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Topos Uranos
日本語

加法定理と二倍角・半角の公式

要約

この課では、角の和または差の正弦、余弦、正接を、それぞれの角の三角比で表す公式を証明する。最初の公式である差の余弦の公式は、単位円の弦の長さを二通りに計算して得られる。一つは直交座標における距離の公式により、もう一つは極座標における距離の公式によるもので、後者は弦が角の差だけで決まることを示す。そこから偶奇性と余角の対称性によって残りの加法定理が導かれ、さらにそれらから二倍角の公式、次数下げの公式、象限によって符号が定まる半角の公式、三倍角の公式が導かれる。これらによって、π12\frac{\pi}{12} や π5\frac{\pi}{5} の正確な値が計算できる。最後に、置換 t=tan⁡θ2t = \tan \frac{\theta}{2} は正弦と余弦を tt の有理式として表し、単位円の有理媒介変数表示を与え、それによってすべてのピタゴラス数を生み出す公式を与える。

学習目標

  1. 単位円の弦の長さによって差の余弦の公式を証明し、そこから和または差の正弦と正接の公式を、成り立つ条件とともに導く。
  2. 二倍角、次数下げ、半角、三倍角の公式を導き、角の属する象限に応じて平方根の符号を選ぶ。
  3. 主な角でない角、たとえば π12\frac{\pi}{12}、5π12\frac{5\pi}{12}、π5\frac{\pi}{5} の三角比の正確な値を、必要に応じて多項式の方程式に帰着させて計算する。
  4. 正弦と余弦を半角の正接で表し、単位円の有理媒介変数表示を求め、それによってすべてのピタゴラス数を生み出す。

差の余弦

三角比と単位円の課で証明した対称性、たとえば cos⁡(π−θ)=−cos⁡θ\cos(\pi - \theta) = -\cos \theta や sin⁡(π2−θ)=cos⁡θ\sin\left( \frac{\pi}{2} - \theta \right) = \cos \theta は、ある角の三角比を、それに座標軸上の角を加えたり引いたりして得られる別の角の三角比と結びつける。ところで、これらの等式は一般的な問題の特別な場合である。すなわち、α+β\alpha + \beta と α−β\alpha - \beta の三角比を、α\alpha と β\beta の三角比から求める問題であり、これらの数は何であってもよい。最初に注意しておくと、三角比は和に対して分配されない。sin⁡(π6+π3)=sin⁡π2=1\sin\left( \frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{3} \right) = \sin \frac{\pi}{2} = 1 であるのに対し、sin⁡π6+sin⁡π3=1+32\sin \frac{\pi}{6} + \sin \frac{\pi}{3} = \frac{1 + \sqrt{3}}{2} であり、これは 11 より大きい。正しい公式は正弦と余弦を混ぜ合わせたものであり、それを得る鍵は単位円の弦である。

角とその大きさの課の弧長に沿った移動の公理と同様に、P(θ)P(\theta) は単位円上の点で、(1,0)(1, 0) から長さ ∣θ∣\abs{\theta} の弧を、θ>0\theta > 0 なら反時計回りに、θ<0\theta < 0 なら時計回りにたどって到達する点を表す。引用した課の定義により、P(θ)=(cos⁡θ,sin⁡θ)P(\theta) = \left( \cos \theta, \sin \theta \right) である。

定理差の余弦

すべての実数 α\alpha、β\beta に対して cos⁡(α−β)=cos⁡αcos⁡β+sin⁡αsin⁡β\cos(\alpha - \beta) = \cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta が成り立つ。

P(α)P(\alpha) と P(β)P(\beta) の距離を、まずそれらの直交座標で、次にそれらの極座標（(1,α)(1, \alpha) と (1,β)(1, \beta)）で計算し、二つの結果を等しいとおいて公式を得る。

証明

  1. d2=(cos⁡α−cos⁡β)2+(sin⁡α−sin⁡β)2d^2 = \left( \resaltar{\cos \alpha - \cos \beta} \right)^2 + \left( \resaltar{\sin \alpha - \sin \beta} \right)^2

    dd を P(α)P(\alpha) と P(β)P(\beta) の距離とする。コース I の直線の方程式の課の距離の公式により、その平方は座標の差の平方の和である。

  2. d2=(cos⁡2α+sin⁡2α)+(cos⁡2β+sin⁡2β)−2cos⁡αcos⁡β−2sin⁡αsin⁡β=2−2(cos⁡αcos⁡β+sin⁡αsin⁡β)d^2 = \left( \resaltar{\cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha} \right) + \left( \resaltar{\cos^2 \beta + \sin^2 \beta} \right) - 2 \cos \alpha \cos \beta - 2 \sin \alpha \sin \beta = \dato{c}{2 - 2 \left( \cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta \right)}

    二つの平方を展開し、各角の正弦と余弦をまとめる。ピタゴラスの恒等式により、各まとまりは 11 に等しい。

  3. d2=1+1−2⋅1⋅1⋅cos⁡(α−β)=2−2cos⁡(α−β)d^2 = 1 + 1 - 2 \cdot 1 \cdot 1 \cdot \resaltar{\cos(\alpha - \beta)} = \dato{p}{2 - 2 \cos(\alpha - \beta)}

    極座標の課の極座標における距離の定理を r1=r2=1r_1 = r_2 = 1 として適用すると、同じ距離は角の差だけで決まる。幾何学的には、原点のまわりの角 −β-\beta の回転は P(β)P(\beta) を (1,0)(1, 0) に、P(α)P(\alpha) を P(α−β)P(\alpha - \beta) に移し、距離を保つ。図の二本の弦は等しい。

  4. 2−2cos⁡(α−β)=2−2(cos⁡αcos⁡β+sin⁡αsin⁡β)↔cos⁡(α−β)=cos⁡αcos⁡β+sin⁡αsin⁡β\resaltar{2 - 2 \cos(\alpha - \beta)} = \resaltar{2 - 2 \left( \cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta \right)} \leftrightarrow \cos(\alpha - \beta) = \cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta

    d2d^2 の二つの式を等しいとおき、22 を引いて −2-2 で割る。

この証明は α\alpha と β\beta にいかなる条件も要しない。極座標における距離の定理は任意の角について成り立ち、P(α)=P(β)P(\alpha) = P(\beta) なら d2d^2 の二つの式はともに零になる。また堂々めぐりにもなっていない。その定理は余弦定理で証明されたが、余弦定理は三角形を座標系に置いて得られたものであり、角の和の公式は使っていない。この道筋は逆にたどることもできる。三角形の辺 bb と cc が原点から傾斜角 β\beta と α\alpha で出ているとき、それらの端点の間の距離の平方は b2+c2−2bc(cos⁡αcos⁡β+sin⁡αsin⁡β)b^2 + c^2 - 2bc \left( \cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta \right) であり、差の余弦の公式を知っている人は、そこから三角形の解法の課の余弦定理を得る。