गणितीय तर्कशास्त्र I: अध्ययन योजना

प्रयोजन

गणित के सभी पाठ्यक्रम उपपत्ति देना माँगते हैं, और दर्शन के सभी पाठ्यक्रम युक्ति देना; फिर भी उनमें से कोई भी स्वयं युक्ति को अपना विषय नहीं बनाता, और सभी यह मानकर चलते हैं कि किसी निष्कर्ष का कुछ आधार-वाक्यों से निकलना क्या अर्थ रखता है। यह पाठ्यक्रम इसी प्रश्न को अपना विषय बनाता है। इसका प्रयोजन है तर्कशास्त्र की सबसे सरल भाषा के लिए युक्ति को विषय बनाने वाला पहला पूर्ण गणितीय सिद्धांत रचना, उसके चारों अंगों को सामने रखते हुए: एक भाषा, जिसके सूत्र पहचाने जाते हैं और बिना अस्पष्टता के पढ़े जाते हैं; एक कलन, जो प्रतीकों के अर्थ पर ध्यान दिए बिना निगमन उत्पन्न करता है; एक अर्थ, जो प्रत्येक सूत्र को उसके चरों के प्रत्येक मान-नियतन के अंतर्गत उसका सत्यता मान देता है; और इस बात की उपपत्ति कि कलन और अर्थ मेल खाते हैं।

यदि ऐसा है, तो यह पाठ्यक्रम प्रतीकों के हेरफेर के नियमों का संग्रह नहीं, बल्कि एक केंद्रीय परिणाम, पूर्णता प्रमेय, वाला सिद्धांत है, जिसकी तैयारी पहले का सब कुछ करता है। सूत्रों के एक समुच्चय $\Gamma$ और एक सूत्र $\varphi$ के लिए, निगम्यता $\Gamma \vdash \varphi$ कहती है कि अभिगृहीतों और नियमों से बना, $\varphi$ पर समाप्त होने वाला सूत्रों का एक परिमित अनुक्रम मौजूद है; शब्दार्थीय परिणाम $\Gamma \models \varphi$ कहता है कि $\Gamma$ के सूत्रों को सत्य करने वाला हर मान-नियतन $\varphi$ को भी सत्य करता है। दोनों संबंध विपरीत विचारों से जन्म लेते हैं, एक वाक्यविन्यासीय और अस्तित्वपरक, दूसरा शब्दार्थीय और सार्वत्रिक; फिर भी पाठ्यक्रम सिद्ध करता है कि $\Gamma \vdash \varphi \Leftrightarrow \Gamma \models \varphi$। इससे निकलता है कि कुछ आधार-वाक्यों से क्या निकलता है, इस बारे में हर प्रश्न का उत्तर उस ओर से दिया जा सकता है जो अधिक आसान सिद्ध हो: एक निगमन प्रस्तुत करके, एक सारणी पर चलकर, या, जैसा अंतिम विषय-पाठ सिखाता है, विभेदन द्वारा खंडन करके।

किसके लिए और पूर्व ज्ञान

यह पाठ्यक्रम उनके लिए है जो गणित, कंप्यूटर विज्ञान या दर्शन का अध्ययन शुरू कर रहे हैं, और उनके लिए जो अपनी शिक्षा के किसी भी चरण में ठीक-ठीक जानना चाहते हैं कि उपपत्ति क्या है और उस पर भरोसा क्यों किया जा सकता है: विश्वविद्यालयी गणित में प्रवेश करने वाले और उपपत्तियों पर अटकने वाले विद्यार्थी, कंप्यूटर विज्ञान के वे विद्यार्थी जिन्हें परिपथों, प्रोग्रामों और संतोषणीयता की समस्याओं के तर्क की आवश्यकता है, और दर्शन के वे विद्यार्थी जो युक्तियों के तर्क से उसके सिद्धांत तक जाना चाहते हैं।

यह स्तर 1 का पाठ्यक्रम है, बिना पूर्वापेक्षाओं के और स्वयं में पूर्ण। यह नहीं मानता कि किसी ने तर्कशास्त्र पढ़ा है, समुच्चय सिद्धांत जानता है, या कभी कोई प्रमेय सिद्ध किया है। समुच्चयों (सदस्यता, समावेश, सम्मिलन, सूत्रों के समुच्चय), फलनों (मान-नियतन चरों से $\{0, 1\}$ में एक फलन है), प्रतीक-शृंखलाओं और आगमन से जो कुछ यह प्रयोग करता है, उसे वहीं सिखाता है जहाँ उसकी ज़रूरत होती है: समुच्चय और शृंखलाएँ इकाई 1 के भाषा संबंधी पाठ में, और आगमन अगले पाठ में, उसका प्रयोग करने से पहले। यह केवल दो बातें मानता है: ध्यान से पढ़ना, क्योंकि औपचारिक भाषा में एक जोड़ा गया या छूटा हुआ प्रतीक शृंखला को बदल देता है, और प्राकृत संख्याओं का प्रारंभिक अंकगणित, जो इस पाठ्यक्रम में, साइट के बाकी हिस्सों की तरह, $1$ से शुरू होती हैं।

यह कहाँ ले जाता है

ऊपर कही गई बातों से साइट में पाठ्यक्रम का स्थान निकलता है। इसकी कोई पूर्वापेक्षा नहीं है, और यह तीन अध्ययन कार्यक्रमों, गणित, कंप्यूटर विज्ञान और दर्शन, का लक्ष्य है, क्योंकि तीनों में युक्ति एक साथ साधन भी है और विषय भी। इसके तीन पूरक पाठ्यक्रम हैं, जिन्हें पहले, साथ-साथ या बाद में, किसी भी क्रम में पढ़ा जा सकता है। अरस्तू का तर्कशास्त्र पदों के तर्क और न्यायवाक्य का अध्ययन करता है, जिसकी वैधता “सभी” और “कुछ” जैसे शब्दों पर निर्भर करती है, जिन्हें यह पाठ्यक्रम बाहर छोड़ता है, और दिखाता है कि किस परंपरा से कलन तक पहुँचा गया। बीजगणित और ज्यामिति I पियानो के अभिगृहीतों से एक निगमनात्मक भवन खड़ा करता है, और संख्याओं पर उस अभिगृहीतीय विधि और आगमन को व्यवहार में लाता है जिनका यह पाठ्यक्रम विषय के रूप में अध्ययन करता है; उसकी योजना इस पाठ्यक्रम को पहले या साथ-साथ पढ़ने की सलाह देती है। अंत में, C++ में प्रोग्रामिंग I उसे व्यवहार में ले जाता है जो यहाँ सिद्धांत है: यह निर्णय करना कि कोई शृंखला सुनिर्मित है या नहीं, एक सत्यता सारणी पर चलना, एक प्रसामान्य रूप की गणना करना या एक खंडन खोजना, ऐसी प्रक्रियाएँ हैं जिन्हें प्रोग्रामों के रूप में लिखा जा सकता है।

फिर भी, यह पाठ्यक्रम अभिव्यक्ति का एक प्रश्न खुला छोड़ता है: इसकी भाषा “सभी” या “कुछ” नहीं कह सकती, और हिंदी में कही गई युक्तियों का औपचारिकीकरण इकाई 1 से ही परिमाणकों को खो देता है। इसलिए इसका नियोजित उत्तरवर्ती पाठ्यक्रम गणितीय तर्कशास्त्र II है, जो विधेय तर्क को समर्पित है और परिमाणकों तथा वस्तुओं पर चलने वाले चरों के साथ वही मार्ग तय करेगा: वह सुदृढ़ता, पूर्णता और संहतता को बनाए रखेगा, उन विधियों से जिनका यह पाठ्यक्रम पूर्वाभास देता है, परंतु उसमें शब्दार्थीय परिणाम निर्णेय नहीं रहेगा।

समग्र अधिगम उद्देश्य

निम्नलिखित उद्देश्य बताते हैं कि पाठ्यक्रम पूरा करने वाले को क्या कर पाना चाहिए। प्रत्येक को एक अवलोकनीय प्रदर्शन के रूप में कहा गया है, ताकि उसे किसी ठोस कार्य से जाँचा जा सके; प्रत्येक विषय-पाठ भी अपने उद्देश्य घोषित करता है, जो एक या अधिक समग्र उद्देश्यों की सेवा करते हैं, और समापन पाठ दिखाता है कि प्रत्येक उद्देश्य पर किन इकाइयों और पाठों में काम होता है। सातों उद्देश्यों को क्रमांकित किया गया है ताकि उनका उल्लेख किया जा सके।

1. उद्देश्य 1. वस्तु-भाषा और अधिभाषा में भेद करना, और निर्माण नियमों से निर्णय करना कि कोई शृंखला सूत्र है या नहीं।
2. उद्देश्य 2. प्राकृतिक भाषा के कथनों और युक्तियों का औपचारिकीकरण करना, यह बताते हुए कि औपचारिकीकरण क्या बनाए रखता है और क्या खोता है।
3. उद्देश्य 3. पाठ्यक्रम की प्रणाली (लुकासिएविच के अभिगृहीत, modus ponens और द्वि-निषेध का प्रतिस्थापन) में निगमन रचना, अभिगृहीतों, मूल नियमों और व्युत्पन्न नियमों को मिलाते हुए।
4. उद्देश्य 4. प्राकृत संख्याओं पर, सूत्रों की जटिलता पर और निगमनों की लंबाई पर आगमन द्वारा अधिप्रमेय सिद्ध करना।
5. उद्देश्य 5. सत्यता सारणियों और तुल्यताओं से वैधता, संतोषणीयता, शब्दार्थीय परिणाम और शब्दार्थीय तुल्यता का निर्णय करना।
6. उद्देश्य 6. सूत्रों को प्रसामान्य रूपों में बदलना और उनसे सत्यता फलनों और परिपथों को व्यक्त करना।
7. उद्देश्य 7. सुदृढ़ता, पूर्णता और संहतता को समझाना और लागू करना, और विभेदन द्वारा असंतोषणीयता का निर्णय करना।

उद्देश्य 3 और 7 में से प्रत्येक की अपनी इकाई है, निगमन और अधिसिद्धांत; उद्देश्य 5 और 6 अर्थविज्ञान की इकाई को आपस में बाँटते हैं, पहला उसके पहले आधे में, दूसरा दूसरे आधे में। उद्देश्य 2 का अपना एक पाठ है, औपचारिकीकरण का, और उसके बाद हर बार अभ्यास होता है जब कोई प्रश्न शब्दों में रखा जाता है। इसके विपरीत, उद्देश्य 1 और 4 सर्वव्यापी हैं: भाषा के भीतर कही गई बात और भाषा के बारे में कही गई बात का भेद चारों इकाइयों में चलता है, और आगमन पाठ्यक्रम की सभी महत्त्वपूर्ण उपपत्तियों का रूप है, सूत्रों की अद्वितीय पठनीयता से लेकर प्रणाली की सुदृढ़ता और काल्मार प्रमेयिका तक। इससे निकलता है कि उनकी प्राप्ति किसी एक पाठ के नाम नहीं की जा सकती, और उन्हें पूरे पाठ्यक्रम में विकसित करना उचित है।

पाठ्यक्रम की प्रणाली और उसके निर्णय

प्रस्तावात्मक तर्क का पाठ्यक्रम कई तरह से बनाया जा सकता है, और सामान्य पाठ्यपुस्तकें भाषा, मूल संयोजकों और निगमन प्रणाली में एक-दूसरे से भिन्न होती हैं। यह पाठ्यक्रम तीन निर्णय लेता है जिन्हें शुरू से जान लेना अच्छा है, क्योंकि वे उस बात को समझाते हैं जो पहली नज़र में अजीब लग सकती है।

वृत्तों और चक्रिकाओं की भाषा

पाठ्यक्रम की भाषा की वर्णमाला में केवल दो प्रतीक हैं, वृत्त $\sigO$ और चक्रिका $\sigI$। $n$-वाँ चर $n$ वृत्तों के बाद एक चक्रिका वाली शृंखला $v_{n} = \sigO^{n}\sigI$ है, जिससे $v_{1} = \sigO\sigI$ और $v_{2} = \sigO\sigO\sigI$; और निर्माण नियम केवल एक है: यदि $\varphi$ और $\psi$ सूत्र हैं, तो $\sigI\varphi\psi$ भी सूत्र है, जिसे संक्षेप में $(\varphi \downarrow \psi)$ लिखा जाता है और “न $\varphi$ न $\psi$” पढ़ा जाता है। अतः संयुक्त निषेध $\downarrow$ एकमात्र मूल संयोजक है, और बाकी सभी एक ही बार परिभाषित संक्षेपण हैं: $\neg\varphi$, $(\varphi \downarrow \varphi)$ है, वियोजन $(\varphi \vee \psi)$, $\neg(\varphi \downarrow \psi)$ है, और इनसे संयोजन, सोपाधिक, द्विसोपाधिक और अनन्य वियोजन परिभाषित किए जाते हैं। उन्हें लिखने का कोई भी अन्य ढंग एक प्रमेय है, जिसे सिद्ध किया जाता है, परिभाषा नहीं।

इस चुनाव की एक कीमत है, पठनीयता, जिसे पाठ्यक्रम अधिभाषा में चुकाता है: कोई भी रोज़ वृत्तों और चक्रिकाओं की शृंखलाएँ नहीं लिखता, बल्कि उनके संक्षिप्त नाम लिखता है, जिन्हें किसी भी समय उस शृंखला तक खोला जा सकता है जिसे वे निर्दिष्ट करते हैं। फिर भी यह कीमत कई गुना वसूल होती है। अनंत चरों के लिए दो प्रतीक पर्याप्त हैं, जिससे हर सूत्र दो अवयवों वाली वर्णमाला पर एक परिमित शृंखला है। संयोजक अपने संकार्यों से पहले लिखा जाता है, और इसलिए कोष्ठकों की आवश्यकता नहीं होती: अद्वितीय पठनीयता भार की एक युक्ति से सिद्ध होती है, जो प्रत्येक चर को $+1$ और प्रत्येक संयोजक चक्रिका को $-1$ देता है। और चूँकि हर संयुक्त सूत्र एक संयुक्त निषेध है, जटिलता पर आगमन द्वारा हर उपपत्ति में केवल एक संयुक्त स्थिति होती है, जो आगे की इकाइयों की सभी उपपत्तियों को छोटा कर देती है। यह मान नहीं लिया जाता कि एक ही संयोजक किसी भी अन्य को व्यक्त करने के लिए पर्याप्त है: अर्थविज्ञान की इकाई इसे सिद्ध करती है।

दूसरा मूल नियम

निगमन प्रणाली यान लुकासिएविच की प्रणाली से आरंभ होती है: निषेध और सोपाधिक से लिखी गई तीन अभिगृहीत-योजनाएँ, और एकमात्र नियम के रूप में modus ponens। ये योजनाएँ उन भाषाओं के लिए बनाई गई थीं जिनके मूल संयोजक निषेध और सोपाधिक हैं; वृत्तों और चक्रिकाओं की भाषा में $(v_{1} \downarrow v_{2})$ जैसा सूत्र न यह है न वह, और अभिगृहीतों के लिए अपारदर्शी है। निगमन की इकाई का पहला पाठ एक अंकन से, जो सभी अभिगृहीतों में है, जिसे modus ponens बनाए रखता है और जो इस सूत्र में नहीं है, सिद्ध करता है कि लुकासिएविच की प्रणाली $((v_{1} \downarrow v_{2}) \rightarrow \neg v_{1})$ का निगमन नहीं करती।

यदि ऐसा है, तो प्रणाली को पूरा करना होगा, और स्वाभाविक उपाय द्वि-निषेध $\varphi \dashv\vdash \neg\neg\varphi$ को सिद्ध करना लगता है, जिसका निगमन दूसरा पाठ तीन योजनाओं से करता है। अंकन दिखाता है कि यह पर्याप्त नहीं है: द्वि-निषेध के प्रमेय अंकन को बनाए रखते हैं, और फिर भी उनके साथ भी किसी संयुक्त निषेध के भीतर $v_{1}$ की जगह $\neg\neg v_{1}$ नहीं रखा जा सकता। इसलिए, द्वि-निषेध सिद्ध करने के बाद, दूसरा पाठ एक दूसरा मूल नियम जोड़ता है, द्वि-निषेध का प्रतिस्थापन: किसी सूत्र $\chi$ से वह सूत्र अनुमित होता है जो उसमें किसी उपसूत्र $\theta$ की एक उपस्थिति की जगह $\neg\neg\theta$ रखने से, या $\neg\neg\theta$ की एक उपस्थिति की जगह $\theta$ रखने से मिलता है। अतः पाठ्यक्रम की प्रणाली लुकासिएविच की तीन योजनाओं, modus ponens और इस नियम से बनी है।

संयुक्त निषेध के लिए अन्य प्रणालियाँ यही बात उसके अनुरूप बनाई गई अभिगृहीत-योजनाओं से प्राप्त करती हैं। पाठ्यक्रम दो कारणों से एक नियम को चुनता है: यह modus ponens से भी सरल है, क्योंकि यह केवल एक पंक्ति लेता है और केवल एक उपस्थिति बदलता है, और इसमें कुछ भी कृत्रिम नहीं है, क्योंकि यह वही व्यक्त करता है जो द्वि-निषेध पहले से कहता है, कि $\theta$ और $\neg\neg\theta$ परस्पर विनिमेय हैं, बस इसे सूत्र के हर स्थान तक फैला देता है। इसके अलावा यह सुदृढ़ है, क्योंकि यह हर पंक्ति का सत्यता मान बनाए रखता है, और यह निगमन प्रमेय को बनाए रखता है, उसकी उपपत्ति में एक स्थिति और जोड़कर। इसके साथ वह सब निगमित करना पर्याप्त है जो निगमित होना चाहिए, यह अंतिम इकाई का पूर्णता प्रमेय है।

प्रबल पूर्णता से पहले संहतता

पूर्णता की तीन श्रेणियाँ हैं: दुर्बल पूर्णता कहती है कि हर पुनरुक्ति एक प्रमेय है; परिमित समुच्चयों के लिए पूर्णता कहती है कि आधार-वाक्यों के किसी परिमित समुच्चय का हर शब्दार्थीय परिणाम उससे निगमित होता है; प्रबल पूर्णता कहती है कि यही बात किसी भी समुच्चय के लिए, अनंत के लिए भी, सत्य है। पाठ्यक्रम की विधि, काल्मार प्रमेयिका, किसी सूत्र के परिमित चरों और परिमित आधार-वाक्यों के साथ काम करती है, और इसलिए पहली दो श्रेणियों तक पहुँचती है, तीसरी तक नहीं। उस तक पहुँचने के लिए पर्याप्त है कि, यदि $\Gamma \models \varphi$, तो कोई परिमित भाग $\Gamma_{0}$, जो $\Gamma$ का भाग है, पहले से ही $\Gamma_{0} \models \varphi$ को पूरा करे; और ठीक यही संहतता प्रमेय कहता है।

कई पाठ्यपुस्तकें पहले किसी अन्य विधि से प्रबल पूर्णता सिद्ध करती हैं और उससे संहतता निगमित करती हैं। इस पाठ्यक्रम में, इसके विपरीत, प्रबल पूर्णता ही वह है जिसकी खोज है, और उससे संहतता प्राप्त करना चक्रीय होगा। अतः क्रम उलट जाता है: संहतता का पाठ उसे अर्थविज्ञान के भीतर सिद्ध करता है, किसी निगमन का उल्लेख किए बिना, $v_{1}, v_{2}, \ldots$ के मानों को एक-एक करके स्थिर करते हुए, और उसके बाद ही, तीन पंक्तियों में, प्रबल पूर्णता प्राप्त करता है, अर्थात् $\Gamma \models \varphi \Rightarrow \Gamma \vdash \varphi$ हर समुच्चय $\Gamma$ के लिए।

विषय-वस्तु

पाठ्यक्रम छह इकाइयों में संगठित है: यह परिचय, विषय-वस्तु की चार इकाइयाँ और एक समापन। विषय-वस्तु की प्रत्येक इकाई एक परिचय पाठ से खुलती है, जो उसके पाठों, पाठ्यक्रम में उसके स्थान, उसके द्वारा ज्ञात मानी गई बातों और उसके द्वारा हल की जाने वाली समस्या को प्रस्तुत करता है, और एक प्रवेश मूल्यांकन से शुरू होता है; वह एक सारांश पाठ से बंद होती है, जो इकाई की निगमन शृंखला को फिर से गढ़ता है, उसे पाठ्यक्रम के शेष भाग से जोड़ता है, एक समापन मूल्यांकन में प्रवेश मूल्यांकन के कौशलों को दोहराता है और पाठों के प्रश्नों से अधिक कठिन छह चुनौतियाँ प्रस्तावित करता है।

इकाई 0. पाठ्यक्रम का परिचय

यह इसी पाठ से बनी है, जो पाठ्यक्रम का प्रयोजन, समग्र उद्देश्य, निर्णय, विषय-वस्तु, अध्ययन-भार और रूपरेखा निर्धारित करता है।

इकाई 1. भाषा

इसका उद्देश्य है पाठ्यक्रम द्वारा अध्ययन की जाने वाली भाषा रचना, सिद्ध करना कि हर सूत्र केवल एक ही तरह से पढ़ा जाता है, और उसे हिंदी की युक्तियों से जोड़ना।

1. भाषा: परिचय।
2. गणितीय तर्कशास्त्र क्या है: सत्य के सामने वैधता, प्रत्युदाहरण, विरोधाभास और वस्तु-भाषा तथा अधिभाषा का भेद।
3. प्रस्तावात्मक तर्क की भाषा: समुच्चय और शृंखलाएँ, वृत्तों और चक्रिकाओं की भाषा, उसका निर्माण नियम और उसके संक्षेपण।
4. प्राकृत संख्याओं और सूत्रों पर आगमन: सरल, प्रबल और संरचनात्मक आगमन, भार प्रमेयिका, अद्वितीय पठनीयता और पुनरावर्ती परिभाषाएँ।
5. प्राकृतिक भाषा का औपचारिकीकरण: शब्दकोश, कथनों और युक्तियों का अनुवाद, और भौतिक सोपाधिक जो खोता है।
6. भाषा: सारांश और चुनौतियाँ।

इकाई 2. निगमन

इसका उद्देश्य है भाषा को एक कलन, पाठ्यक्रम की प्रणाली, देना, और उसमें युक्ति के वे रूप, प्रत्येक को एक बार, व्युत्पन्न करना जिन्हें गणित बिना नाम लिए प्रयोग करता है।

1. निगमन: परिचय।
2. औपचारिक निगमन प्रणालियाँ: लुकासिएविच की प्रणाली, आधार-वाक्यों से निगमन, निगमन प्रमेय और उसकी सीमा दिखाने वाला अंकन।
3. निगमन की चार तकनीकें: हेतुफलात्मक न्यायवाक्य, आधार-वाक्यों का विनिमय, द्वि-निषेध, प्रतिपरिवर्तन और द्वि-निषेध का प्रतिस्थापन।
4. संयोजकों की सममितियाँ: संयुक्त निषेध की मूल प्रमेयिका, तुल्यों का प्रतिस्थापन, संयोजकों के वैकल्पिक रूप और उनकी पाँच सममितियाँ।
5. शास्त्रीय तर्क की तकनीकें: प्रत्येक संयोजक के नियम, निषिद्ध मध्य, स्थितियों द्वारा उपपत्ति और विरोधाभास द्वारा उपपत्ति, आधार-वाक्यों सहित।
6. डी मॉर्गन के नियम और वितरण नियम: दोनों दिशाओं में उनकी उपपत्तियाँ और अन्य सूत्रों के भीतर तुल्यों का प्रतिस्थापन।
7. निगमन: सारांश और चुनौतियाँ।

इकाई 3. अर्थविज्ञान

इसका उद्देश्य है सूत्रों को एक अर्थ देना, उससे वैधता और शब्दार्थीय परिणाम का निर्णय करना, और हर सूत्र को प्रसामान्य रूपों में बदलना।

1. अर्थविज्ञान: परिचय।
2. प्रस्तावात्मक तर्क का अर्थविज्ञान: मान-नियतन और पुनरावर्तन द्वारा उनका विस्तार, संपाती प्रमेयिका, सत्यता सारणियाँ, वैधता और संतोषणीयता।
3. शब्दार्थीय परिणाम और शब्दार्थीय तुल्यता: समुच्चयों से शब्दार्थीय परिणाम, शब्दार्थीय निगमन प्रमेय, प्रतिस्थापन और समरूप स्थापन।
4. डी मॉर्गन के और वितरण के व्यापकीकृत नियम: $n$ पदों के संयोजन और वियोजन तथा उनके नियम, आगमन द्वारा।
5. फलनात्मक पूर्णता: हर सत्यता फलन का एक सूत्र होता है, संयुक्त निषेध अकेला पर्याप्त है, और पर्याप्त संयोजक समुच्चय।
6. प्रसामान्य रूप: लिटरल, उपवाक्य, वियोजक और संयोजक रूप, उनकी द्वैतता और उनका अस्तित्व।
7. प्रसामान्य रूपों की कलन-विधि और उसके अनुप्रयोग: एक सही और समाप्त होने वाली कलन-विधि, और स्विच परिपथों की रचना और सरलीकरण।
8. अर्थविज्ञान: सारांश और चुनौतियाँ।

इकाई 4. अधिसिद्धांत

इसका उद्देश्य है सिद्ध करना कि निगमन और शब्दार्थीय परिणाम मेल खाते हैं, पहले परिमित आधार-वाक्यों के लिए और फिर किन्हीं भी आधार-वाक्यों के लिए, और उनका निर्णय करने का एक तीसरा ढंग देना।

1. अधिसिद्धांत: परिचय।
2. सुदृढ़ता और पूर्णता: पंक्तियों पर आगमन द्वारा सुदृढ़ता, संगति, काल्मार प्रमेयिका, और दुर्बल पूर्णता तथा परिमित समुच्चयों के लिए पूर्णता।
3. संहतता प्रमेय: उसकी शब्दार्थीय उपपत्ति, उसके तुल्य रूप, उससे निकलने वाली प्रबल पूर्णता और उसके क्रमचय-संचय संबंधी अनुप्रयोग।
4. विभेदन विधि: उपवाक्य रूप, विभेदन का नियम, उसकी सुदृढ़ता और उसकी खंडन पूर्णता, और उसकी लागत।
5. अधिसिद्धांत: सारांश और चुनौतियाँ।

इकाई 5. पाठ्यक्रम का समापन

यह गणितीय तर्कशास्त्र I: अंतिम समीक्षा पाठ से बनी है, जो सात समग्र उद्देश्यों को याद दिलाता है, एक चित्र में दिखाता है कि प्रत्येक पर किन इकाइयों और पाठों में काम होता है, प्रत्येक उद्देश्य के लिए समापन मूल्यांकनों का पहला प्रयास एकत्र करता है और बताता है कि अध्ययन आगे कहाँ जाता है।

अध्ययन-भार और क्रेडिट

किसी पाठ्यक्रम का अध्ययन-भार व्याख्यान के घंटों से नहीं मापा जाता, जो एक अतुल्यकालिक पाठ्यक्रम में होते ही नहीं, बल्कि उसे पढ़ने वाले के कुल काम से: पढ़ना, उपपत्तियों और निगमनों का अनुसरण करना, प्रश्न हल करना और दोहराना। अनुमान साइट के सभी पाठ्यक्रमों में एक ही विधि अपनाता है: यह प्रत्येक पाठ के पाठ्य को सौ शब्द प्रति मिनट की दर से पढ़ने का समय गिनता है, हर सूत्र को एक शब्द मानकर, हर हल किए गए प्रश्न के लिए बीस मिनट, हर प्रस्तावित प्रश्न के लिए पैंतीस, हर चुनौती के लिए पैंतालीस और हर प्रवेश या समापन मूल्यांकन के लिए बारह, और दोहराने के लिए दसवें भाग का अतिरिक्त समय जोड़ता है।

परिणाम

पाठ्यक्रम के पाठों में कुल मिलाकर $90$ हल किए गए प्रश्न, $90$ प्रस्तावित प्रश्न और $24$ चुनौतियाँ हैं, साथ ही आठ इकाई मूल्यांकन। प्रति इकाई अनुमानित अध्ययन-भार, घंटे तक पूर्णांकित, इस प्रकार है:

• इकाई 0, पाठ्यक्रम का परिचय: $1$ घंटे से कम।
• इकाई 1, भाषा: $30$ घंटे।
• इकाई 2, निगमन: $36$ घंटे।
• इकाई 3, अर्थविज्ञान: $43$ घंटे।
• इकाई 4, अधिसिद्धांत: $25$ घंटे।
• इकाई 5, पाठ्यक्रम का समापन: $1$ घंटे से कम।

कुल लगभग $137$ घंटे का काम है। इस संख्या को वैसा ही पढ़ना चाहिए जैसी वह है: उस व्यक्ति के लिए एक अनुमान जो सभी उपपत्तियों का अध्ययन करता है और सभी प्रश्न और चुनौतियाँ हल करता है। जिसने पहले से तर्कशास्त्र पढ़ा है, या जो चुनौतियों को छुए बिना प्रस्तावित प्रश्नों तक सीमित रहता है, उसे काफ़ी कम समय लगेगा; जिसने कभी कोई प्रमेय सिद्ध नहीं किया, उसे अधिक समय लग सकता है, विशेषकर निगमन और अर्थविज्ञान की इकाइयों में, जो सबसे लंबी भी हैं।

फिर भी, यह संख्या नाममात्र की है: यही पाठ्यक्रम के क्रेडिट निर्धारित करती है, और स्थिर गति से पढ़ने तथा हर चुनौती के लिए पौन घंटे की कल्पना करती है। जब तक इसे वास्तविक विद्यार्थियों के साथ मापा न जाए, इसके साथ एक यथार्थवादी परास देना उचित है। यदि पढ़ाई मानी गई गति की आधी गति से चले, जैसा तब होता है जब हर निगमन कागज़ और पेंसिल से उतारा जाता है और वृत्तों और चक्रिकाओं की हर शृंखला हाथ से तोड़ी जाती है, और हर चुनौती पैंतालीस के बजाय पचहत्तर मिनट ले, तो वही विधि लगभग $174$ घंटे देगी। अतः अपेक्षित अध्ययन-भार लगभग $137$ और लगभग $174$ घंटों के बीच है। ऊपरी सिरा एक सतर्क सीमा है, माप नहीं; परास तब सुधारा जाएगा जब पाठ्यक्रम पढ़ने वालों द्वारा लगाया गया समय ज्ञात होगा, और तब तक क्रेडिट नाममात्र की संख्या से गिने जाते हैं।

सुझाई गई गति

गतियों का नाम रखने के लिए यह योजना साइट की अन्य योजनाओं वाली कसौटी ही अपनाती है: पूर्णकालिक अध्ययन $60$ क्रेडिट का एक शैक्षणिक वर्ष है, लगभग चालीस सप्ताहों में बँटे लगभग $1650$ घंटे, अर्थात् प्रति सप्ताह लगभग $40$ घंटे, और अंशकालिक उसका आधा, प्रति सप्ताह लगभग $20$ घंटे। इससे सोलह सप्ताह के एक सत्र की अनुशंसित गति निकलती है, प्रति सप्ताह लगभग $8$ या $9$ घंटे के अध्ययन के साथ, पूर्णकालिक के पाँचवें भाग से कुछ अधिक; यथार्थवादी परास के साथ, प्रति सप्ताह $9$ से $11$ घंटे। यह सत्र बीजगणित और ज्यामिति I के साथ बाँटा जा सकता है, जिसकी उपपत्तियाँ तब बेहतर पढ़ी जाती हैं जब निगमन पहले से एक परिचित विषय हो।

एक गहन गति, प्रति सप्ताह लगभग $20$ घंटे, अर्थात् अंशकालिक, पाठ्यक्रम को सात सप्ताह में पूरा करती है। एक अधिक ढीली गति, प्रति सप्ताह लगभग $4$ या $5$ घंटे, उसे दो सत्रों तक ले जाती है, जो लगभग आधे-आधे बँटते हैं: इकाई 0 से 2, भाषा और निगमन, लगभग $67$ घंटे लेती हैं, और इकाई 3 से 5, अर्थविज्ञान, अधिसिद्धांत और समापन, लगभग $69$।

हस्तांतरणीय क्रेडिट में समतुल्य

हस्तांतरणीय क्रेडिट की प्रणालियाँ किसी पाठ्यक्रम को कक्षा में उपस्थिति के घंटों से नहीं, बल्कि उस कुल काम से मापती हैं जो वह उसे पढ़ने वाले से माँगता है, ताकि एक संस्था में किया गया अध्ययन दूसरी संस्था में मान्य हो सके। यूरोपीय क्रेडिट हस्तांतरण और संचय प्रणाली, जिसे यूरोपीय विश्वविद्यालयों ने बोलोन्या घोषणा के बाद अपनाया, पूर्णकालिक शैक्षणिक वर्ष को $60$ क्रेडिट देती है और हर क्रेडिट को $25$ से $30$ घंटे के काम के बीच निर्धारित करती है। चिली की हस्तांतरणीय क्रेडिट प्रणाली, जिसे चिली के विश्वविद्यालयों ने इसी तरह की रूपरेखा के साथ अपनाया, भी शैक्षणिक वर्ष को $60$ क्रेडिट देती है और हर क्रेडिट को $24$ से $31$ घंटे के काम के बीच निर्धारित करती है।

फिर भी, अनुमानित $137$ घंटों को प्रत्येक अंतराल के सिरों से भाग देने पर पाठ्यक्रम लगभग $5$ यूरोपीय क्रेडिट (4.6 से 5.5) के, और $4$ से $6$ चिली के हस्तांतरणीय क्रेडिट (4.4 से 5.7) के बराबर होता है। दोनों अंतरालों के मध्य मान, प्रति क्रेडिट 27.5 घंटे, को आधार मानने पर दोनों प्रणालियों में एक ही संख्या, 4.98, मिलती है, जो पूर्णांकित होकर 5 होती है। यूरोपीय क्रेडिट के लिए क्रेडिट की संख्या $C$ इस प्रकार सीमित होती है:

अतः पाठ्यक्रम को $5$ यूरोपीय क्रेडिट और $5$ चिली के हस्तांतरणीय क्रेडिट देने की अनुशंसा की जाती है, अर्थात् पूर्णकालिक शैक्षणिक वर्ष का बारहवाँ भाग, छह क्रेडिट वाले एक सामान्य सेमेस्टर विषय से कुछ कम।

पाठ्यक्रम की रूपरेखा

अध्ययन का स्वरूप

पाठ्यक्रम अतुल्यकालिक, ऑनलाइन और स्व-गति वाला है: इसमें न तिथियाँ हैं, न सीधे सत्र, न समय-सीमाएँ, और हर विद्यार्थी उस गति से आगे बढ़ता है जो उसकी तैयारी और उसका समय अनुमति देते हैं। यह साइट की चौदह भाषाओं में दिया जाता है, सभी में एक ही तर्क के साथ: सूत्र, निगमन और उपपत्तियों के चरण हर संस्करण में समान हैं, और केवल पाठ्य का अनुवाद होता है। पाठ बताते हैं कि किन अन्य पाठों को पहले पढ़ लेना उचित है, जिससे अनुशंसित क्रम स्पष्ट रहता है।

एक पाठ की संरचना

सभी विषय-पाठ एक ही संरचना का पालन करते हैं। वे एक सारांश और अपने अधिगम उद्देश्यों की सूची से शुरू होते हैं, जो अवलोकनीय प्रदर्शनों के रूप में कहे गए हैं। इसके बाद सिद्धांत आता है, परिभाषाओं, सटीक रूप से कहे गए परिणामों और उनकी उपपत्तियों के साथ, और उदाहरण। उपपत्तियाँ चरण-वादकों के रूप में प्रस्तुत की जाती हैं: हर चरण एक पंक्ति लिखता है, जो बदलता है उसे उजागर करता है और, जब वह किसी पिछले परिणाम पर टिका हो, तो उस पर लौटता है। प्रणाली के निगमन क्रमांकित पंक्तियों के साथ लिखे जाते हैं और प्रत्येक का औचित्य दाईं ओर होता है (एक अभिगृहीत, एक आधार-वाक्य, प्रयुक्त पंक्तियों सहित modus ponens, या एक व्युत्पन्न नियम), और आगे बढ़ने पर उद्धृत पंक्तियाँ उजागर होती हैं। पाठ के अंत में पाँच हल किए गए प्रश्न हैं, चरण-दर-चरण हल के साथ, और पाँच प्रस्तावित प्रश्न, प्रत्येक के साथ एक मुड़ा हुआ संकेत और उसके बाद अंतिम उत्तर; उपपत्ति वाले प्रस्तावित प्रश्न उत्तर के बाद मुड़ा हुआ एक विस्तृत हल जोड़ते हैं, जिसे अपना हल लिख लेने के बाद ही खोलना उचित है।

इसके अलावा, हर पाठ को साइट के वाचक से ज़ोर से सुना जा सकता है, जो सूत्रों के प्रतीकों को शब्दों में बोलता है, जिनमें वृत्त, चक्रिका और निगमन तथा शब्दार्थीय परिणाम के प्रतीक भी शामिल हैं।

मूल्यांकन

पाठ्यक्रम अंक नहीं देता: इसका मूल्यांकन रचनात्मक है और स्व-मूल्यांकन पर आधारित है। प्रस्तावित प्रश्न प्रत्येक पाठ के उद्देश्यों की प्राप्ति जाँचने देते हैं, और चुनौतियाँ प्रत्येक इकाई के उद्देश्यों की। इनमें इकाई मूल्यांकन जुड़ते हैं: प्रवेश मूल्यांकन, परिचय के आरंभ में, ग्यारह से पंद्रह प्रश्नों से आरंभ-बिंदु मापता है, क्योंकि इकाई के प्रश्नों में वह कुछ प्रश्न उन बातों के बारे में जोड़ता है जिन्हें इकाई ज्ञात मानती है; समापन मूल्यांकन, सारांश में और चुनौतियों से पहले, बारह प्रश्नों से प्राप्त को मापता है और प्रवेश मूल्यांकन से तुलना किया जाता है। दोनों ब्राउज़र में ही जाँचे जाते हैं, हर उत्तर के लिए एक व्याख्या और उस पाठ के संदर्भ के साथ जिसे दोहराना उचित है; उनके परिणाम केवल उत्तर देने वाले के ब्राउज़र में सहेजे जाते हैं, और अंतिम समीक्षा हर समापन मूल्यांकन के पहले प्रयास को समग्र उद्देश्य के अनुसार एक रूपरेखा-चित्र में एकत्र करती है।

इस पाठ्यक्रम को कैसे पढ़ें

पाठ्यक्रम क्रम से पढ़ने के लिए बनाया गया है। हर इकाई पिछली इकाइयों को मानकर चलती है: निगमन पहली इकाई की भाषा में लिखा जाता है, अर्थविज्ञान उसके सूत्रों को मान देता है, और अधिसिद्धांत दूसरी की तुलना तीसरी से करता है; किसी पाठ को छोड़ देने से देर-सबेर उस पर लौटना पड़ता है।

हर पाठ में पहले सारांश और उद्देश्य पढ़ना उचित है; फिर कागज़ और पेंसिल के साथ सिद्धांत पढ़ना, वृत्तों और चक्रिकाओं की शृंखलाएँ उतारते हुए, उनके चरों और चक्रिकाओं को अलग करते हुए, और वादक के लिखने से पहले निगमन की हर पंक्ति का अनुमान लगाते हुए; हल किए गए प्रश्नों का हल देखने से पहले उन्हें आज़माना, और प्रस्तावित प्रश्नों को बिना सहायता के हल करना, संकेत तभी खोलते हुए जब प्रयास समाप्त हो चुका हो। जिस प्रश्न का उत्तर उसे आज़माने से पहले देख लिया गया, वह हल नहीं हुआ, केवल पढ़ा गया।

अंत में, हमेशा यह भेद करना उचित है कि प्रत्येक कथन किस स्तर का है: क्या वह भाषा के भीतर कुछ कहता है, जैसे एक सूत्र, या उसके बारे में कुछ, जैसे $\Gamma \vdash \varphi$ या $\Gamma \models \varphi$। यह भेद, जो पाठ्यक्रम का पहला उद्देश्य है, वही है जो उसके केंद्रीय परिणाम को समझने देता है, जिसे केवल अधिभाषा में कहा जा सकता है।