行列と代数的構造：まとめと挑戦課題

要約

この課は、行列と代数的構造についての単元を締めくくる。単元の七つの課で達成したことを一本の演繹の鎖にまとめる。すなわち、1 次の変数変換の合成から生まれた行列の積；ガウス・ジョルダンの消去法による連立一次方程式の完全な解法とルーシェ・フロベニウスの定理；符号付き面積としての、また一意性の判定法としての行列式；逆行列と、可逆性と同値な条件；行列を平面の変換として読むこと；行列のなかにある複素数の写し；そして群、代数的構造としての環、体、同型写像という概念であり、これらはそうした計算すべてに共通するものに名前を与える。単元がこれまでの単元とコース代数と幾何 I の結果をどのように取り入れているか、何を証明なしに認めたか、そしてこの単元が、空間の解析幾何についての次の単元と、コース微分積分学 I とをどのように準備するかを説明する。最後に、各課の問題より難しく、いくつかの課を組み合わせた十題の挑戦課題を置く。

学習目標

行列の積から同型写像まで、単元の定義と定理の鎖を再構成し、どの結果がどの結果に基づくかを説明する。
単元の結果を、これまでの単元とコース I の結果、特に連立一次方程式、ベクトル、座標軸の回転、極形式、余りの算術と関係づけ、証明したことと認めたことを区別し、空間の幾何でのそれらの使い方を見通す。
行列式、逆行列、変換、複素数の行列、代数的構造を組み合わせた問題を、それぞれの場合に適切な道具を選んで解く。
演算を保つ対応によって問題をある構造から別の構造へ移し、同型写像の不変量を使って二つの群が同じものかどうかを判定する。

単元で達成したこと

行列の代数と連立一次方程式

出発点は、1 次の変数変換についての一つの観察であった。行列と行列の演算の課では、合成した変数変換の表は二つの変数変換の表を行と列で掛け合わせて得られ、この規則が積の定義とされた。そこから、二つの和の順序の交換による結合法則、分配法則、単位行列が中立であることが導かれた。そして逆の向きには、積は可換でないこと、零因子をもつこと、零でない行列でもある累乗が零になるものがあることがわかった。転置は因子の順序を逆にし、 $(AB)^{\mathsf{T}} = B^{\mathsf{T}} A^{\mathsf{T}}$ 、トレースは順序を区別しない、 $\operatorname{tr}(AB) = \operatorname{tr}(BA)$ 。このことから、方程式 $AB - BA = I$ はどの次数でも解をもたない。

積を用いると、どの連立一次方程式もただ一つの方程式 $AX = B$ として書けるようになった。連立一次方程式とガウス・ジョルダンの消去法の課は、行基本変形が解を保つこと、どの行列も簡約階段形に変形できることを証明した。また、列の個数についての帰納法で、この形が一意であることを証明し、そこから階数が消去の道筋によらないことが従い、さらにルーシェ・フロベニウスの定理を証明した。すなわち、連立方程式が解をもつのは $\operatorname{rank}(A) = \operatorname{rank}(M)$ のとき、かつそのときに限り、そのとき解は $n - r$ 個の自由なパラメータに依存する。このことから、連立一次方程式がちょうど二つの解をもつことは決してなく、未知数より方程式の少ない同次連立一次方程式は自明でない解をもつことが従った。

行列式と逆行列

ところで、正方行列の連立方程式では、消去をすべてたどらずに一意性を判定したい。行列式とクラメルの公式の課は、二次の行列式を符号付き面積として解釈し、任意の次数で再帰的に定義し、次数についての帰納法でその六つの性質を証明し、それらを用いて行列式を簡約によって計算した。そうであれば、各行基本変形は行列式に零でない数を掛けるので、そこから $\det A \neq 0$ となるのは $\operatorname{rank}(A) = n$ のとき、かつそのときに限ることが従った。積の定理 $\det(AB) = \det A \det B$ はその課では二次の場合に直接の計算で証明され、クラメルの公式は、一つの列の余因子を用いて任意の次数で証明され、各未知数を行列式の商として表した。

逆行列の課がこの部分を締めくくった。逆行列は一意であること、それが存在するのは行列式が零でないとき、かつそのときに限ること、そしてそれは余因子行列を行列式で割ったものであることを証明した。積の逆行列は因子の順序を逆にすること、そして各行基本変形は基本行列を掛けることであり、そこからガウス・ジョルダンの消去法は行列式を計算せずに $\left( A, I \right)$ を $\left( I, A^{-1} \right)$ に変えることも証明した。これらすべてが一つの同値性の定理にまとめられ、それはそれまでの四つの課を結びつける。そこから、定義の二つの積の一方を確かめれば十分であることが導かれ、基本行列を用いて任意の次数で行列式の積の定理が証明された：

\exists A^{-1} \leftrightarrow \det A \neq 0 \leftrightarrow \operatorname{rank}(A) = n \leftrightarrow \left( AX = 0 \rightarrow X = 0 \right)

行列の幾何

平面の変換としての行列の課は、この計算に幾何的な意味を与えた。列の定理により、二次の行列はちょうど平面の一次変換であり、それぞれは二つの基本ベクトルの像で決まる。この原理によって、回転、射影、対称移動、位似変換、せん断の行列が得られた。変換の合成はその行列の積であることがわかり、そこから $R_\alpha R_\beta = R_{\alpha + \beta}$ と $S_\alpha S_\beta = R_{2(\alpha - \beta)}$ が従う。行列式は面積に掛かる倍率であり、向きが逆になれば負の符号がつくことがわかった。そして二次方程式の座標軸の回転は $M$ から $R_\theta^{\mathsf{T}} M R_\theta$ への移行として書かれ、トレースと行列式が不変量となった。

行列としての複素数の課は、この読み方を複素数を掛ける操作に当てはめた。対応 $M(a + bi) = aI + bJ$ は単射で、和と積を保つ。この対応では、絶対値の 2 乗は行列式であり、共役複素数は転置行列であり、逆数は逆行列であり、極形式は回転の後に位似変換を行うもの、 $M(z) = r R_\theta$ である。そこから、オイラーの公式とド・モアブルの公式は回転の合成の規則であること、複素数の行列はちょうど $J$ と可換な行列であること、そしてハミルトンの四元数も行列による表現をもつが、その積はもはや可換でないことが従った。

構造

最後に、代数的構造：群・環・体の課が共通するものを取り出した。群とは、結合的な演算をもち、単位元と逆元をもつ集合である。どの群でも、単位元と逆元は一意であり、簡約律が成り立ち、 $(ab)^{-1} = b^{-1} a^{-1}$ が成り立つ。いずれも可換性を用いない。巡回部分群と左剰余類はラグランジュの定理に導いた。すなわち、部分群の位数は群の位数を割り切る。代数的構造としての環と体は第二の演算を加え、コース I の合同式の課の定理「可逆な余り」から出発して、 $\mathbb{Z}_n$ が体であるのは $n$ が素数のとき、かつそのときに限ることが証明された。最後に、同型写像は、演算表の同じ二つの体系は同じ体系であるという考えを精密にした。

したがって、単元は一本の鎖をなす。合成が積の動機となり、積によって連立方程式を方程式 $AX = B$ として書くことができ、消去がそれを解き、階数がそれを分類する。行列式が一意性を判定し、逆行列が解を表す。変換の合成が積にその幾何的な意味を返し、複素数は和と合成について閉じた変換の族として現れる。そして群の概念は、行列の逆行列の一意性、数の逆数の一意性、別の回転を打ち消す回転の一意性が、ただ一つの定理であることを示す。以下の図は、四つの区間を一本の鎖にまとめたものである。列の各節点は定義か定理で、論理的な順序で番号が付き、その証明が用いるそれより前の環と弧で結ばれている。そのまわりに浮かぶのが支え、すなわち鎖が何度も立ち返る原理と道具であり、それぞれ、それに支えられる環とは実線で、それが確立される環とは点線で結ばれている。ただし、証明なしに認めるもの、これまでの単元やコース I に由来するものは除かれ、それらは白抜きの丸として描かれる。支えを押すと、それを使うすべての環が強調され、各環はそれが証明される課へのリンクになっている。

鎖の支え

A帰納法. ある性質が最初の場合に成り立ち、各場合からそのすぐ後の場合へと受け継がれるならば、すべての場合に成り立つ。コース I の第 1 単元で証明され、ここでは二重和、消去、累乗、回転に用いる。この単元では証明なしに認める。
B積の結合法則. 積が定義されるときはいつも $(AB)C = A(BC)$ が成り立つので、いくつかの行列の積は、因子の順序を変えずに都合よくまとめることができる。確立される環: 2. 積の性質.
C列の定理. 平面のどの一次変換も、ただ一つの行列の変換であり、その列は $\vec{e}_1$ と $\vec{e}_2$ の像である。確立される環: 16. 行列の列.
D加法定理. 和、差、2 倍角の正弦と余弦。解析的な三角法についての第 2 単元で証明された。この単元では証明なしに認める。
E平面のベクトル. 点と直線の距離、正射影、平行の判定法。平面の解析幾何についてのコース I の第 4 単元で証明された。この単元では証明なしに認める。
F平行四辺形の面積. 平行四辺形の面積は、一つの底辺と対応する高さの積である。符号付き面積の定理の証明では、初等幾何と同じようにこれを認める。この単元では証明なしに認める。
G余りと合同式. 余りのある割り算、 $n$ を法とする合同、その和と積との両立性、剰余類、そして定理「可逆な余り」。この定理によれば、 $a$ が $n$ を法とする逆元をもつのは $\operatorname{gcd}(a, n) = 1$ のとき、かつそのときに限る。いずれもコース I の第 1 単元の、整除性と合同式の課で証明された。この単元では証明なしに認める。

第 1 区間行列の代数と連立一次方程式
- 1 次の変数変換の合成から行列の積を定義し、どの連立一次方程式も方程式 $AX = B$ として書く。
- 結合法則、分配法則、単位行列が中立であることを証明し、積が可換でなく零因子をもつことを認識する。
- 転置が因子の順序を逆にし、トレースが順序を区別しないことを証明する。
- 簡約階段形が一意であることを証明し、それを用いて階数を定義する。
- どの連立一次方程式もガウス・ジョルダンの消去法で解き、ルーシェ・フロベニウスの定理で分類する。
1. 行列の積. 成分 $(i, j)$ （ $AB$ の）は、第 $i$ 行（ $A$ の）の成分と第 $j$ 列（ $B$ の）の成分との積の和である。こうして二つの 1 次の変数変換の合成の表が得られ、どの連立一次方程式も $AX = B$ と書ける。
  証明される授業: 行列と行列の演算.
2. 積の性質. 二つの和の順序の交換により、行列の積は結合的で、和に対して分配的であり、単位行列はその単位元である。一方、積は可換でなく、零因子と冪零行列をもつ。さらに $(AB)^{\mathsf{T}} = B^{\mathsf{T}} A^{\mathsf{T}}$ と $\operatorname{tr}(AB) = \operatorname{tr}(BA)$ が成り立ち、そこから方程式 $AB - BA = I$ は解をもたない。
  使う結果: 1. 行列の積. 支え: A (帰納法). 証明される授業: 行列と行列の演算.
3. ガウス・ジョルダンの消去法. 行基本変形は連立方程式を同値な連立方程式に変え、どの行列もそれによって有限回の変形で簡約階段形にできる。
  使う結果: 1. 行列の積. 支え: A (帰納法). 証明される授業: 連立一次方程式とガウス・ジョルダンの消去法.
4. 簡約形の一意性. 同じ行列から到達する二つの簡約階段形は等しい。それらの同次連立方程式が同じ解をもつからである。したがって、階数、すなわち任意の階段形の零でない行の個数は、選んだ変形によらない。
  使う結果: 3. ガウス・ジョルダンの消去法. 支え: A (帰納法). 証明される授業: 連立一次方程式とガウス・ジョルダンの消去法.
5. ルーシェ・フロベニウス. 連立方程式 $AX = B$ （拡大係数行列 $M$ 、未知数 $n$ 個）が解をもつのは $\operatorname{rank}(A) = \operatorname{rank}(M)$ のとき、かつそのときに限る。そのとき、階数が $n$ ならば解はただ一つであり、 $n - r$ 個の自由なパラメータに依存する（ $r < n$ のとき）。特に、 $AX = 0$ が自明でない解をもつのは $\operatorname{rank}(A) < n$ のとき、かつそのときに限る。
  使う結果: 3. ガウス・ジョルダンの消去法, 4. 簡約形の一意性. 証明される授業: 連立一次方程式とガウス・ジョルダンの消去法.
第 2 区間行列式と逆行列
- 二次の行列式を符号付き面積として解釈し、任意の次数で再帰的に定義する。
- 次数についての帰納法で行列式の性質を証明し、簡約によって計算し、それを用いて解の一意性を判定する。
- 可逆な行列を特徴づけ、逆行列を余因子行列とガウス・ジョルダンの消去法で計算する。
- 可逆性と同値な条件を一つの定理にまとめ、そこから片側逆行列と行列式の積の定理を導く。
1. 符号付き面積. 列が $\vec{u}$ と $\vec{v}$ である行列の行列式の絶対値は、それらが定める平行四辺形の面積であり、その符号は、 $\vec{u}$ から $\vec{v}$ への回転が反時計回りか時計回りかを示す。
  支え: E (平面のベクトル), D (加法定理), F (平行四辺形の面積). 証明される授業: 行列式：性質とクラメルの公式.
2. 行列式の性質. 次数についての帰納法により、第 1 行に関する展開から出発して、行列式は各行について線形であり、二つの行を入れ替えると符号が変わり、ある行が零であるか二つの行が等しければ零になり、ある行に別の行の定数倍を加えても転置しても変わらず、三角行列では対角成分の積に等しく、任意の行または列に関して展開できる。
  支え: A (帰納法). 証明される授業: 行列式：性質とクラメルの公式.
3. 行列式と階数. $n$ 次の正方行列の行列式が零でない、すなわち正則であるのは、その階数が $n$ のとき、かつそのときに限る。したがって、 $AX = 0$ が零でない解をもつのは $A$ が特異であるとき、すなわち $\det A = 0$ のとき、かつそのときに限る。
  使う結果: 3. ガウス・ジョルダンの消去法, 4. 簡約形の一意性, 5. ルーシェ・フロベニウス, 7. 行列式の性質. 証明される授業: 行列式：性質とクラメルの公式.
4. クラメルの公式. $D = \det A \neq 0$ ならば、連立方程式 $AX = B$ （方程式 $n$ 個、未知数 $n$ 個）はただ一つの解 $x_k = \frac{D_k}{D}$ をもつ。ここで $D_k$ は、第 $k$ 列を定数項の列で置き換えて得られる。任意の次数で、第 $k$ 列の余因子を用いて証明される。
  使う結果: 2. 積の性質, 5. ルーシェ・フロベニウス, 7. 行列式の性質, 8. 行列式と階数. 証明される授業: 行列式：性質とクラメルの公式.
5. 逆行列の一意性. 正方行列の逆行列は高々一つである。すなわち、 $AB = BA = I$ かつ $AD = DA = I$ ならば、 $B = D$ である。
  支え: B (積の結合法則). 証明される授業: 逆行列.
6. 行列式と可逆性. 正方行列 $A$ が可逆であるのは $\det A \neq 0$ のとき、すなわち正則であるとき、かつそのときに限り、そのときその逆行列は余因子行列を行列式で割ったものである。必要性は積の行列式を用いずに階数によって得られ、十分性は他の行の余因子の補題によって得られる。
  使う結果: 5. ルーシェ・フロベニウス, 7. 行列式の性質, 8. 行列式と階数. 支え: B (積の結合法則). 証明される授業: 逆行列.
7. 逆行列の性質. $A$ と $B$ が可逆ならば、 $AB$ 、 $A^{\mathsf{T}}$ 、 $cA$ （ただし $c \neq 0$ ）、 $A^m$ も可逆であり、特に $(AB)^{-1} = B^{-1} A^{-1}$ である。
  使う結果: 2. 積の性質, 10. 逆行列の一意性. 支え: B (積の結合法則), A (帰納法). 証明される授業: 逆行列.
8. ガウス・ジョルダンの消去法による逆行列. 各行基本変形は可逆な基本行列を掛けることである。 $A$ の簡約階段形が $I$ ならば、変形は $\left( A, I \right)$ を $\left( I, A^{-1} \right)$ に変え、 $A$ は基本行列の積である。そうでなければ、 $A$ は可逆でない。
  使う結果: 3. ガウス・ジョルダンの消去法, 4. 簡約形の一意性, 12. 逆行列の性質. 支え: B (積の結合法則). 証明される授業: 逆行列.
9. 特徴づけと片側逆行列. 正方行列 $A$ （ $n$ 次）について、以下の条件は同値である：可逆であること、 $\det A \neq 0$ 、各連立方程式 $AX = D$ がただ一つの解をもつこと、 $AX = 0$ が自明な解しかもたないこと、 $\operatorname{rank}(A) = n$ 、その簡約階段形が単位行列であること。このことから、 $AB = I$ または $BA = I$ ならば、 $B = A^{-1}$ である。
  使う結果: 5. ルーシェ・フロベニウス, 4. 簡約形の一意性, 11. 行列式と可逆性, 13. ガウス・ジョルダンの消去法による逆行列. 支え: B (積の結合法則). 証明される授業: 逆行列.
10. 積の行列式. 同じ次数のすべての正方行列 $A$ と $B$ について $\det(AB) = \det A \det B$ が成り立つ。 $A$ が可逆ならば基本行列を用いて、そうでなければ階数によって証明される。
  使う結果: 7. 行列式の性質, 8. 行列式と階数, 13. ガウス・ジョルダンの消去法による逆行列, 14. 特徴づけと片側逆行列. 支え: A (帰納法). 証明される授業: 逆行列.
第 3 区間行列の幾何
- 二次の行列を平面の一次変換と同一視し、回転、射影、対称移動の行列を求める。
- 変換の合成を行列の積に、行列式を面積の拡大率に翻訳する。
- 座標軸の回転を行列の形で書き、トレースと行列式を不変量とする。
- 絶対値、共役複素数、逆数、極形式とともに、複素数を行列で表す。
1. 行列の列. 行列で与えられる変換はどれも一次変換であり、平面のどの一次変換もただ一つの行列、すなわち $T(\vec{e}_1)$ と $T(\vec{e}_2)$ を列とする行列の変換である。
  使う結果: 2. 積の性質. 証明される授業: 平面の変換としての行列.
2. 回転、射影、対称移動. 原点のまわりの角 $\theta$ の回転、原点を通る直線への射影、その直線に関する対称移動は一次変換であり、その行列はそれぞれ $R_\theta$ 、 $P_\alpha$ 、 $S_\alpha$ である。
  支え: C (列の定理), D (加法定理), E (平面のベクトル). 証明される授業: 平面の変換としての行列.
3. 合成と積. $T$ が行列 $A$ の変換、 $U$ が行列 $B$ の変換ならば、合成 $T \circ U$ は行列 $AB$ の変換である。
  支え: B (積の結合法則), C (列の定理). 証明される授業: 平面の変換としての行列.
4. 回転と対称移動の合成. $R_\alpha R_\beta = R_{\alpha + \beta}$ 、 $R_\theta^{-1} = R_\theta^{\mathsf{T}}$ 、 $R_\theta^n = R_{n\theta}$ 、 $S_\alpha S_\beta = R_{2(\alpha - \beta)}$ が成り立つ。
  使う結果: 17. 回転、射影、対称移動, 18. 合成と積. 支え: D (加法定理), A (帰納法). 証明される授業: 平面の変換としての行列.
5. 面積の拡大率としての行列式. 行列 $A$ の変換は単位正方形をその列の張る平行四辺形に移し、面積を $\abs{\det A}$ 倍する。一般の領域についてはこれを認める。 $\det A > 0$ ならば向きを保ち、 $\det A < 0$ ならば向きを逆にする。
  使う結果: 6. 符号付き面積. 支え: C (列の定理). 証明される授業: 平面の変換としての行列.
6. 可逆な変換. 行列 $A$ の変換が全単射であるのは $\det A \neq 0$ のとき、かつそのときに限り、そのときその逆変換は行列 $A^{-1}$ の変換である。 $\det A = 0$ ならば、その像は原点を通る直線に含まれる。
  使う結果: 11. 行列式と可逆性, 18. 合成と積. 支え: E (平面のベクトル). 証明される授業: 平面の変換としての行列.
7. 行列による座標軸の回転. 座標軸を角 $\theta$ だけ回転すると、二次形式の対称行列 $M$ は $R_\theta^{\mathsf{T}} M R_\theta$ になり、これは $M$ と同じトレースと同じ行列式をもつ。
  使う結果: 2. 積の性質, 7. 行列式の性質, 15. 積の行列式, 19. 回転と対称移動の合成. 証明される授業: 平面の変換としての行列.
8. 行列としての複素数. 対応 $M(a + bi) = aI + bJ$ は単射で、和と積を保つ。また $J$ 、すなわち $i$ の行列は 4 分の 1 回転であり、その 2 乗は $-I$ である。
  使う結果: 1. 行列の積, 17. 回転、射影、対称移動. 証明される授業: 行列としての複素数.
9. 絶対値・共役複素数・逆数. $M(z)$ の行列式は $\abs{z}^2$ であり、共役複素数の行列は $M(z)$ の転置行列であり、 $z \neq 0$ ならば、 $z^{-1}$ の行列は $M(z)$ の逆行列である。
  使う結果: 10. 逆行列の一意性, 20. 面積の拡大率としての行列式, 23. 行列としての複素数. 証明される授業: 行列としての複素数.
10. 極形式とド・モアブル. $z = r\left( \cos \theta + i \sin \theta \right)$ ならば $M(z) = r R_\theta$ であり、これは回転の後に位似変換を行うものである。そして $R_\theta^n = R_{n\theta}$ から、任意の整数の指数についてのド・モアブルの公式が従う。
  使う結果: 19. 回転と対称移動の合成, 23. 行列としての複素数, 24. 絶対値・共役複素数・逆数. 支え: A (帰納法). 証明される授業: 行列としての複素数.
第 4 区間構造
- 群を定義し、可換性を用いずにその基本的な性質を証明する。
- 巡回部分群を調べ、ラグランジュの定理を証明する。
- 代数的構造としての環と体を定義し、余り $\mathbb{Z}_n$ が体をなすのはいつかを判定する。
- 二つの群が同じ構造であるのはいつかを、同型写像によって精密にする。
1. 群の性質. どの群でも、単位元と各元の逆元は一意であり、左右それぞれからの簡約律が成り立ち、 $(ab)^{-1} = b^{-1} a^{-1}$ が成り立つ。いずれも可換性を用いない。
  証明される授業: 代数的構造：群・環・体.
2. 巡回部分群. 有限群において、各元 $g$ は位数 $k$ をもち、 $g^m = e$ となるのは $k$ が $m$ を割り切るとき、かつそのときに限り、累乗 $e, g, \ldots, g^{k - 1}$ は $k$ 個の元からなる部分群をなす。
  使う結果: 26. 群の性質. 支え: G (余りと合同式). 証明される授業: 代数的構造：群・環・体.
3. ラグランジュの定理. 有限群の部分群の位数は群の位数を割り切る。群は、部分群と同じ個数の元をもつ互いに交わらない左剰余類に分かれるからである。
  使う結果: 26. 群の性質. 証明される授業: 代数的構造：群・環・体.
4. 余りは体をなす. $n \geq 2$ のとき、余り $\mathbb{Z}_n$ は、 $n$ が素数ならば体をなす。定理「可逆な余り」により、零でない余りはどれも逆元をもつからである。 $n$ が合成数ならば、零因子をもち、体をなさない。
  支え: G (余りと合同式). 証明される授業: 代数的構造：群・環・体.
5. 同型写像が保つもの. 群の同型写像は、単位元を単位元に、各元の逆元をその像の逆元に、各元を同じ位数の元に移し、可換性を保つ。
  使う結果: 26. 群の性質, 27. 巡回部分群. 支え: A (帰納法). 証明される授業: 代数的構造：群・環・体.

空間の幾何へ. 鎖はここで止まらない。次の単元では、三次の行列式が外積、スカラー三重積、平行六面体の体積を与え、階数と逆行列が直線と平面の交わりを判定し計算する。こうして、この単元の代数は空間の幾何の道具となる。