거듭제곱을 계산하며, 거듭제곱이 실수가 되는 때와 11 값과 같아지는 때를 판정한다. 이 공식을 이항정리와 비교하여 여러 배각의 공식을 다시 얻는다. 코사인과 사인의 거듭제곱을 여러 배각의 코사인의 합으로 나타내는데, 이 조작을 선형화라고 한다. 각이 등차수열을 이루는 사인의 합과 코사인의 합을 복소수의 등비수열의 합으로 계산한다. 그리고 이항계수의 몇 가지 합을 1+i1 + i 식의 거듭제곱의 실수부분과 허수부분으로 구한다.

학습 목표

  1. 모든 정수 지수에 대하여 드무아브르 공식을 증명하고, 복소수의 거듭제곱을 기하적으로 해석한다.
  2. 극형식을 이용하여 복소수의 거듭제곱을 계산하고, 그것이 실수가 되는 때와 11 값과 같아지는 때를 결정한다.
  3. 여러 배각의 공식을 유도하고, 사인과 코사인의 거듭제곱을 선형화한다.
  4. 삼각함수의 합과 이항계수의 합을 복소수의 합과 거듭제곱의 실수부분과 허수부분으로 계산한다.

드무아브르 공식

복소수의 극형식에 관한 수업에서는 0이 아닌 모든 복소수를 z=r(cos⁡θ+isin⁡θ)z = r \left( \cos \theta + i \sin \theta \right) 꼴로 썼다. 여기서 r=∣z∣r = \abs{z} 값은 그 절댓값이고 θ\theta 값은 그 편각 가운데 하나이다. 그리고 합의 사인과 코사인에 대한 공식을 이용하여, 곱에서는 절댓값이 곱해지고 편각이 더해짐을 증명했다. 절댓값이 11 값인 두 복소수에 대해서는 그 곱의 정리가 아래와 같이 쓰인다.

(cos⁡α+isin⁡α)(cos⁡β+isin⁡β)=cos⁡(α+β)+isin⁡(α+β)\left( \cos \alpha + i \sin \alpha \right) \left( \cos \beta + i \sin \beta \right) = \cos(\alpha + \beta) + i \sin(\alpha + \beta)

두 인수가 같으면 곱은 제곱이며, 그 편각은 2θ2\theta 값이다. 같은 인수를 한 번 더 곱하면 세제곱이 되고, 그 편각은 3θ3\theta 값이다. 곱을 반복하면 편각은 인수의 개수만큼 자기 자신에 더해지므로, 거듭제곱은 각에 정수를 곱하는 것으로 귀착된다. 이 사실이 이 수업의 주제이다. 아브라암 드무아브르는 18세기 초에 이를 동치인 형태로 사용했고, 오일러는 1748년에 이를 현재의 형태로 썼다.

정리드무아브르 공식

모든 실수 θ\theta 값과 모든 정수 nn 값에 대하여 아래의 등식이 성립한다.

(cos⁡θ+isin⁡θ)n=cos⁡(nθ)+isin⁡(nθ)\left( \cos \theta + i \sin \theta \right)^n = \cos(n\theta) + i \sin(n\theta)

증명은 세 부분으로 이루어진다. 지수가 00 값인 경우, 자연수 지수의 경우(귀납법에 의한), 음의 지수의 경우(역수에 의한)이다. 귀납법의 원리는 강좌 대수학과 기하학 I의 합, 수열, 귀납법에 관한 수업에서의 형태로 사용하고, 정수 지수의 거듭제곱은 복소수에 관한 수업의 것을 사용한다. 거기에서는 z0=1z^0 = 1 식이고 z−m=1zmz^{-m} = \frac{1}{z^m} 식이다. 그림은 반지름이 11 값인 원 위에서 증명을 따라가며, 각 θ\theta 값은 작게 잡고 n=3n = 3 식으로 둔다.

증명

  1. (cos⁡θ+isin⁡θ)0=1=cos⁡0+isin⁡0\left( \cos \theta + i \sin \theta \right)^0 = \resaltar{1} = \resaltar{\cos 0 + i \sin 0}

    n=0n = 0 식일 때 좌변은 정의에 의해 11 값이고 우변도 그러하다. cos⁡0=1\cos 0 = 1 식이고 sin⁡0=0\sin 0 = 0 식이기 때문이다.

  2. (cos⁡θ+isin⁡θ)n=cos⁡(nθ)+isin⁡(nθ)\dato{h}{\left( \cos \theta + i \sin \theta \right)^n = \cos(n\theta) + i \sin(n\theta)}

    n=1n = 1 식일 때 등식은 자명하다. 귀납 가정: 어떤 자연수 nn 값에 대하여 성립한다고 가정한다.

  3. (cos⁡θ+isin⁡θ)n+1=(cos⁡θ+isin⁡θ)n(cos⁡θ+isin⁡θ)=(cos⁡(nθ)+isin⁡(nθ))(cos⁡θ+isin⁡θ)\left( \cos \theta + i \sin \theta \right)^{n + 1} = \resaltar{\left( \cos \theta + i \sin \theta \right)^n} \left( \cos \theta + i \sin \theta \right) = \resaltar{\left( \cos(n\theta) + i \sin(n\theta) \right)} \left( \cos \theta + i \sin \theta \right)

    지수가 하나 큰 거듭제곱은 원래 거듭제곱과 밑의 곱이며, 원래 거듭제곱은 귀납 가정에 의해 바꾸어 놓는다.

  4. (cos⁡θ+isin⁡θ)n+1=(cos⁡(nθ)cos⁡θ−sin⁡(nθ)sin⁡θ)+i(sin⁡(nθ)cos⁡θ+cos⁡(nθ)sin⁡θ)=cos⁡((n+1)θ)+isin⁡((n+1)θ)\left( \cos \theta + i \sin \theta \right)^{n + 1} = \resaltar{\left( \cos(n\theta) \cos \theta - \sin(n\theta) \sin \theta \right)} + i \resaltar{\left( \sin(n\theta) \cos \theta + \cos(n\theta) \sin \theta \right)} = \dato{p}{\cos((n + 1)\theta) + i \sin((n + 1)\theta)}

    곱을 전개하면 실수부분과 허수부분은 덧셈정리에 관한 수업의 합의 코사인과 사인에 대한 공식의 우변이 된다. 이것은 극형식에서의 곱과 몫의 정리이다. 이렇게 하여 n+1n + 1 값에 대한 공식이 얻어지고, 귀납법의 원리에 의해 모든 자연수에 대하여 성립한다.

  5. (cos⁡θ+isin⁡θ)−1=cos⁡(−θ)+isin⁡(−θ)=cos⁡θ−isin⁡θ\left( \cos \theta + i \sin \theta \right)^{-1} = \dato{i}{\resaltar{\cos(-\theta) + i \sin(-\theta)}} = \resaltar{\cos \theta - i \sin \theta}

    곱의 정리에 의해 cos⁡θ+isin⁡θ\cos \theta + i \sin \theta 식에 cos⁡(−θ)+isin⁡(−θ)\cos(-\theta) + i \sin(-\theta) 식을 곱하면 cos⁡0+isin⁡0=1\cos 0 + i \sin 0 = 1 식이 된다. 따라서 둘째 인수는 첫째 인수의 역수이다. 코사인은 우함수이고 사인은 기함수이므로, 이 역수는 켤레복소수이다.

  6. (cos⁡θ+isin⁡θ)−m=(cos⁡(−θ)+isin⁡(−θ))m=cos⁡(−mθ)+isin⁡(−mθ)\left( \cos \theta + i \sin \theta \right)^{-m} = \resaltar{\left( \cos(-\theta) + i \sin(-\theta) \right)^m} = \resaltar{\cos(-m\theta) + i \sin(-m\theta)}

    n=−mn = -m 식이면(단, mm 값은 자연수), 지수법칙에 의해 지수가 −m-m 값인 거듭제곱은 역수의 mm제곱이다. 자연수 지수의 경우를 각 −θ-\theta 값에 적용한다.

이 공식은 0이 아닌 모든 복소수로 확장된다. 곱의 거듭제곱은 거듭제곱의 곱이고, 이는 음의 지수에 대해서도 성립하기 때문이다. 곱의 역수는 역수의 곱이다.

정리극형식에서의 거듭제곱

z=r(cos⁡θ+isin⁡θ)z = r \left( \cos \theta + i \sin \theta \right) 수가 0이 아닌 복소수이면, 모든 정수 nn 값에 대하여 zn=rn(cos⁡(nθ)+isin⁡(nθ))z^n = r^n \left( \cos(n\theta) + i \sin(n\theta) \right) 식이 성립한다. 곧 znz^n 수의 절댓값은 rnr^n 값이고, nθn\theta 값은 znz^n 수의 편각 가운데 하나이다. 실수 인수를 절댓값이 11 값인 인수와 분리하고, 후자에 드무아브르 공식을 적용한다. 그림은 절댓값이 11 값보다 조금 큰 복소수와 n=3n = 3 식으로 증명을 따라가며, 마지막에 z=3+i=2(cos⁡π6+isin⁡π6)z = \sqrt{3} + i = 2\left( \cos \frac{\pi}{6} + i \sin \frac{\pi}{6} \right) 수와 그 처음 세 거듭제곱을 보여 준다.

증명

  1. zn=(r(cos⁡θ+isin⁡θ))n=rn(cos⁡θ+isin⁡θ)nz^n = \left( r \left( \cos \theta + i \sin \theta \right) \right)^n = \dato{p}{\resaltar{r^n} \left( \cos \theta + i \sin \theta \right)^n}

    곱의 거듭제곱은 거듭제곱의 곱이다. 자연수 지수에 대해서는 곱셈의 교환법칙과 결합법칙에 의해, 음의 지수에 대해서는 곱의 역수가 역수의 곱이기 때문이다.

  2. zn=rn(cos⁡θ+isin⁡θ)n=rn(cos⁡(nθ)+isin⁡(nθ))z^n = r^n \resaltar{\left( \cos \theta + i \sin \theta \right)^n} = \dato{f}{r^n \resaltar{\left( \cos(n\theta) + i \sin(n\theta) \right)}}

    둘째 인수에 드무아브르 공식을 적용한다. 이 공식은 모든 정수 nn 값에 대하여 성립한다.

  3. rn>0→∣zn∣=rn,arg⁡zn=nθ\resaltar{r^n > 0} \rightarrow \abs{z^n} = \resaltar{r^n}, \qquad \arg z^n = \resaltar{n\theta}

    r>0r > 0 조건이 성립하므로 거듭제곱 rnr^n 값은 양의 실수이며, nn 값이 음수일 때도 그러하다. 극형식에서의 상등 정리에 의해, 얻은 식은 znz^n 수의 극형식이다. 그 절댓값은 rnr^n 값이고, nθn\theta 값은 그 편각 가운데 하나이다.

  4. (3+i)3=23(cos⁡π2+isin⁡π2)=8i\left( \sqrt{3} + i \right)^3 = \resaltar{2^3} \left( \cos \frac{\pi}{2} + i \sin \frac{\pi}{2} \right) = \resaltar{8i}

    z=3+iz = \sqrt{3} + i 식일 때 거듭제곱들의 절댓값은 22, 44, 88 값이고 편각은 π6\frac{\pi}{6}, π3\frac{\pi}{3}, π2\frac{\pi}{2} 값이다. 세제곱은 순허수이다.

따라서 거듭제곱 z,z2,z3,…z, z^2, z^3, \ldots 식의 절댓값은 공비가 rr 값인 등비수열을 이루고, 편각은 공차가 θ\theta 값인 등차수열을 이룬다. 이는 강좌 I의 합과 수열에 관한 수업에서의 의미이다. r=1r = 1 식이면 모든 거듭제곱은 반지름이 11 값인 원 위에 있고, 각각은 지수가 하나 작은 거듭제곱에 대하여 각 θ\theta 값만큼 회전해 있다. r>1r > 1 식이면 회전하면서 원점에서 멀어지고, r<1r < 1 식이면 회전하면서 원점에 가까워진다. 또한 zk+1=z⋅zkz^{k + 1} = z \cdot z^k 식이고 zz 수를 곱하는 것은 각 θ\theta 값의 회전과 비 rr 값의 확대의 합성이므로, 꼭짓점이 00, zkz^k, zk+1z^{k + 1} 점인 모든 삼각형은 꼭짓점이 00, 11, zz 점인 삼각형과 닮음이다. 이는 극형식에 관한 수업에서 증명한 대로이다.

예시거듭제곱의 나선

zz 수를 절댓값이 1110\frac{11}{10} 값(11 값보다 조금 큰)이고 편각이 π4\frac{\pi}{4} 값인 복소수라 하자. 그 거듭제곱 몇 개를 여덟제곱까지 계산하고, 그것들이 놓이는 곡선을 기술한다.

증명

  1. z=1110(cos⁡π4+isin⁡π4)=11220(1+i)\dato{z}{z = \frac{11}{10} \left( \cos \frac{\pi}{4} + i \sin \frac{\pi}{4} \right)} = \frac{11\sqrt{2}}{20} (1 + i)

    극형식과 대수적 형태로 쓰면 이 수는 아래와 같다.

  2. z2=(1110)2(cos⁡π2+isin⁡π2)=121100iz^2 = \resaltar{\left( \frac{11}{10} \right)^2} \left( \cos \frac{\pi}{2} + i \sin \frac{\pi}{2} \right) = \resaltar{\frac{121}{100} i}

    극형식에서의 거듭제곱 정리에 의해 제곱의 편각은 π2\frac{\pi}{2} 값이다. 곧 순허수이다.

  3. z4=(1110)4(cos⁡π+isin⁡π)=−1464110000z^4 = \resaltar{\left( \frac{11}{10} \right)^4} \left( \cos \pi + i \sin \pi \right) = \resaltar{-\frac{14641}{10000}}

    네제곱의 편각은 π\pi 값이다. 곧 음의 실수이다.

  4. z8=(1110)8(cos⁡2π+isin⁡2π)=214358881100000000z^8 = \resaltar{\left( \frac{11}{10} \right)^8} \left( \cos 2\pi + i \sin 2\pi \right) = \resaltar{\frac{214358881}{100000000}}

    여덟제곱의 편각은 2π2\pi 값이다. 한 바퀴를 돈 뒤 양의 실수축으로 돌아오며, 원점으로부터의 거리는 22 값보다 조금 크다.

  5. ∣zk+1−zk∣=∣zk(z−1)∣=∣z∣k∣z−1∣\abs{z^{k + 1} - z^k} = \resaltar{\abs{z^k \left( z - 1 \right)}} = \resaltar{\abs{z}^k \abs{z - 1}}

    곱의 절댓값 정리에 의해, 이웃한 두 거듭제곱 사이의 거리도 공비가 1110\frac{11}{10} 값인 등비수열로 커진다. 이 점들이 놓이는 곡선은 극좌표와 극곡선에 관한 수업에서 공부한 극좌표에서 방정식 r=(1110)4θπr = \left( \frac{11}{10} \right)^{\frac{4\theta}{\pi}} 식을 가진다. 이것은 로그 나선이라 불리는 나선으로, 미분법으로 증명되듯이 원점을 지나는 모든 직선과 언제나 같은 각으로 만난다.