要約 この課は導関数についての単元を開く。まず単元の道筋を示す。すなわち、導関数を平均変化率の極限として定義し、それを連続な因子をもつ分解、カラテオドリの分解として書き、そこから、零になりうる量で割ることなく、微分法の公式、合成関数の微分法、逆関数の導関数を導き、高階導関数、微分、変化率に至る道筋である。また、フェルマーの接線の方法からコーシーの定義まで、ニュートンの流率、ライプニッツの記法、バークリーの批判、そして導関数に名前と記法を与えたラグランジュの計画を経て、導関数の歴史を再構成する。導関数を生んだ問題、すなわち任意の曲線の接線とある瞬間の速度を定式化し、分解が零の増分による割り算にどのように取って代わるかを例で示す。最後に、続く単元、サイトのほかのコース、科学と技術のどこで導関数が用いられるかを指摘する。
学習目標 単元の道筋を述べ、各課が何を証明し、どの既出の結果を用いるかを説明できる。 任意の曲線の接線と瞬間の速度が導関数を極限として定義することを要する理由と、カラテオドリの分解によって零になりうる量で割ることなく公式を証明できる理由を説明できる。 フェルマーの方法からコーシーの定義まで、導関数の概念の各段階を歴史的文脈に位置づけ、それぞれを推し進めた問題や批判を見分けられる。 続く単元、ほかのコース、科学的・技術的応用において導関数がどこに現れるかを指摘できる。 導入テスト 単元に取りかかる前に、出発点を測っておくとよい。このテストは自分で確かめるためのもので、採点はされない。どこで立ち止まるべきかを知るためのものである。最初の九問は、単元の内容の九つの課を順に一つずつ扱い、覚えておく言明ではなく、計算や推論の技能を測る。同じ技能は、最後のまとめの課で、別のデータを使って改めて測る。最後の五問は、この単元が前の単元と代数と幾何 I と II から既知とするものを確かめる。すなわち、三角関数の極限、指数関数の重要な極限、スモールオー o \operatorname{o} o
単元を始める前に、自分の出発点を測りましょう。短い自己評価です。採点はされず、結果はあなたのブラウザーにだけ保存されます。
問 1 関数 f ( x ) = 1 2 x + 1 f(x) = \frac{1}{2x + 1} f ( x ) = 2 x + 1 1 0 0 0 ( 0 , 1 ) (0, 1) ( 0 , 1 )
y = − 2 x y = -2x y = − 2 x 傾きは正しいが、この直線は点を通らない。接線は
y = f ( 0 ) + f ′ ( 0 ) ( x − 0 ) y = f(0) + f'(0)(x - 0) y = f ( 0 ) + f ′ ( 0 ) ( x − 0 ) であり、
f ( 0 ) = 1 f(0) = 1 f ( 0 ) = 1 が抜けている。
y = 1 + 2 x y = 1 + 2x y = 1 + 2 x 引き算で符号を落としている。
1 2 h + 1 − 1 = − 2 h 2 h + 1 \frac{1}{2h + 1} - 1 = \frac{-2h}{2h + 1} 2 h + 1 1 − 1 = 2 h + 1 − 2 h であり、これは小さい
h > 0 h > 0 h > 0 に対して負である。関数は
0 0 0 の近くで減少し、傾きは負である。
h ≠ 0 h \neq 0 h = 0 （
0 0 0 に近いもの）に対して、平均変化率は
1 h ( 1 2 h + 1 − 1 ) = − 2 2 h + 1 \frac{1}{h}\left(\frac{1}{2h + 1} - 1\right) = \frac{-2}{2h + 1} h 1 ( 2 h + 1 1 − 1 ) = 2 h + 1 − 2 であり、これは
− 2 -2 − 2 に近づく。したがって
f ′ ( 0 ) = − 2 f'(0) = -2 f ′ ( 0 ) = − 2 であり、接線は
( 0 , 1 ) (0, 1) ( 0 , 1 ) を通りこの傾きをもつ直線である。
復習： 関数の極限としての導関数
問 2 f ( x ) = x 2 + 5 x − 1 f(x) = \frac{x^2 + 5}{x - 1} f ( x ) = x − 1 x 2 + 5 3 3 3
− 1 -1 − 1 分母を平方していない。分母は
3 3 3 で
2 2 2 であり、その平方は
4 4 4 である。
商の微分法により、
f ′ ( 3 ) = 2 ⋅ 3 ⋅ ( 3 − 1 ) − ( 3 2 + 5 ) ⋅ 1 ( 3 − 1 ) 2 = 12 − 14 4 f'(3) = \frac{2 \cdot 3 \cdot (3 - 1) - \left(3^2 + 5\right) \cdot 1}{(3 - 1)^2} = \frac{12 - 14}{4} f ′ ( 3 ) = ( 3 − 1 ) 2 2 ⋅ 3 ⋅ ( 3 − 1 ) − ( 3 2 + 5 ) ⋅ 1 = 4 12 − 14 。
復習： 微分法の公式
問 3 f ( x ) = e x cos x f(x) = e^x \cos x f ( x ) = e x cos x π 4 \frac{\pi}{4} 4 π
2 e π 4 \sqrt{2} \, e^{\frac{\pi}{4}} 2 e 4 π 余弦の導関数を
sin x \sin x sin x としている。余弦の導関数は
− sin x -\sin x − sin x であり、
π 4 \frac{\pi}{4} 4 π では二つの項が打ち消し合う。
− 2 2 e π 4 -\frac{\sqrt{2}}{2} e^{\frac{\pi}{4}} − 2 2 e 4 π 二つの因子の導関数を掛け合わせて
e x ⋅ ( − sin x ) e^x \cdot \left(-\sin x\right) e x ⋅ ( − sin x ) としている。積の導関数は導関数の積ではない。項
e x cos x e^x \cos x e x cos x が足りない。
積の微分法と、指数関数および余弦の導関数により
f ′ ( x ) = e x cos x − e x sin x = e x ( cos x − sin x ) f'(x) = e^x \cos x - e^x \sin x = e^x\left(\cos x - \sin x\right) f ′ ( x ) = e x cos x − e x sin x = e x ( cos x − sin x ) であり、
π 4 \frac{\pi}{4} 4 π では正弦と余弦が等しい。この点でのグラフの接線は水平である。
復習： 初等関数の導関数
問 4 f ( x ) = cos 2 ( 2 x ) f(x) = \cos^2(2x) f ( x ) = cos 2 ( 2 x ) π 8 \frac{\pi}{8} 8 π
− 1 -1 − 1 最も内側の関数
2 x 2x 2 x の導関数が抜けている。これが因子
2 2 2 をもたらす。合成の各関数は、それぞれに対応する点で求めた自身の導関数を寄与する。
2 2 2 余弦の導関数を
sin \sin sin としている。
− sin ( 2 x ) -\sin(2x) − sin ( 2 x ) のマイナス符号が落ちている。
2 \sqrt{2} 2 平方の部分だけを微分して
2 cos ( 2 x ) 2\cos(2x) 2 cos ( 2 x ) とし、余弦を変数のように扱っている。余弦と
2 x 2x 2 x の導関数が足りない。
合成関数の微分法を二度適用して
f ′ ( x ) = 2 cos ( 2 x ) ⋅ ( − sin ( 2 x ) ) ⋅ 2 = − 2 sin ( 4 x ) f'(x) = 2\cos(2x) \cdot \left(-\sin(2x)\right) \cdot 2 = -2\sin(4x) f ′ ( x ) = 2 cos ( 2 x ) ⋅ ( − sin ( 2 x ) ) ⋅ 2 = − 2 sin ( 4 x ) であり、
π 8 \frac{\pi}{8} 8 π では正弦の中身が
π 2 \frac{\pi}{2} 2 π になる。
復習： 合成関数の微分法
問 5 これらの区間のうち、方程式 x 3 + 2 x = 5 x^3 + 2x = 5 x 3 + 2 x = 5
[ 0 , 1 ] \icc{0}{1} [ 0 , 1 ] この区間では
F F F は符号を変えない。
F ( 0 ) = − 5 F(0) = -5 F ( 0 ) = − 5 かつ
F ( 1 ) = − 2 F(1) = -2 F ( 1 ) = − 2 である。定理は何も保証せず、実際そこに解はない。
x 3 + 2 x x^3 + 2x x 3 + 2 x は増加し、その値は
3 3 3 （
1 1 1 における値）だからである。
[ 2 , 3 ] \icc{2}{3} [ 2 , 3 ] F ( 2 ) = 7 F(2) = 7 F ( 2 ) = 7 と
F ( 3 ) = 28 F(3) = 28 F ( 3 ) = 28 は同じ符号なので、定理は適用できない。さらに、この区間で
x 3 + 2 x x^3 + 2x x 3 + 2 x は
12 12 12 以上の値をとる。
どの区間でもない。定理は F ( x ) = 0 F(x) = 0 F ( x ) = 0 どんな方程式も、すべてを一方の辺に移せばこの形に書ける。
x 3 + 2 x = 5 x^3 + 2x = 5 x 3 + 2 x = 5 は
x 3 + 2 x − 5 = 0 x^3 + 2x - 5 = 0 x 3 + 2 x − 5 = 0 と同値である。
関数
F ( x ) = x 3 + 2 x − 5 F(x) = x^3 + 2x - 5 F ( x ) = x 3 + 2 x − 5 は多項式なので連続であり、
F ( 1 ) = − 2 < 0 F(1) = -2 < 0 F ( 1 ) = − 2 < 0 かつ
F ( 2 ) = 7 > 0 F(2) = 7 > 0 F ( 2 ) = 7 > 0 である。ボルツァーノの定理により、
( 1 , 2 ) \ioo{1}{2} ( 1 , 2 ) 内に零点をもち、それが方程式の解である。
復習： 中間値の定理
問 6 関数 f ( x ) = x 5 + x f(x) = x^5 + x f ( x ) = x 5 + x R \mathbb{R} R ( f − 1 ) ′ ( 2 ) \left(f^{-1}\right)'(2) ( f − 1 ) ′ ( 2 )
1 81 \frac{1}{81} 81 1 f f f の導関数を
2 2 2 で求めているが、これは
f f f の値であって、それに対応する定義域の点ではない。公式は
1 f ′ ( f − 1 ( 2 ) ) \frac{1}{f'\left(f^{-1}(2)\right)} f ′ ( f − 1 ( 2 ) ) 1 であり、
f − 1 ( 2 ) = 1 f^{-1}(2) = 1 f − 1 ( 2 ) = 1 である。
6 6 6 これは
f f f の、
2 2 2 に対応する点での微分係数である。逆関数の微分係数はその逆数である。グラフを折り返すと、傾き
m m m は
1 m \frac{1}{m} m 1 になる。
f ( 1 ) = 2 f(1) = 2 f ( 1 ) = 2 であるから
f − 1 ( 2 ) = 1 f^{-1}(2) = 1 f − 1 ( 2 ) = 1 であり、
f ′ ( 1 ) = 5 + 1 = 6 f'(1) = 5 + 1 = 6 f ′ ( 1 ) = 5 + 1 = 6 は零でない。逆関数の微分法の定理により、
( f − 1 ) ′ ( 2 ) = 1 f ′ ( 1 ) \left(f^{-1}\right)'(2) = \frac{1}{f'(1)} ( f − 1 ) ′ ( 2 ) = f ′ ( 1 ) 1 。
復習： 逆関数の微分法と陰関数の微分法
問 7 F ( x ) = ( x 2 + 1 ) x F(x) = \left(x^2 + 1\right)^x F ( x ) = ( x 2 + 1 ) x 1 1 1
1 + ln 2 1 + \ln 2 1 + ln 2 これは
ln ( F ( x ) ) \ln(F(x)) ln ( F ( x )) の導関数、つまり対数微分
F ′ ( 1 ) F ( 1 ) \frac{F'(1)}{F(1)} F ( 1 ) F ′ ( 1 ) である。
F ( 1 ) = 2 F(1) = 2 F ( 1 ) = 2 を掛けるのが抜けている。
すべての
x x x に対して
F ( x ) = e x ln ( x 2 + 1 ) F(x) = e^{x \ln\left(x^2 + 1\right)} F ( x ) = e x l n ( x 2 + 1 ) であり、
F ′ ( x ) = F ( x ) ( ln ( x 2 + 1 ) + 2 x 2 x 2 + 1 ) F'(x) = F(x)\left(\ln\left(x^2 + 1\right) + \frac{2x^2}{x^2 + 1}\right) F ′ ( x ) = F ( x ) ( ln ( x 2 + 1 ) + x 2 + 1 2 x 2 ) である。
1 1 1 では
F ( 1 ) = 2 F(1) = 2 F ( 1 ) = 2 であり、括弧の中は
ln 2 + 1 \ln 2 + 1 ln 2 + 1 である。
復習： 指数にある変数と対数微分法
問 8 5 5 5 f ( x ) = x e 2 x f(x) = x e^{2x} f ( x ) = x e 2 x 0 0 0
0 0 0 二つの因子の
5 5 5 階導関数を掛け合わせているが、
x x x のそれは零である。積の
5 5 5 階導関数は、五回の微分を因子に振り分けるすべての仕方にわたる和である。
160 160 160 因子
x x x を一回微分する項では、指数関数は五回ではなく四回微分される。その
4 4 4 階導関数は
2 4 e 2 x 2^4 e^{2x} 2 4 e 2 x である。
ライプニッツの公式による。
x x x の、
1 1 1 より高い階の導関数は零なので、二つの項だけが残る。
f ( 5 ) ( x ) = x ⋅ 2 5 e 2 x + ( 5 1 ) ⋅ 1 ⋅ 2 4 e 2 x f^{(5)}(x) = x \cdot 2^5 e^{2x} + \binom{5}{1} \cdot 1 \cdot 2^4 e^{2x} f ( 5 ) ( x ) = x ⋅ 2 5 e 2 x + ( 1 5 ) ⋅ 1 ⋅ 2 4 e 2 x 。
0 0 0 では、第一項は消え、第二項は
5 ⋅ 16 5 \cdot 16 5 ⋅ 16 である。
復習： 高階導関数と微分
問 9 ある長方形は面積を 6 6 6 3 3 3 2 2 2
変化しない。高さは 3 3 3 0 0 0 微分する前に
y = 3 y = 3 y = 3 を代入している。高さが
3 3 3 なのはその瞬間だけであり、微分すべきなのはすべての瞬間に成り立つ関係である。
毎秒 3 2 \frac{3}{2} 2 3 これは底辺に関する高さの導関数
d y d x = − y x \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = -\frac{y}{x} d x d y = − x y である。時間に関する変化の速さは、これに
d x d t = 3 \frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t} = 3 d t d x = 3 を掛けて得られる。
x ( t ) x(t) x ( t ) を底辺、
y ( t ) y(t) y ( t ) を高さとすると、各瞬間に
x ( t ) y ( t ) = 6 x(t) \, y(t) = 6 x ( t ) y ( t ) = 6 である。時間で微分すると
x ′ ( t ) y ( t ) + x ( t ) y ′ ( t ) = 0 x'(t) \, y(t) + x(t) \, y'(t) = 0 x ′ ( t ) y ( t ) + x ( t ) y ′ ( t ) = 0 となる。底辺が
2 2 2 のとき高さは
3 3 3 であり、
3 ⋅ 3 + 2 y ′ = 0 3 \cdot 3 + 2 \, y' = 0 3 ⋅ 3 + 2 y ′ = 0 から
y ′ = − 9 2 y' = -\frac{9}{2} y ′ = − 2 9 が得られる。
復習： 変化率と関連する変化率
問 10 前の単元から lim h → 0 cos h − 1 h \lim_{h \to 0} \frac{\cos h - 1}{h} lim h → 0 h c o s h − 1
1 1 1 これは
sin h h \frac{\sin h}{h} h s i n h の極限であって、この商の極限ではない。余弦が
1 1 1 から離れるのは、正弦が
0 0 0 から離れるよりはるかに遅い。
− 1 2 -\frac{1}{2} − 2 1 これは
cos h − 1 h 2 \frac{\cos h - 1}{h^2} h 2 c o s h − 1 の極限で、分母は
h 2 h^2 h 2 である。分母が
h h h だと、この商には余分な因子
h h h があり、それが
0 0 0 に近づく。
h ≠ 0 h \neq 0 h = 0 のとき、この商は
− h ⋅ 1 − cos h h 2 -h \cdot \frac{1 - \cos h}{h^2} − h ⋅ h 2 1 − c o s h であり、
0 0 0 に近づく関数と
1 2 \frac{1}{2} 2 1 に近づく関数の積である。
復習： はさみうちの原理と三角関数の極限
問 11 前の単元から lim h → 0 e − 2 h − 1 h \lim_{h \to 0} \frac{e^{-2h} - 1}{h} lim h → 0 h e − 2 h − 1
1 1 1 変数を置き換えずに重要な極限を当てはめている。指数は
− 2 h -2h − 2 h であって
h h h ではない。
2 2 2 指数の符号を落としている。
e − 2 h e^{-2h} e − 2 h は
1 1 1 より小さい（
h > 0 h > 0 h > 0 のとき）ので、商は負である。
0 0 0 分子が
0 0 0 に近づくだけでは足りない。分母も
0 0 0 に近づく。
変数の置き換え
u = − 2 h u = -2h u = − 2 h を行うと、これは
h ≠ 0 h \neq 0 h = 0 なら零にならず、商は
− 2 ⋅ e u − 1 u -2 \cdot \frac{e^u - 1}{u} − 2 ⋅ u e u − 1 となり、重要な極限
lim u → 0 e u − 1 u = 1 \lim_{u \to 0} \frac{e^u - 1}{u} = 1 lim u → 0 u e u − 1 = 1 から
− 2 -2 − 2 が得られる。
復習： 初等関数の連続性と重要な極限
問 12 前の単元から これらの関数のうち、o ( h ) \operatorname{o}(h) o ( h ) h → 0 h \to 0 h → 0
sin h \sin h sin h h h h と同値であって、無視できるのではない。
h h h で割った商は
1 1 1 に近づく。
∣ h ∣ \sqrt{\abs{h}} ∣ h ∣ 0 0 0 に近づくが、
h h h より遅い。
h h h で割った商は有界でない。
2 h + h 2 2h + h^2 2 h + h 2 項
h 2 h^2 h 2 は
h h h に比べて無視できるが、
2 h 2h 2 h はそうではない。
h h h で割った商は
2 2 2 に近づき、この関数は
h h h と同位である。
h h h で割った商は
sin h \sin h sin h であり、
0 0 0 に近づく。
h h h に比べて無視できる。
復習： 同値な無限小と無限大
問 13 前の単元から f ( x ) = 2 x 3 + 3 f(x) = 2x^3 + 3 f ( x ) = 2 x 3 + 3 f − 1 ( 19 ) f^{-1}(19) f − 1 ( 19 )
1 13721 \frac{1}{13721} 13721 1 f − 1 f^{-1} f − 1 を逆数
1 f \frac{1}{f} f 1 と読んでいる。ここで指数
− 1 -1 − 1 は逆関数を表し、乗法についての逆元を表すのではない。
13721 13721 13721 これは
f ( 19 ) f(19) f ( 19 ) 、つまり
19 19 19 の像である。逆関数は逆向きの道をたどり、原像を探す。
f − 1 ( 19 ) f^{-1}(19) f − 1 ( 19 ) は、像が
19 19 19 である数である。
2 x 3 + 3 = 19 2x^3 + 3 = 19 2 x 3 + 3 = 19 から
x 3 = 8 x^3 = 8 x 3 = 8 となり、
x = 2 x = 2 x = 2 である。
復習： 関数の演算、逆関数とグラフの変換
問 14 前の単元から cos ( arcsin ( − 3 5 ) ) \cos\left(\arcsin\left(-\frac{3}{5}\right)\right) cos ( arcsin ( − 5 3 ) )
逆正弦は
[ − π 2 , π 2 ] \icc{-\frac{\pi}{2}}{\frac{\pi}{2}} [ − 2 π , 2 π ] に値をとり、そこでは余弦は負でない。ピタゴラスの恒等式により、余弦は
1 − 9 25 \sqrt{1 - \frac{9}{25}} 1 − 25 9 である。
復習： 逆三角関数
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単元の内容 歴史的背景 微積分以前の接線 流率と微分 批判から定義へ 導関数をもたない関数と一つの分解 概念を生んだ問題 導関数の意義 コースの残りの部分で ほかのコースで 科学と技術で 無料アカウントで続きを読む
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