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Topos Uranos
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中間値の定理

要約

この課では、区間上の連続関数についての最初の大きな定理を証明する。連続関数は、ある値から別の値へ移るとき、その間のすべての値をとらずに移ることはできない。まず完備性公理を用いて、関数の符号が変わるとき零点の存在を保証するボルツァーノの定理を証明する。そこから中間値の定理、区間の像が区間であること、連続かつ狭義単調な関数の逆関数が連続であることが導かれる。この最後の結果は逆関数の導関数に必要である。定理は零点がどこにあるかを教えないが、二分法を使えば望むだけの精度でその位置を突き止められる。この課では、定理を方程式の根の存在、奇数次の多項式、不動点に応用する。

学習目標

  1. 完備性公理を用いてボルツァーノの定理を証明し、そこから中間値の定理を導く。
  2. 連続関数による区間の像が区間であることを証明し、連続かつ狭義単調な関数の逆関数の連続性を導く。
  3. 定理を用いて方程式の解の存在を証明し、二分法によって解の位置を突き止める。

ボルツァーノの定理

区間上の連続関数のグラフは、直観的なイメージでは、鉛筆を紙から離さずに描ける。軸の下から始まって軸の上で終わるなら、軸を横切らなければならない。この直観には証明が必要である。それは実数に依存しているからである。関数 x2−2x^2 - 2 は 00 で負、22 で正であるが、有理数だけを考えるならば決して零にならない。2\sqrt{2} は有理数でないからである。したがって、証明は上限を通して完備性公理を用いる。

定理ボルツァーノの定理

ff を [a,b]\icc{a}{b} で連続とし、f(a)<0<f(b)f(a) < 0 < f(b) とする。このとき cc（(a,b)\ioo{a}{b} の点）で f(c)=0f(c) = 0 となるものが存在する。f(a)>0>f(b)f(a) > 0 > f(b) の場合も同様である。 関数が負となる点全体の上限をとる。極限と連続性についての課の符号の保存により、関数はそこで負にも正にもなりえない。図は、それらの点の集合とその上限を示し、続いて二つの不可能な場合を示す。

証明

  1. S={x∈[a,b]:f(x)<0},c=sup⁡SS = \left\{ x \in \icc{a}{b} : f(x) < 0 \right\}, \qquad c = \resaltar{\sup S}

    SS を、xx（[a,b]\icc{a}{b} の点）のうち f(x)<0f(x) < 0 となるもの全体の集合とする。これは aa を含むので空でなく、bb は上界である。完備性公理により、これは上限 cc をもち、a≤c≤ba \leq c \leq b である。

  2. f(c)<0→c+δ2∈S,c+δ2>cf(c) < 0 \rightarrow c + \frac{\delta}{2} \in S, \qquad c + \frac{\delta}{2} > c

    f(c)<0f(c) < 0 ならば c≠bc \neq b である。f(b)>0f(b) > 0 だからである。符号の保存により、ff は [c,c+δ)\ico{c}{c + \delta} で負である。ここで δ>0\delta > 0 は適当な数で、c+δ≤bc + \delta \leq b となるようにとれる。すると SS は cc より大きい点を含み、cc は上界でないことになる。

  3. f(c)>0→sup⁡S≤c−δ<c,f(c)=0f(c) > 0 \rightarrow \sup S \leq c - \delta < c, \qquad \resaltar{f(c) = 0}

    f(c)>0f(c) > 0 ならば c≠ac \neq a である。符号の保存により、ff は (c−δ,c]\ioc{c - \delta}{c} で正である。ここで δ>0\delta > 0 は適当な数で、c−δ≥ac - \delta \geq a となるようにとれるので、この区間のどの点も SS に属さない。cc より大きい点も属さないから、数 c−δc - \delta は上限より小さい上界になってしまう。したがって f(c)=0f(c) = 0 であり、cc は aa でも bb でもない。二番目の場合は −f-f を考えれば最初の場合に帰着する。