फ़्लोटिंग-पॉइंट संख्याएँ

आधार 2 में वैज्ञानिक संकेतन

पाठ पूर्णांक और उनका निरूपण ने दिखाया कि $n$ बिट का एक पूर्णांक ठीक $2^n$ क्रमागत मानों को निरूपित करता है। लेकिन दशमलव वाली संख्याएँ एक अलग कठिनाई खड़ी करती हैं: किन्हीं भी दो वास्तविक संख्याओं के बीच अनंत अन्य संख्याएँ होती हैं, और बिटों की कोई भी परिमित संख्या उन सबमें भेद नहीं कर सकती। आज के सभी कंप्यूटर जो हल अपनाते हैं, वह वही है जिसका उपयोग विज्ञान बहुत बड़े या बहुत छोटे परिमाण लिखने के लिए करता है: वैज्ञानिक संकेतन। आधार 10 में पृथ्वी से सूर्य की औसत दूरी $1.496 \times 10^{11}$ मीटर लिखी जाती है; इस संख्या का एक चिह्न है, कुछ सार्थक अंक हैं (मैंटिसा, $1.496$) और आधार की एक घात है (घातांक, $11$), जो बताता है कि दशमलव बिंदु कहाँ आता है। यदि ऐसा है, तो अंकों की एक नियत संख्या से बहुत भिन्न कोटि के परिमाण ढके जा सकते हैं, इस मूल्य पर कि हर परिमाण के केवल पहले अंक रखे जाते हैं।

कंप्यूटर यही काम आधार 2 में करता है। शून्य से भिन्न हर संख्या एक ही तरीके से इस रूप में लिखी जाती है

जहाँ $s$ चिह्न है (धनात्मक के लिए 0, ऋणात्मक के लिए 1), $1.m_1 m_2 \ldots$ द्विआधारी में लिखा मैंटिसा है, जिसका पहला अंक सदा 1 होता है, और $e$ घातांक है। पहले अंक के सदा 1 होने का एक व्यावहारिक परिणाम है: उसे रखने की आवश्यकता नहीं होती, और जो बिट बचता है वह परिशुद्धता के काम आता है। फ़्लोटिंग-पॉइंट नाम ठीक इसी रूप का वर्णन करता है: दशमलव बिंदु अंकों के बीच किसी नियत स्थान पर नहीं रहता, बल्कि घातांक के अनुसार “तैरता” है।

C++ का प्रकार double सभी वर्तमान कंपाइलरों में अंतरराष्ट्रीय स्तर पर मानकीकृत 64 बिट के डबल-प्रिसिज़न बाइनरी प्रारूप का उपयोग करता है: चिह्न के लिए 1 बिट, घातांक के लिए 11 बिट और मैंटिसा के लिए 52 बिट, पहले अंक के बिना। घातांक खिसकाकर रखा जाता है: 11 बिट के फ़ील्ड में $e + 1023$ रहता है, जिससे वह फ़ील्ड घातांकों के लिए, जो $-1022$ से $1023$ तक हैं, 1 से 2046 तक के अचिह्नित मान रखता है (फ़ील्ड के मान 0 और 2047 शून्य, बहुत छोटी संख्याओं, अनंत और अ-संख्या के लिए आरक्षित हैं, जिन्हें पाठ के अंत में देखा जाएगा)। प्रकार float 32 बिट के सिंगल-प्रिसिज़न प्रारूप का उपयोग करता है: चिह्न के लिए 1, घातांक के लिए 8 और मैंटिसा के लिए 23।

एक double के बिट देखे जा सकते हैं। नीचे दिया गया प्रोग्राम std::bit_cast का उपयोग करता है, जो हेडर <bit> से आता है और संख्या के 64 बिटों को, किसी को बदले बिना, 64 बिट के एक अचिह्नित पूर्णांक के रूप में फिर से पढ़ता है; यहाँ इसे और समझाए बिना, मेमोरी में झाँकने के एक उपकरण की तरह उपयोग किया गया है। फ़ॉर्मैट विनिर्देश {:064b} उस पूर्णांक को द्विआधारी में 64 अंकों के साथ लिखता है, जैसा इससे पहले के पाठ में हुआ था, और {:016X} षोडशआधारी में 16 अंकों के साथ।

#include <bit>#include <cstdint>#include <print>​int main(){    const double tenth{0.1};    // संख्या के 64 बिट, एक अचिह्नित पूर्णांक के रूप में पढ़े गए।    const std::uint64_t bits{std::bit_cast<std::uint64_t>(tenth)};    std::println("{:064b}", bits);    std::println("{:016X}", bits);}

00111111101110011001100110011001100110011001100110011001100110103FB999999999999A