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Topos Uranos
日本語

空間の直線と平面

要約

この課では、一点と方向ベクトルで定まる直線を空間に移し、平面を、一点と二つの方向ベクトルによるベクトル形と媒介変数表示で、また方程式 ax+by+cz=dax + by + cz = d（その係数が法線ベクトルをなす）による一般形で記述する。外積が二つの形を結びつけ、どの平面も定数倍を除いてただ一つの一般形の方程式をもつことが証明される。平面と直線の位置関係は連立一次方程式に翻訳され、ルーシェ・フロベニウスの定理で分類される。二直線が交わるかねじれの位置にあるかはスカラー三重積が決める。課の終わりでは平面の束を扱い、飛行機の航路、土地の傾斜、四面体についての問題を解く。

学習目標

  1. 空間の直線をベクトル形、媒介変数表示、対称形で書くこと（方向ベクトルの成分に零があるときも含む）、および異なる二点を通る直線がただ一つであることを証明すること。
  2. 平面をベクトル形、媒介変数表示、一般形で書き、外積を用いて形から形へ移り、一直線上にない三点を通る平面を作ること。
  3. どの平面も零でない定数倍を除いてただ一つの一般形の方程式をもつこと、および xx、yy、zz についての一次方程式で係数のどれかが零でないものはすべて平面を表すことを証明すること。
  4. 二つまたは三つの平面、直線と平面、二直線の位置関係を、連立一次方程式の階数とスカラー三重積によって決定すること（データが媒介変数に依存するときも含む）。
  5. 平面の束を用いて、直線を含みもう一つの条件を満たす平面を作り、航空、建設、設計の場面を直線と平面でモデル化すること。

空間の直線

コース 代数と幾何 I の 平面ベクトル の課では、平面上の直線（直線の方程式 の課以来、一次方程式のグラフとして知られている）を P0+td⃗P_0 + t \vec{d} として記述した。空間には傾きがなく、xx、yy、zz についての一次方程式は、のちに見るように平面を表す。そうであるなら、順序を逆にするのがよい。ベクトルによる記述を定義とし、そこからほかの形を導くのである。

空間のベクトルとその内積は 空間のベクトルと内積 の課で、外積とスカラー三重積は 外積とスカラー三重積 の課で学んだ。平面の場合と同じく、Q=P+v⃗Q = P + \vec{v} は PQ⃗=v⃗\vec{PQ} = \vec{v} を意味し、零でない二つのベクトルは、一方が他方の実数倍であるとき平行であるという。図では、yy 軸は右向き、zz 軸は上向き、xx 軸は見る人のほうを向く。

AA を点、v⃗=(v1,v2,v3)\vec{v} = \left( v_1, v_2, v_3 \right) を零でないベクトルとする。直線（AA を通り方向ベクトルが v⃗\vec{v} のもの）とは、点 PP のうち、ある実数 tt があって P=A+tv⃗P = A + t \vec{v} となるもの全体の集合である。数 tt を PP の媒介変数という。
P=A+tv⃗,t∈RP = A + t \vec{v}, \quad t \in \mathbb{R}

各点の媒介変数はただ一つである。実際、A+tv⃗=A+sv⃗A + t \vec{v} = A + s \vec{v} ならば (t−s)v⃗=0⃗\left( t - s \right) \vec{v} = \vec{0} であり、v⃗\vec{v} は零ベクトルでないから t=st = s である。A=(x0,y0,z0)A = (x_0, y_0, z_0)、P=(x,y,z)P = (x, y, z) とすると、ベクトル方程式を成分で書くことにより直線の媒介変数表示が得られる。

{x=x0+tv1y=y0+tv2z=z0+tv3\begin{cases} x = x_0 + t v_1 \\ y = y_0 + t v_2 \\ z = z_0 + t v_3 \end{cases}

媒介変数が時刻であれば、これらの式は平面の場合と同じく速度 v⃗\vec{v} の等速運動を表す。同じ直線は多くの出発点と多くの方向ベクトルをもつ。以下の定理は、直線がその二点で定まることを示す。

定理二点を通る直線

異なる二点 AA、BB を通る直線はただ一つであり、それは方程式 P=A+tAB⃗P = A + t \vec{AB} の直線である。したがって、方程式 P=A+tv⃗P = A + t \vec{v} と P=C+sw⃗P = C + s \vec{w} が同じ直線を表すのは、CC が第一の直線上にあり、かつ w⃗\vec{w} が v⃗\vec{v} に平行であるとき、かつそのときに限る。

図では A=(2,0,1)A = (2, 0, 1)、B=(1,2,2)B = (1, 2, 2) であり、したがって AB⃗=(−1,2,1)\vec{AB} = \left( -1, 2, 1 \right) である。もう一方の直線は C=(0,4,3)C = (0, 4, 3) を通り、方向ベクトルは v⃗=(1,−2,−1)\vec{v} = \left( 1, -2, -1 \right) である。

証明

  1. A+0⋅AB⃗=A,A+1⋅AB⃗=BA + \resaltar{0} \cdot \vec{AB} = A, \qquad A + \resaltar{1} \cdot \vec{AB} = B

    存在：ベクトル AB⃗\vec{AB} は零ベクトルでない。A≠BA \neq B だからである。AA を通りこのベクトルを方向ベクトルとする直線は、AA（媒介変数 00）と BB（媒介変数 11）を含む。

  2. A=C+t1v⃗,B=C+t2v⃗\dato{ab}{A = C + t_1 \vec{v}, \qquad B = C + t_2 \vec{v}}

    一意性：rr を任意の直線（P=C+tv⃗P = C + t \vec{v}）で AA と BB を含むものとし、t1t_1、t2t_2 をそれらの媒介変数とする。図では t1=2t_1 = 2、t2=1t_2 = 1 である。

  3. AB⃗=t2v⃗−t1v⃗=(t2−t1)v⃗\vec{AB} = t_2 \vec{v} - t_1 \vec{v} = \dato{d}{\resaltar{\left( t_2 - t_1 \right)} \vec{v}}

    シャールの関係により AB⃗=CB⃗−CA⃗\vec{AB} = \vec{CB} - \vec{CA} である。A≠BA \neq B だから二つの媒介変数は異なる。したがって、AB⃗\vec{AB} は v⃗\vec{v} に平行である。図では AB⃗=−v⃗\vec{AB} = -\vec{v} である。

  4. C+tv⃗=A+(t−t1)v⃗=A+t−t1t2−t1AB⃗C + t \vec{v} = A + \left( t - t_1 \right) \vec{v} = A + \resaltar{\frac{t - t_1}{t_2 - t_1}} \vec{AB}

    rr の各点は直線 ABAB 上にある。AA から出発し（CC からではなく）、v⃗\vec{v} を AB⃗\vec{AB} による表示で置き換えればよい。図では、rr 上の媒介変数 12\frac{1}{2} の点は、直線 ABAB 上の媒介変数 32\frac{3}{2} の点である。

  5. A+sAB⃗=A+s(t2−t1)v⃗=C+(t1+s(t2−t1))v⃗A + s \vec{AB} = A + s \left( t_2 - t_1 \right) \vec{v} = C + \resaltar{\left( t_1 + s \left( t_2 - t_1 \right) \right)} \vec{v}

    逆に、媒介変数 ss の点（直線 ABAB 上の）は、媒介変数 t1+s(t2−t1)t_1 + s \left( t_2 - t_1 \right) の点（rr 上の）である。二つの直線は同じ点からなる。第二の主張について：二つの方程式が同じ直線を表すなら、CC と C+w⃗C + \vec{w} はその上にあり、三つ目の手順により w⃗\vec{w} は v⃗\vec{v} の実数倍である。CC が第一の直線上にあり w⃗=kv⃗\vec{w} = k \vec{v} ならば、第一の直線は CC と C+w⃗C + \vec{w} を含み、それらを通る直線である。

このことから、異なる二直線の共有点は高々一つである。共有点が二つあれば、どちらもその二点を通るただ一つの直線になってしまう。三点は、それらを含む直線があるとき一直線上にあるという。A≠BA \neq B のとき、点 CC がそれらと一直線上にあるのは、C=A+tAB⃗C = A + t \vec{AB}（ある tt について）となるとき、すなわち AC⃗\vec{AC} が AB⃗\vec{AB} の実数倍であるとき、かつそのときに限る。

対称形

各式から媒介変数を求め、結果を等しいとおけば、媒介変数を含まない式が得られる。ただし、方向ベクトルの零の成分には注意が要る。

命題直線の対称形

直線 rr は A=(x0,y0,z0)A = (x_0, y_0, z_0) を通り、方向ベクトルが v⃗=(v1,v2,v3)\vec{v} = \left( v_1, v_2, v_3 \right) であるとする。v⃗\vec{v} の三つの成分がどれも零でなければ、点 (x,y,z)(x, y, z) が rr 上にあるのは、下の等式が成り立つとき、かつそのときに限る。v2v_2 だけが零のとき、条件は x−x0v1=z−z0v3\frac{x - x_0}{v_1} = \frac{z - z_0}{v_3} かつ y=y0y = y_0 である。v2v_2 と v3v_3 が零のとき、条件は y=y0y = y_0 かつ z=z0z = z_0 である。ほかの成分が零になる場合は、座標の役割を入れ替えれば得られる。

x−x0v1=y−y0v2=z−z0v3\frac{x - x_0}{v_1} = \frac{y - y_0}{v_2} = \frac{z - z_0}{v_3}

図では A=(1,2,−1)A = (1, 2, -1)、v⃗=(2,0,4)\vec{v} = \left( 2, 0, 4 \right) であり、これは AA から B=(3,2,3)B = (3, 2, 3) へ向かうベクトルである。

証明

  1. x−x0v1=t,y−y0v2=t,z−z0v3=t\frac{x - x_0}{v_1} = \resaltar{t}, \quad \frac{y - y_0}{v_2} = \resaltar{t}, \quad \frac{z - z_0}{v_3} = \resaltar{t}

    三つの成分がどれも零でなく P=A+tv⃗P = A + t \vec{v} のとき、媒介変数表示の各式から tt を求める。三つの商はどれも tt に等しい。

  2. x=x0+tv1,y=y0+tv2,z=z0+tv3x = x_0 + \resaltar{t} v_1, \quad y = y_0 + \resaltar{t} v_2, \quad z = z_0 + \resaltar{t} v_3

    逆に、三つの商が等しいとき、その共通の値を tt とおく。各等式に分母を掛ければ媒介変数表示に戻り、P=A+tv⃗P = A + t \vec{v} は rr 上にある。

  3. x−12=z+14,y=2\frac{x - 1}{2} = \frac{z + 1}{4}, \quad \resaltar{y = 2}

    v2v_2 だけが零のとき、第二の式は y=y0y = y_0（すべての tt について）であり、00 で割ることは意味をもたないので別に書く。図では直線は平面 y=2y = 2 上にある。

  4. y=2,z=−1\resaltar{y = 2}, \quad \resaltar{z = -1}

    v2v_2 と v3v_3 が零のとき、最後の二式が yy と zz を固定し、各 xx について媒介変数 t=x−x0v1t = \frac{x - x_0}{v_1} が点を与える。この直線は xx 軸に平行で AA を通る直線であり、図では奥に見える。

  5. 4−12=5+14=32,2−12≠2+14\frac{4 - 1}{2} = \frac{5 + 1}{4} = \frac{3}{2}, \qquad \frac{2 - 1}{2} \neq \frac{2 + 1}{4}

    図での確認：C=(4,2,5)C = (4, 2, 5) は媒介変数 32\frac{3}{2} で直線上にあり、D=(2,2,2)D = (2, 2, 2) は y=2y = 2 を満たすが直線上にない。

対称形の各等式は一次方程式である。図の直線は 2x−z=32x - z = 3 と y=2y = 2 の解の集合である。このような方程式がどれも平面を表すことがわかれば、これは直線が二平面の交線であることを意味する。これが直線の二平面の交線としての表示である。