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Topos Uranos
日本語

三角比と単位円

要約

この課では、角の正弦、余弦、正接を二通りに定義する。第一は直角三角形の辺の比としての定義であり、鋭角に対して有効で、選んだ三角形によらないことを相似によって証明する。第二は角の動径が単位円と交わる点の座標としての定義であり、すべての実数に対して有効で、鋭角では第一の定義と一致する。第二の定義から、各象限での符号、ピタゴラスの恒等式、π6\frac{\pi}{6}、π4\frac{\pi}{4}、π3\frac{\pi}{3} という主な角の値（正三角形の半分と正方形の半分から得られる）、そして正弦と余弦の対称性（円上で点を鏡映して証明され、任意の角の三角比をその参照角によって計算することを可能にする）が導かれる。

学習目標

  1. 直角三角形における鋭角の六つの三角比を定義し、それらが三角形によらないことを相似によって証明する。
  2. 単位円を用いて任意の角の正弦、余弦、その他の三角比を定義し、正接を動径の傾きとして捉え、二つの定義が鋭角で一致することを証明する。
  3. ピタゴラスの恒等式、主な角の値、正弦と余弦の対称性を証明し、それらを用いて参照角の方法で任意の角の三角比を計算する。
  4. 一つの三角比と象限から角のすべての三角比を求め、三角比を高さ、距離、面積の問題に応用する。

鋭角の三角比

直角三角形において、直角に向かい合う辺を斜辺といい、ほかの二辺を直角をはさむ辺という。三角形の内角の和は一つの平角であり、その大きさは π\pi である。この初等幾何の事実は角とその大きさの課で認めた。そうであれば、直角三角形の直角でない二つの角の和は π2\frac{\pi}{2} であり、そのそれぞれは鋭角、すなわち大きさが 00 と π2\frac{\pi}{2} の間にある角である。これらの鋭角の一つ（大きさ α\alpha）に関して、直角をはさむ辺の一方は対辺であってその頂点を通らず、他方は隣辺であって斜辺とともにその角の二辺をなす。

α\alpha を、斜辺 cc の直角三角形の鋭角とし、α\alpha の対辺の長さを aa、隣辺の長さを bb とする。α\alpha の正弦、余弦、正接とは、それぞれ、対辺と斜辺の比、隣辺と斜辺の比、対辺と隣辺の比である。
sin⁡α=ac,cos⁡α=bc,tan⁡α=ab\sin \alpha = \frac{a}{c}, \qquad \cos \alpha = \frac{b}{c}, \qquad \tan \alpha = \frac{a}{b}

これらの逆数を余割、正割、余接という：csc⁡α=ca\csc \alpha = \frac{c}{a}、sec⁡α=cb\sec \alpha = \frac{c}{b}、cot⁡α=ba\cot \alpha = \frac{b}{a}。この六つを三角比という。これらは三角形の辺の比、すなわち商だからである。しかし、この定義には一つの疑問が生じる。大きさ α\alpha の鋭角をもつ直角三角形は、大きいものも小さいものも無数にあり、もしそれぞれが異なる商を与えるなら、「α\alpha の正弦」という言葉はどんな数も表さないことになる。続く定理がこの疑問を解消する。

定理三角比は三角形によらない

二つの直角三角形が同じ大きさ α\alpha の鋭角をもつならば、第一の三角形の任意の二辺の比は、第二の三角形の対応する二辺の比に等しい。したがって、α\alpha の正弦、余弦、正接およびそれらの逆数は α\alpha だけで決まる。さらに、0<sin⁡α<10 < \sin \alpha < 1 かつ 0<cos⁡α<10 < \cos \alpha < 1 である。

鋭角 α\alpha をもつ二つの直角三角形を考え、第一のものは直角をはさむ辺が a1a_1 と b1b_1、斜辺が c1c_1、第二のものは直角をはさむ辺が a2a_2 と b2b_2、斜辺が c2c_2 であるとする。ここで a1a_1 と a2a_2 は α\alpha の対辺である。初等幾何の三角形の相似条件を認める。それは、コース I の直線の方程式の課で、傾きが選んだ点によらないことを保証したものと同じである。

証明

  1. a2=ka1,b2=kb1,c2=kc1\dato{k}{a_2 = k a_1, \quad b_2 = k b_1, \quad c_2 = k c_1}

    二つの三角形は二つの角、すなわち直角と大きさ α\alpha の角が等しい。二角相等の相似条件により両者は相似であり、対応する辺は比例する：数 k>0k > 0 が存在して、第二の三角形の各辺は第一の三角形の対応する辺の kk 倍である。

  2. a2c2=ka1kc1=a1c1\frac{a_2}{c_2} = \frac{\resaltar{k a_1}}{\resaltar{k c_1}} = \resaltar{\frac{a_1}{c_1}}

    対辺と斜辺の比は両方の三角形で同じである。因数 kk が約分されるからである。

  3. b2c2=kb1kc1=b1c1\frac{b_2}{c_2} = \frac{\resaltar{k b_1}}{\resaltar{k c_1}} = \resaltar{\frac{b_1}{c_1}}

    隣辺と斜辺の比についても同様である。

  4. a2b2=ka1kb1=a1b1\frac{a_2}{b_2} = \frac{\resaltar{k a_1}}{\resaltar{k b_1}} = \resaltar{\frac{a_1}{b_1}}

    直角をはさむ二辺の比についても同様である。したがって、正弦、余弦、正接、そしてそれとともにそれらの逆数は、二つの三角形で同じ値をとる：それらは α\alpha だけで決まる。

  5. c2=a2+b2→0<ac<1,0<bc<1c^2 = a^2 + b^2 \rightarrow 0 < \frac{a}{c} < 1, \quad 0 < \frac{b}{c} < 1

    三平方の定理により、斜辺の平方は直角をはさむ二辺の平方の和であり、そのどちらよりも大きい：斜辺は直角をはさむ各辺より長く、斜辺との二つの比は 00 と 11 の間にある。

この定理により、角の三角比はその角を含むどんな直角三角形でも計算でき、最も便利なものを選ぶことができる。特に、一方の鋭角の対辺は他方の鋭角の隣辺であり、このことから、和が π2\frac{\pi}{2} である二つの角（互いに余角であるという）の三角比の間の関係が導かれる。

例二つの鋭角の三角比

直角をはさむ辺が 33 と 44 の直角三角形において、α\alpha を辺 33 に対する角、β\beta を辺 44 に対する角とする。それらの三角比を求め、比較せよ。

証明

  1. c=32+42=25=5c = \sqrt{\resaltar{3^2 + 4^2}} = \sqrt{25} = \resaltar{5}

    三平方の定理により、斜辺の長さは 55 である。

  2. sin⁡α=35,cos⁡α=45,tan⁡α=34\dato{a}{\sin \alpha = \frac{3}{5}, \quad \cos \alpha = \frac{4}{5}, \quad \tan \alpha = \frac{3}{4}}

    α\alpha については、対辺は 33、隣辺は 44 である。

  3. sin⁡β=45,cos⁡β=35,tan⁡β=43\dato{b}{\sin \beta = \frac{4}{5}, \quad \cos \beta = \frac{3}{5}, \quad \tan \beta = \frac{4}{3}}

    β\beta については、二辺の役割が入れ替わる：対辺は 44、隣辺は 33 である。

  4. sin⁡β=cos⁡α,cos⁡β=sin⁡α,tan⁡β=1tan⁡α=cot⁡α\sin \beta = \cos \alpha, \quad \cos \beta = \sin \alpha, \quad \tan \beta = \frac{1}{\tan \alpha} = \cot \alpha

    α+β=π2\alpha + \beta = \frac{\pi}{2} であるから、それぞれの角の正弦は他方の角の余弦であり、それぞれの角の正接は他方の角の余接である。どの直角三角形でも同じことが成り立つ。辺の入れ替わりはそれらの長さによらないからである。

名前はここに由来する：余弦は余角の正弦、余接は余角の正接、余割は余角の正割である。