चरघातांकी फलन और वास्तविक घातांक वाली घात

वास्तविक घातांक वाली घात

परिमेय घातांक वाली घातों वाले पाठ में $a^x$ को परिभाषित किया गया था, जहाँ $a > 0$ और $x$ परिमेय है; यह सिद्ध किया गया था कि परिभाषा उस भिन्न पर निर्भर नहीं करती जिससे घातांक लिखा जाता है, कि घातांक के नियम लागू होते हैं और कि, यदि $a > 1$, तो घात घातांक के साथ बढ़ती है: यदि $r < s$ परिमेय हैं, तो $a^r < a^s$। इसके विपरीत, $2^{\sqrt{2}}$ जैसा व्यंजक अभी अर्थहीन है, क्योंकि $\sqrt{2}$ कोई भिन्न नहीं है और न कोई मूल, न कोई पूर्णांक घात उसे परिभाषित करती है।

अब, $\sqrt{2}$ परिमेय संख्याओं $1$, $\frac{7}{5}$, $\frac{141}{100}$, $\frac{1414}{1000}$ से बड़ा है, जो नीचे से उसके निकट आती हैं, और घातें $2^1$, $2^{\frac{7}{5}}$, $2^{\frac{141}{100}}$, $2^{\frac{1414}{1000}}$ एक वर्धमान अनुक्रम बनाती हैं, जिसके मान लगभग 2; 2.639; 2.657 और 2.665 हैं। इनमें से कोई भी $2^{\frac{3}{2}} = \sqrt{8}$ से अधिक नहीं है, क्योंकि वे सभी घातांक $\frac{3}{2}$ से छोटे हैं। यदि ऐसा है, तो स्वाभाविक है कि $2^{\sqrt{2}}$ को उस सबसे छोटी संख्या के रूप में परिभाषित किया जाए जिससे कोई भी घात $2^r$ अधिक न हो, जहाँ $r$ परिमेय है और $r \leq \sqrt{2}$, अर्थात एक सुप्रीमम के रूप में; उसका अस्तित्व वास्तविक संख्याओं की पूर्णता सुनिश्चित करती है, जिसे संख्या समुच्चयों वाले पाठ में प्रस्तुत किया गया था।

सुप्रीमम के द्वारा परिभाषा

मान लीजिए $a > 1$ और $x$ एक वास्तविक संख्या है। $A_x$ से उस समुच्चय को सूचित करते हैं जिसके अवयव घातें $a^r$ हैं, जहाँ $r$ परिमेय है और $r \leq x$। वास्तविक घातांक वाली घात $a^x$, $A_x$ का सुप्रीमम है। यदि $0 < a < 1$, तो $a^x = \left(\frac{1}{a}\right)^{-x}$ परिभाषित किया जाता है, जहाँ आधार $\frac{1}{a}$, $1$ से बड़ा है; और $1^x = 1$ परिभाषित किया जाता है, जहाँ $x$ कोई भी वास्तविक संख्या है।

परिभाषा में दो कथन निहित हैं जिन्हें सिद्ध करना है: कि सुप्रीमम का अस्तित्व है, और कि, यदि $x$ परिमेय है, तो नई संख्या $a^x$ वही है जो पहले से ज्ञात थी। दूसरे कथन के बिना, प्रतीक $a^x$ के परिमेय घातांकों के लिए दो अर्थ होते।

$1$ से छोटे आधारों के लिए परिभाषा भी पहले वाली परिभाषा का विस्तार है: यदि $0 < a < 1$ और $r$ परिमेय है, तो परिमेय घातांकों के नियमों से $\left(\frac{1}{a}\right)^{-r} = \frac{1}{\left(\frac{1}{a}\right)^r} = a^r$। इसके अतिरिक्त, परिभाषा से सीधे एक नियम निकलता है जिसका प्रयोग अक्सर होगा: प्रत्येक आधार $a > 0$ और प्रत्येक वास्तविक $x$ के लिए, व्युत्क्रम आधार की घात विपरीत घातांक वाली घात है। वस्तुतः, यदि $a > 1$, तो आधार $\frac{1}{a}$, $1$ से छोटा है और, परिभाषा से, $\left(\frac{1}{a}\right)^x = a^{-x}$; यदि $0 < a < 1$, तो आधार $\frac{1}{a}$, $1$ से बड़ा है, और $a^{-x}$ की परिभाषा ठीक $\left(\frac{1}{a}\right)^{x}$ है।

एकदिष्टता

परिभाषा का पहला उपयोग $a^x$ को परिमेय घातों के बीच स्थित करना है: $1$ से बड़े आधार के साथ, $x$ से छोटा प्रत्येक परिमेय घातांक $a^x$ से छोटी घात देता है, और प्रत्येक बड़ा परिमेय घातांक, बड़ी घात। इससे किसी भी वास्तविक घातांक के लिए एकदिष्टता निकलती है।

यदि $a > 1$, तो एकदिष्टता दोनों दिशाओं में पढ़ी जा सकती है: किन्हीं भी वास्तविक संख्याओं $u$ और $v$ के लिए, $u < v$ यदि और केवल यदि $a^u < a^v$, तथा $u = v$ यदि और केवल यदि $a^u = a^v$। वस्तुतः, यदि $u \geq v$ होता, तो $a^u \geq a^v$ होता। $0$ और $1$ के बीच के आधार के साथ, यह तुल्यता उलटी असमिका के साथ लागू होती है। इस प्रकार एक ही आधार की घातों की तुलना उनके घातांकों की तुलना करके की जाती है।