संख्या समुच्चय: सारांश और चुनौतियाँ

सारांश

यह पाठ संख्या समुच्चयों वाली इकाई का समापन करता है। यह एक ही निगमनात्मक शृंखला में वह सब एकत्र करता है जो इकाई के पाठों ने सिद्ध किया: पिछले समुच्चय से पूर्णांकों, परिमेय संख्याओं और सम्मिश्र संख्याओं की रचना, पूर्ण क्रमित क्षेत्र के वे अभिगृहीत जो वास्तविक संख्याओं के लिए स्वीकार किए जाते हैं, जिनमें पूर्णता उनका अपना लक्षण है, और असमिकाओं, दशमलवों, करणियों, समीकरणों और सम्मिश्र संख्याओं के साथ गणना के लिए प्रत्येक गुण के परिणाम। यह समझाता है कि यह शृंखला पिछली इकाई की प्राकृत संख्याओं के अंकगणित पर कैसे टिकी है और अगली इकाई के फलनों और बहुपदों के अध्ययन की तैयारी कैसे करती है। अंत में एक समापन मूल्यांकन है, जो प्रवेश मूल्यांकन के समानांतर है, और दस चुनौतियाँ हैं, जो पाठों के प्रश्नों से अधिक कठिन हैं और जिनमें से हर एक उनमें से कई पाठों के परिणामों को मिलाती है।

अधिगम उद्देश्य

इकाई की परिभाषाओं और मुख्य प्रमेयों को तार्किक क्रम में प्रस्तुत करना, यह बताते हुए कि हर एक किन पिछले परिणामों पर निर्भर है।
यह समझाना कि हर संख्या-विस्तार कौन-सा गुण प्राप्त करता है और कौन-सा खोता है, और पूर्णता बीजीय साधनों से क्यों प्राप्त नहीं की जा सकती।
इकाई के परिणामों को प्राकृत संख्याओं के अंकगणित से और बीजीय फलनों तथा बहुपदों के अध्ययन से जोड़ना।
ऐसे अपारंपरिक प्रश्न हल करना जिनमें भिन्नों के अंकगणित, वास्तविक संख्याओं के क्रम, करणियों के साथ गणना, रैखिक निकायों और सम्मिश्र संख्याओं को मिलाना पड़ता है।

इकाई की उपलब्धियाँ

इकाई एक कमी और एक सिद्धांत से आरंभ हुई। कमी यह थी: प्राकृत संख्याओं में सदा घटाना, भाग देना या मूल निकालना संभव नहीं होता। सिद्धांत, जो संख्या समुच्चयों वाले पाठ में प्रस्तुत किया गया, यह है: हर नया समुच्चय पिछले समुच्चय की संक्रियाओं और गुणों को बनाए रखता है और वे अवयव जोड़ता है जो आवश्यक हैं ताकि कोई प्रतिलोम संक्रिया, जो पहले सीमित थी, परिभाषित हो जाए। परिणाम समावेशनों की वह शृंखला है जो पूरी इकाई को व्यवस्थित करती है:

\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R} \subset \mathbb{C}

रचनाएँ

चार विस्तारों में से तीन पिछले समुच्चय के अवयवों के युग्मों से किए गए, और उनमें से दो, पूर्णांकों का और परिमेय संख्याओं का, एक ही प्रक्रिया से, जिसे प्रक्रिया के रूप में ही पहचान लेना उचित है। यह घोषित किया जाता है कि दो युग्म कब एक ही संख्या को निरूपित करते हैं, और सिद्ध किया जाता है कि यह घोषणा समता की तरह व्यवहार करती है, अर्थात् यह एक तुल्यता संबंध है; तब इसके वर्ग एक खंडन बनाते हैं, जैसा कि समुच्चय, संबंध और फलन वाले पाठ में सिद्ध किया गया, और नया समुच्चय भागफल समुच्चय होता है; फिर संक्रियाएँ प्रतिनिधियों के द्वारा परिभाषित की जाती हैं और सिद्ध किया जाता है कि परिणाम चुने गए प्रतिनिधियों पर निर्भर नहीं करता। पूर्णांकों में प्राकृत संख्याओं का युग्म $(a, b)$ अंतर $a - b$ को निरूपित करता है, और दो युग्म तब तुल्य होते हैं जब $a + d = b + c$ ; परिमेय संख्याओं में भिन्न $\frac{p}{q}$ एक भागफल को निरूपित करती है, और दो भिन्न तब तुल्य होती हैं जब $ps = qr$ ; सम्मिश्र संख्याओं में वास्तविक संख्याओं का युग्म $(a, b)$ स्वयं वह संख्या है, ऐसे गुणनफल के साथ जो इस प्रकार परिभाषित है कि $(0, 1)^2 = (-1, 0)$ । तीनों स्थितियों में पिछला समुच्चय नए समुच्चय के भीतर संक्रियाओं का सम्मान करने वाली एक संगति के द्वारा फिर प्रकट होता है, और जो अंतर्ज्ञानात्मक प्रस्तुति में परिपाटियाँ थीं वे प्रमेय बन जाती हैं: चिह्नों का नियम, शून्य भाजकों का अभाव, गुणनफल का विलोपन नियम, अलघुकरणीय भिन्न की अद्वितीयता और समता $i^2 = -1$ ।

क्रम और पूर्णता

चौथा विस्तार दूसरी प्रकृति का है, और यह रचना द्वारा नहीं किया गया। परिमेय संख्याएँ पहले से ही जोड़ने, घटाने, गुणा करने और भाग देने देती हैं, और उनका एक क्रम है जो इन संक्रियाओं के साथ संगत, सघन और आर्किमिडीय है; परंतु उन परिमेय संख्याओं का समुच्चय जिनका वर्ग $2$ से छोटा है परिबद्ध है और उसका कोई परिमेय सुप्रीमम नहीं है। चूँकि परिमेय संख्याओं से वास्तविक संख्याओं की रचना पाठ्यक्रम की सीमा से बाहर है, संख्या समुच्चयों वाले पाठ ने उन्हें एक पूर्ण क्रमित क्षेत्र के रूप में स्वीकार किया: एक ऐसा समुच्चय जिसमें परिमेय संख्याएँ हैं और जो क्षेत्र के अभिगृहीतों, क्रम के अभिगृहीतों और पूर्णता के अभिगृहीत को संतुष्ट करता है, जिसके अनुसार ऊपर से परिबद्ध प्रत्येक अरिक्त समुच्चय का सुप्रीमम होता है। पहले दो समूहों को परिमेय संख्याएँ भी संतुष्ट करती हैं; तीसरा वही है जो वास्तविक संख्याओं की विशेषता है। पूर्णता से, दशमलव प्रसार वाले पाठ में, वास्तविक संख्याओं का आर्किमिडीज़ गुण और प्रत्येक अनंत दशमलव प्रसार का मान निकाला गया, साथ ही परिमेय संख्याओं का अभिलक्षण उन संख्याओं के रूप में जिनका प्रसार सांत या आवर्ती है; और वास्तविक रेखा वाले पाठ में, हर ऋणेतर वास्तविक संख्या के $n$ वें मूल का अस्तित्व, रेखा में परिमेय संख्याओं की सघनता और अंतरालों का अभिलक्षण उन समुच्चयों के रूप में जिनमें कोई रिक्ति नहीं है। इनमें से कोई भी गुण योगों और गुणनफलों से प्राप्त नहीं होता: पूर्णता क्रम का गुण है, और इसीलिए वास्तविक संख्याओं की रचना परिमेय संख्याओं में कुछ समीकरणों के हल जोड़कर नहीं की जा सकती।

गणना

इकाई की गणना की तकनीकें इन्हीं आधारों पर टिकी हैं। परिमेय घातांक वाली घातों वाले पाठ ने मुख्य मूल की अद्वितीयता का उपयोग यह सिद्ध करने के लिए किया कि $a^{\frac{p}{q}}$ चुनी गई भिन्न पर निर्भर नहीं करता और घातांक के नियम सत्य हैं, और करणी के नियमों को उनकी चिह्न संबंधी परिकल्पनाओं के साथ स्थापित किया, जिनमें $\sqrt{a^2} = \abs{a}$ भी है। प्रथम घात के समीकरणों और असमिकाओं वाले पाठ ने क्षेत्रों और क्रम के गुणों को समीकरणों और असमीकरणों को बिना हल खोए या जोड़े रूपांतरित करने के नियमों में बदला, और दो समीकरणों के निकायों को उनके सारणिक के द्वारा वर्गीकृत किया। अंत में, सम्मिश्र संख्याओं ने बीजगणित को पूरा किया: वास्तविक गुणांकों वाले प्रत्येक द्विघात समीकरण का उनमें हल होता है, और जब उसका विविक्तकर ऋणात्मक होता है तो ठीक दो हल होते हैं, जो परस्पर संयुग्मी हैं; और समतल की ज्यामिति संयुग्मी और मापांक वाली संक्रियाओं में अनूदित हुई। इसका मूल्य था क्रम: $\mathbb{C}$ में संक्रियाओं के साथ संगत कोई क्रम नहीं है, और किसी संख्या का आकार उसके मापांक से मापा जाता है।

क्या मिलता है और क्या खोता है

इकाई का लेखा-जोखा इस प्रकार संक्षेप में कहा जा सकता है:

$\mathbb{N}$ से $\mathbb{Z}$ पर जाने पर योज्य प्रतिलोम मिलता है, और उसके साथ घटाना; सुक्रमता खो जाती है, क्योंकि पूर्णांकों का कोई सबसे छोटा अवयव नहीं है।
$\mathbb{Z}$ से $\mathbb{Q}$ पर जाने पर हर शून्येतर संख्या का गुणात्मक प्रतिलोम मिलता है, और उसके साथ भाग देना; परवर्ती खो जाता है, क्योंकि दो परिमेय संख्याओं के बीच सदा एक और परिमेय संख्या होती है।
$\mathbb{Q}$ से $\mathbb{R}$ पर जाने पर पूर्णता मिलती है, और उसके साथ ऋणेतर संख्याओं के मूल और हर रेखाखंड की माप; सभी संख्याओं का सांत या आवर्ती प्रसार खो जाता है।
$\mathbb{R}$ से $\mathbb{C}$ पर जाने पर हर द्विघात समीकरण का हल मिलता है और, बीजगणित की आधारभूत प्रमेय के अनुसार, हर अचरेतर बहुपद समीकरण का हल; संक्रियाओं के साथ संगत क्रम खो जाता है।

नीचे की आकृति तीनों खंडों को एक ही शृंखला में जोड़ती है। स्तंभ की हर गाँठ एक परिभाषा या एक प्रमेय है, तार्किक क्रम में क्रमांकित, और एक चाप से उन पिछली कड़ियों से जुड़ी जिनका उपयोग उसकी उपपत्ति करती है; चारों ओर आधार तैरते हैं, अर्थात् वे सिद्धांत और उपकरण जिनका सहारा शृंखला बार-बार लेती है, हर एक ठोस रेखा से उन कड़ियों से जुड़ा जो उस पर टिकी हैं और बिंदुदार रेखा से उस कड़ी से जहाँ वह स्थापित होता है, सिवाय उनके जो स्वीकार किए जाते हैं या पिछली इकाई से आते हैं, जो छल्लों के रूप में बनाए गए हैं। किसी आधार पर क्लिक करने से वे सभी कड़ियाँ उभर आती हैं जो उसका उपयोग करती हैं, और हर कड़ी उस पाठ की ओर ले जाती है जिसमें वह सिद्ध होती है।

शृंखला के आधार

Aविस्तारों का सिद्धांत. हर नया संख्या समुच्चय पिछले समुच्चय की संक्रियाओं और गुणों को बनाए रखता है, और वे अवयव जोड़ता है जो आवश्यक हैं ताकि कोई प्रतिलोम संक्रिया, जो पहले सीमित थी, परिभाषित हो जाए; इसे पूरी इकाई के मार्गदर्शक के रूप में अपनाया जाता है। इस इकाई में बिना प्रमाण के स्वीकार किया गया।
Bप्राकृत संख्याओं का अंकगणित. प्राकृत संख्याओं के योग, गुणन और क्रम के गुण, आगमन, सुक्रमता और श्रेढ़ियों का योग, जो प्राकृत संख्याओं वाली इकाई में सिद्ध किए गए। इस इकाई में बिना प्रमाण के स्वीकार किया गया।
Cशेषफल सहित भाग. प्रत्येक पूर्णांक $a$ और प्रत्येक प्राकृत संख्या $b$ के लिए एक अद्वितीय भागफल $q$ और एक अद्वितीय शेषफल $r$ ऐसे होते हैं कि $a = bq + r$ और $0 \leq r < b$ ; यह प्राकृत संख्याओं वाली इकाई में सिद्ध किया गया, पूर्णांकों के उन नियमों के साथ जिन्हें पूर्णांकों वाला पाठ सिद्ध करता है। इस इकाई में बिना प्रमाण के स्वीकार किया गया।
Dबेज़ू और यूक्लिड. यदि $\operatorname{HCF}(a, b) = 1$ , तो ऐसे पूर्णांक $x$ और $y$ होते हैं कि $ax + by = 1$ , और जो अभाज्य संख्या किसी गुणनफल को विभाजित करती है वह किसी एक गुणनखंड को विभाजित करती है; यह प्राकृत संख्याओं वाली इकाई में सिद्ध किया गया। इस इकाई में बिना प्रमाण के स्वीकार किया गया।
Eवर्गों द्वारा रचना. पिछले समुच्चय के युग्म लिए जाते हैं, सिद्ध किया जाता है कि दो युग्मों को एक मानने वाली शर्त एक तुल्यता संबंध है, नए समुच्चय के रूप में भागफल समुच्चय लिया जाता है, जिसके वर्ग युग्मों का एक खंडन बनाते हैं, और संक्रियाएँ प्रतिनिधियों के द्वारा परिभाषित की जाती हैं, यह सिद्ध करते हुए कि परिणाम चुने गए प्रतिनिधियों पर निर्भर नहीं करता। स्थापित होता है: 2. पूर्णांकों की रचना.
Fपूर्ण क्रमित क्षेत्र के अभिगृहीत. यह स्वीकार किया जाता है कि वास्तविक संख्याएँ एक पूर्ण क्रमित क्षेत्र बनाती हैं जिसमें परिमेय संख्याएँ हैं: योग और गुणन क्षेत्र के अभिगृहीतों को संतुष्ट करते हैं; धनात्मक संख्याएँ त्रिभाजिता को संतुष्ट करती हैं और योग तथा गुणन के अंतर्गत संवृत हैं; और ऊपर से परिबद्ध वास्तविक संख्याओं के प्रत्येक अरिक्त समुच्चय का सुप्रीमम होता है, और यही वह अभिगृहीत है जो वास्तविक संख्याओं की विशेषता है। इस इकाई में बिना प्रमाण के स्वीकार किया गया।
Gमूल की अद्वितीयता. समान $n$ वीं घात वाली दो ऋणेतर वास्तविक संख्याएँ बराबर होती हैं; इसलिए यह जानने के लिए कि कोई ऋणेतर संख्या मुख्य मूल है, इतना दिखाना पर्याप्त है कि उसकी घात दी गई संख्या है। स्थापित होता है: 11. मुख्य मूल की अद्वितीयता.
Hआर्किमिडीज़ गुण. प्रत्येक वास्तविक संख्या के लिए उससे बड़ी एक प्राकृत संख्या होती है; फलतः, एक वास्तविक संख्या $d$ , जिसके लिए $0 \leq d \leq \frac{1}{10^n}$ प्रत्येक प्राकृत संख्या $n$ के लिए सत्य है, शून्य होती है। स्थापित होता है: 13. आर्किमिडीज़ गुण.

खंड 1 रचनाएँ
- पूर्णांकों की रचना प्राकृत संख्याओं के युग्मों के वर्गों के रूप में और परिमेय संख्याओं की रचना भिन्नों के वर्गों के रूप में, सुपरिभाषित संक्रियाओं के साथ, करना।
- चिह्नों के नियम, शून्य भाजकों के अभाव और गुणनफल के विलोपन नियम को प्रमेय बनाना।
- यह सिद्ध करना कि हर परिमेय संख्या की एक अद्वितीय अलघुकरणीय भिन्न होती है, और परिमेय संख्याओं का क्रम सघन और आर्किमिडीय है।
- सम्मिश्र संख्याओं की रचना वास्तविक संख्याओं के युग्मों के रूप में, ऐसे गुणनफल के साथ जो $i^2 = -1$ देता है, करना।
1. तत्समक और योज्य प्रतिलोम की अद्वितीयता. योज्य तत्समक अद्वितीय है और हर संख्या का एक अद्वितीय योज्य प्रतिलोम होता है, इस प्रकार $-(-c) = c$ ; इसी प्रकार, हर शून्येतर संख्या का एक अद्वितीय गुणात्मक प्रतिलोम होता है।
  सिद्ध किया गया: संख्या समुच्चय: प्राकृत संख्याओं से सम्मिश्र संख्याओं तक.
2. पूर्णांकों की रचना. वह संबंध जो प्राकृत संख्याओं के युग्मों $(a, b)$ और $(c, d)$ को तब तुल्य बनाता है जब $a + d = b + c$ , एक तुल्यता संबंध है; इसके वर्ग पूर्णांक हैं, जिनके योग और गुणन सुपरिभाषित, क्रमविनिमेय, साहचर्य और वितरक हैं, तत्समक $C(1, 1)$ और $C(2, 1)$ हैं और योज्य प्रतिलोम $-C(a, b) = C(b, a)$ है।
  आधार: B (प्राकृत संख्याओं का अंकगणित). सिद्ध किया गया: पूर्णांक: रचना, चिह्न और क्रम.
3. पूर्णांकों की त्रिभाजिता. प्राकृत संख्या $n$ को वर्ग $C(n + 1, 1)$ के साथ एक मानने पर योग और गुणन बने रहते हैं, और हर पूर्णांक इनमें से ठीक एक है: एक प्राकृत संख्या, शून्य, या किसी प्राकृत संख्या का योज्य प्रतिलोम।
  उपयोग करती है: 2. पूर्णांकों की रचना. आधार: B (प्राकृत संख्याओं का अंकगणित), A (विस्तारों का सिद्धांत). सिद्ध किया गया: पूर्णांक: रचना, चिह्न और क्रम.
4. चिह्नों का नियम. सभी पूर्णांकों के लिए $a \cdot 0 = 0$ , $(-a) b = -(ab)$ और $(-a)(-b) = ab$ सत्य हैं; इसके अतिरिक्त, यदि $ab = 0$ , तो कोई एक गुणनखंड शून्य है, और दो बराबर गुणनफलों का उभयनिष्ठ शून्येतर गुणनखंड काटा जा सकता है।
  उपयोग करती है: 1. तत्समक और योज्य प्रतिलोम की अद्वितीयता, 2. पूर्णांकों की रचना, 3. पूर्णांकों की त्रिभाजिता. सिद्ध किया गया: पूर्णांक: रचना, चिह्न और क्रम.
5. पूर्णांकों का क्रम. यदि $a < b$ का अर्थ है कि $b - a$ प्राकृत संख्या है, तो एक ही पूर्णांक जोड़ने से क्रम बना रहता है, धनात्मक संख्या से गुणा करने पर बना रहता है और ऋणात्मक से गुणा करने पर उलट जाता है; और ऋणात्मक भाज्य का शेषफल सहित भाग प्राकृत भाज्य के भाग पर आ जाता है।
  उपयोग करती है: 1. तत्समक और योज्य प्रतिलोम की अद्वितीयता, 3. पूर्णांकों की त्रिभाजिता, 4. चिह्नों का नियम. आधार: C (शेषफल सहित भाग). सिद्ध किया गया: पूर्णांक: रचना, चिह्न और क्रम.
6. परिमेय संख्याओं की रचना. वह संबंध जो भिन्नों $\frac{p}{q}$ और $\frac{r}{s}$ को तब तुल्य बनाता है जब $ps = qr$ , एक तुल्यता संबंध है; इसके वर्ग परिमेय संख्याएँ हैं, जिनके योग और गुणन सुपरिभाषित हैं, और प्रत्येक शून्येतर परिमेय संख्या $\frac{p}{q}$ का गुणात्मक प्रतिलोम $\frac{q}{p}$ है।
  उपयोग करती है: 1. तत्समक और योज्य प्रतिलोम की अद्वितीयता, 4. चिह्नों का नियम. आधार: E (वर्गों द्वारा रचना), A (विस्तारों का सिद्धांत). सिद्ध किया गया: परिमेय संख्याएँ: भिन्न और उनकी संक्रियाएँ.
7. अलघुकरणीय भिन्न. हर परिमेय संख्या प्राकृत हर वाली एक अलघुकरणीय भिन्न से निरूपित होती है, और केवल एक से।
  उपयोग करती है: 4. चिह्नों का नियम, 6. परिमेय संख्याओं की रचना. आधार: D (बेज़ू और यूक्लिड). सिद्ध किया गया: परिमेय संख्याएँ: भिन्न और उनकी संक्रियाएँ.
8. परिमेय संख्याओं का क्रम. प्राकृत हरों के साथ, $\frac{p}{q} < \frac{r}{s}$ का अर्थ है $ps < qr$ ; यह क्रम चुनी गई भिन्नों पर निर्भर नहीं करता, पूर्णांकों के क्रम का विस्तार करता है और संक्रियाओं के साथ संगत है, और सघन तथा आर्किमिडीय है: दो परिमेय संख्याओं के बीच अनंत परिमेय संख्याएँ हैं, और हर परिमेय संख्या से कोई प्राकृत संख्या बड़ी होती है।
  उपयोग करती है: 5. पूर्णांकों का क्रम, 6. परिमेय संख्याओं की रचना. सिद्ध किया गया: परिमेय संख्याएँ: भिन्न और उनकी संक्रियाएँ.
9. सम्मिश्र संख्याओं की रचना. $(a, b) + (c, d) = (a + c, b + d)$ और $(a, b)(c, d) = (ac - bd, ad + bc)$ के साथ, वास्तविक संख्याओं के युग्म सम्मिश्र संख्याएँ बनाते हैं: उनकी संक्रियाएँ क्रमविनिमेय, साहचर्य और वितरक हैं, युग्म $(a, 0)$ वास्तविक संख्याओं की तरह व्यवहार करते हैं, $i = (0, 1)$ , $i^2 = -1$ को संतुष्ट करता है और प्रत्येक सम्मिश्र संख्या अद्वितीय रूप से $a + bi$ के रूप में लिखी जाती है।
  आधार: A (विस्तारों का सिद्धांत), F (पूर्ण क्रमित क्षेत्र के अभिगृहीत). सिद्ध किया गया: सम्मिश्र संख्याएँ: संक्रियाएँ और समीकरण.
खंड 2 क्रम और पूर्णता
- क्रम के अभिगृहीतों से असमिकाओं के साथ संक्रियाओं के नियम और मुख्य मूल की अद्वितीयता निकालना।
- यह सिद्ध करना कि परिमेय संख्याएँ पूर्ण नहीं हैं, क्योंकि उन परिमेय संख्याओं के समुच्चय का, जिनका वर्ग $2$ से छोटा है, कोई परिमेय सुप्रीमम नहीं है।
- पूर्णता से आर्किमिडीज़ गुण, प्रत्येक अनंत दशमलव प्रसार का मान और सांत या आवर्ती प्रसारों द्वारा परिमेय संख्याओं का अभिलक्षण निकालना।
- पूर्णता से रेखा में परिमेय संख्याओं की सघनता, मूलों का अस्तित्व और अंतरालों का अभिलक्षण निकालना, और निरपेक्ष मान के साथ संक्रियाएँ करना।
1. वास्तविक संख्याओं का क्रम. यदि धनात्मक संख्याएँ त्रिभाजिता को संतुष्ट करती हैं और योग तथा गुणन के अंतर्गत संवृत हैं, तो वास्तविक संख्याओं का क्रम संक्रामक है, जोड़ने पर और धनात्मक संख्या से गुणा करने पर बना रहता है, ऋणात्मक से गुणा करने पर उलट जाता है, और दो धनात्मक संख्याओं के गुणात्मक प्रतिलोम लेने से उनका क्रम उलट जाता है।
  उपयोग करती है: 4. चिह्नों का नियम. आधार: F (पूर्ण क्रमित क्षेत्र के अभिगृहीत). सिद्ध किया गया: संख्या समुच्चय: प्राकृत संख्याओं से सम्मिश्र संख्याओं तक.
2. मुख्य मूल की अद्वितीयता. यदि $p$ और $r$ ऋणेतर हैं और $p^n = r^n$ , तो $p = r$ ; यदि $n$ विषम है, तो प्रत्येक वास्तविक संख्या का अधिक से अधिक एक $n$ वाँ मूल होता है, जो ऋणात्मक होता है जब संख्या ऋणात्मक हो।
  उपयोग करती है: 4. चिह्नों का नियम, 10. वास्तविक संख्याओं का क्रम. आधार: B (प्राकृत संख्याओं का अंकगणित). सिद्ध किया गया: संख्या समुच्चय: प्राकृत संख्याओं से सम्मिश्र संख्याओं तक.
3. परिमेय संख्याएँ पूर्ण नहीं हैं. $2$ का वर्गमूल परिमेय नहीं है; इसलिए उन परिमेय संख्याओं का समुच्चय जिनका वर्ग $2$ से छोटा है ऊपर से परिबद्ध है, परंतु उसके परिमेय उपरि परिबंधों में से कोई भी सबसे छोटा नहीं है।
  उपयोग करती है: 8. परिमेय संख्याओं का क्रम, 11. मुख्य मूल की अद्वितीयता. आधार: D (बेज़ू और यूक्लिड). सिद्ध किया गया: संख्या समुच्चय: प्राकृत संख्याओं से सम्मिश्र संख्याओं तक.
4. आर्किमिडीज़ गुण. प्रत्येक वास्तविक संख्या $x$ के लिए $x$ से बड़ी एक प्राकृत संख्या होती है; फलतः, यदि $0 \leq d \leq \frac{1}{10^n}$ प्रत्येक प्राकृत संख्या $n$ के लिए, तो $d = 0$ ।
  उपयोग करती है: 10. वास्तविक संख्याओं का क्रम. आधार: F (पूर्ण क्रमित क्षेत्र के अभिगृहीत), B (प्राकृत संख्याओं का अंकगणित). सिद्ध किया गया: परिमेय संख्याओं का दशमलव प्रसार.
5. दशमलव प्रसार का मान. $p$ को $q$ से लंबे भाग द्वारा भाग देने पर ऐसे अंक मिलते हैं जिनके छंटन $\frac{p}{q}$ से $\frac{1}{10^n}$ से कम दूरी पर होते हैं; और प्रत्येक अनंत दशमलव प्रसार एक अद्वितीय वास्तविक संख्या को निरूपित करता है, जो लंबे भाग के लिए $\frac{p}{q}$ है; किसी धनात्मक वास्तविक संख्या के दो प्रसार केवल तब होते हैं जब एक सांत हो और दूसरा नौ की अनंत पुनरावृत्ति पर समाप्त हो।
  उपयोग करती है: 6. परिमेय संख्याओं की रचना, 10. वास्तविक संख्याओं का क्रम. आधार: B (प्राकृत संख्याओं का अंकगणित), C (शेषफल सहित भाग), F (पूर्ण क्रमित क्षेत्र के अभिगृहीत), H (आर्किमिडीज़ गुण). सिद्ध किया गया: परिमेय संख्याओं का दशमलव प्रसार.
6. सांत प्रसार. अलघुकरणीय भिन्न $\frac{p}{q}$ का दशमलव प्रसार सांत है यदि और केवल यदि $q = 2^a 5^b$ , जहाँ $a$ और $b$ ऋणेतर पूर्णांक हैं।
  उपयोग करती है: 7. अलघुकरणीय भिन्न, 14. दशमलव प्रसार का मान. आधार: D (बेज़ू और यूक्लिड). सिद्ध किया गया: परिमेय संख्याओं का दशमलव प्रसार.
7. परिमेय संख्याओं के प्रसार. प्रत्येक धनात्मक परिमेय संख्या $\frac{p}{q}$ का दशमलव प्रसार सांत या आवर्ती होता है, और उसके आवर्त की लंबाई अधिक से अधिक $q - 1$ होती है।
  उपयोग करती है: 14. दशमलव प्रसार का मान. आधार: B (प्राकृत संख्याओं का अंकगणित), C (शेषफल सहित भाग). सिद्ध किया गया: परिमेय संख्याओं का दशमलव प्रसार.
8. जनक भिन्न. प्रत्येक आवर्ती दशमलव प्रसार एक परिमेय संख्या को निरूपित करता है, और आवर्त $A$ वाला, $k$ अंकों का, शुद्ध आवर्ती प्रसार $\frac{A}{10^k - 1}$ को निरूपित करता है; अतः कोई वास्तविक संख्या परिमेय है यदि और केवल यदि उसका प्रसार सांत या आवर्ती है।
  उपयोग करती है: 14. दशमलव प्रसार का मान, 16. परिमेय संख्याओं के प्रसार. आधार: B (प्राकृत संख्याओं का अंकगणित), H (आर्किमिडीज़ गुण). सिद्ध किया गया: परिमेय संख्याओं का दशमलव प्रसार.
9. परिमेय संख्याओं की सघनता. दो अलग वास्तविक संख्याओं के बीच सदा एक परिमेय संख्या होती है, और इसलिए अनंत परिमेय संख्याएँ।
  उपयोग करती है: 10. वास्तविक संख्याओं का क्रम. आधार: B (प्राकृत संख्याओं का अंकगणित), H (आर्किमिडीज़ गुण). सिद्ध किया गया: वास्तविक रेखा: क्रम, अंतराल और निरपेक्ष मान.
10. मूल का अस्तित्व. प्रत्येक प्राकृत संख्या $n \geq 2$ और प्रत्येक वास्तविक संख्या $a \geq 0$ के लिए एक वास्तविक संख्या $s \geq 0$ ऐसी होती है कि $s^n = a$ , और वह मुख्य $n$ वाँ मूल है ( $a$ का)।
  उपयोग करती है: 10. वास्तविक संख्याओं का क्रम. आधार: F (पूर्ण क्रमित क्षेत्र के अभिगृहीत), G (मूल की अद्वितीयता). सिद्ध किया गया: वास्तविक रेखा: क्रम, अंतराल और निरपेक्ष मान.
11. अंतरालों का अभिलक्षण. कम से कम दो अवयवों वाला वास्तविक संख्याओं का समुच्चय अंतराल है यदि और केवल यदि उसमें वे सभी संख्याएँ हैं जो उसके किन्हीं दो अवयवों के बीच स्थित हैं।
  उपयोग करती है: 10. वास्तविक संख्याओं का क्रम. आधार: F (पूर्ण क्रमित क्षेत्र के अभिगृहीत). सिद्ध किया गया: वास्तविक रेखा: क्रम, अंतराल और निरपेक्ष मान.
12. निरपेक्ष मान. $\sqrt{x^2} = \abs{x}$ और $\abs{xy} = \abs{x} \abs{y}$ सत्य हैं; शर्त $\abs{x - a} < r$ , $a - r < x < a + r$ के तुल्य है, और त्रिभुज असमिका $\abs{x + y} \leq \abs{x} + \abs{y}$ सत्य है।
  उपयोग करती है: 4. चिह्नों का नियम, 10. वास्तविक संख्याओं का क्रम. आधार: G (मूल की अद्वितीयता). सिद्ध किया गया: वास्तविक रेखा: क्रम, अंतराल और निरपेक्ष मान.
खंड 3 गणना
- परिमेय घातांक वाली घातों को परिभाषित करना, सिद्ध करना कि वे चुनी गई भिन्न पर निर्भर नहीं करतीं, और घातांक के नियम निकालना।
- करणी के नियमों को उनकी चिह्न संबंधी परिकल्पनाओं के साथ स्थापित करना, जिनमें $\sqrt{a^2} = \abs{a}$ भी है।
- समीकरणों और असमीकरणों को बिना हल खोए या जोड़े रूपांतरित करना, और दो समीकरणों के निकायों को उनके सारणिक के द्वारा वर्गीकृत करना।
- संयुग्मी और मापांक के साथ संक्रियाएँ करना, $\mathbb{C}$ में वास्तविक गुणांकों वाला प्रत्येक द्विघात समीकरण हल करना और यह पहचानना कि $\mathbb{C}$ अपनी संक्रियाओं के साथ संगत कोई क्रम स्वीकार नहीं करता।
1. घातांक के नियम. $a > 0$ के लिए, घात $a^{\frac{p}{q}}$ , जो मुख्य $q$ वाँ मूल है ( $a^p$ का), चुनी गई भिन्न पर निर्भर नहीं करती, और $a^x a^y = a^{x + y}$ , $(a^x)^y = a^{xy}$ तथा $(ab)^x = a^x b^x$ सत्य हैं; यदि $a > 1$ , तो यह घातांक के साथ बढ़ती है।
  उपयोग करती है: 6. परिमेय संख्याओं की रचना, 19. मूल का अस्तित्व. आधार: G (मूल की अद्वितीयता). सिद्ध किया गया: परिमेय घातांक वाली घातें और करणियाँ.
2. करणी के नियम. ऋणेतर करणीगत राशियों के लिए, गुणनफल का मूल मूलों का गुणनफल है और मूल का मूल वह मूल है जिसका घातांक दोनों घातांकों का गुणनफल है; $\sqrt[n]{a^n}$ , $\abs{a}$ के बराबर है यदि $n$ सम है, और $\sqrt{a + b} \leq \sqrt{a} + \sqrt{b}$ , जिसमें समता केवल तब होती है जब $ab = 0$ ।
  उपयोग करती है: 19. मूल का अस्तित्व, 21. निरपेक्ष मान. आधार: G (मूल की अद्वितीयता). सिद्ध किया गया: परिमेय घातांक वाली घातें और करणियाँ.
3. तुल्य समीकरण. दोनों पक्षों में एक ही व्यंजक जोड़ना या उन्हें किसी शून्येतर संख्या से गुणा करना किसी समीकरण के हलों को बनाए रखता है; किसी असमीकरण में, धनात्मक संख्या से गुणा करने पर दिशा बनी रहती है और ऋणात्मक से गुणा करने पर उलट जाती है; और वर्ग करने से $A = -B$ के हल जुड़ सकते हैं।
  उपयोग करती है: 1. तत्समक और योज्य प्रतिलोम की अद्वितीयता, 10. वास्तविक संख्याओं का क्रम. सिद्ध किया गया: प्रथम घात के समीकरण, असमिकाएँ और रैखिक निकाय.
4. दो समीकरणों के निकाय. यदि निकाय का सारणिक $D$ शून्येतर है, तो अद्वितीय हल $x = \frac{D_x}{D}$ , $y = \frac{D_y}{D}$ है; यदि $D = 0$ और प्रत्येक समीकरण का कोई शून्येतर गुणांक है, तो निकाय के अनंत हल होते हैं जब $D_x = D_y = 0$ , और अन्यथा कोई हल नहीं होता।
  उपयोग करती है: 24. तुल्य समीकरण. सिद्ध किया गया: प्रथम घात के समीकरण, असमिकाएँ और रैखिक निकाय.
5. संयुग्मी और मापांक. किसी योग या गुणनफल का संयुग्मी संयुग्मियों का योग या गुणनफल है, $z \conj{z} = \abs{z}^2$ , $\abs{zw} = \abs{z} \abs{w}$ और $\abs{z + w} \leq \abs{z} + \abs{w}$ ।
  उपयोग करती है: 9. सम्मिश्र संख्याओं की रचना, 21. निरपेक्ष मान. आधार: G (मूल की अद्वितीयता). सिद्ध किया गया: सम्मिश्र संख्याएँ: संक्रियाएँ और समीकरण.
6. किसी सम्मिश्र संख्या का गुणात्मक प्रतिलोम. प्रत्येक शून्येतर सम्मिश्र संख्या $z$ का एक अद्वितीय गुणात्मक प्रतिलोम $\frac{\conj{z}}{\abs{z}^2}$ होता है; इसलिए किसी भी शून्येतर सम्मिश्र संख्या से भाग दिया जा सकता है, और सम्मिश्र संख्याओं का गुणनफल केवल तब शून्य होता है जब उसका कोई गुणनखंड शून्य हो।
  उपयोग करती है: 1. तत्समक और योज्य प्रतिलोम की अद्वितीयता, 26. संयुग्मी और मापांक. सिद्ध किया गया: सम्मिश्र संख्याएँ: संक्रियाएँ और समीकरण.
7. द्विघात समीकरण. यदि $a$ , $b$ और $c$ वास्तविक हैं, $a \neq 0$ और $\Delta = b^2 - 4ac < 0$ , तो समीकरण $az^2 + bz + c = 0$ के $\mathbb{C}$ में ठीक दो हल हैं, $\frac{-b \pm i \sqrt{-\Delta}}{2a}$ , जो संयुग्मी हैं और वास्तविक नहीं हैं।
  उपयोग करती है: 19. मूल का अस्तित्व, 27. किसी सम्मिश्र संख्या का गुणात्मक प्रतिलोम. सिद्ध किया गया: सम्मिश्र संख्याएँ: संक्रियाएँ और समीकरण.
8. संयुग्मी मूल. यदि वास्तविक गुणांकों वाला कोई बहुपद $z_0$ पर शून्य होता है, तो वह $\conj{z_0}$ पर भी शून्य होता है; इस प्रकार उसके अवास्तविक मूल संयुग्मियों के युग्मों में आते हैं।
  उपयोग करती है: 26. संयुग्मी और मापांक. सिद्ध किया गया: सम्मिश्र संख्याएँ: संक्रियाएँ और समीकरण.
9. सम्मिश्र संख्याओं का क्रम नहीं होता. $\mathbb{C}$ में संक्रियाओं के साथ संगत कोई क्रम नहीं है: हर शून्येतर संख्या का वर्ग धनात्मक होता, और तब $1$ और $i^2 = -1$ धनात्मक होते, और उनका योग भी, जो $0$ है।
  उपयोग करती है: 4. चिह्नों का नियम, 9. सम्मिश्र संख्याओं की रचना. सिद्ध किया गया: संख्या समुच्चय: प्राकृत संख्याओं से सम्मिश्र संख्याओं तक.

बीजीय फलनों की ओर. शृंखला वहाँ रुकती है जहाँ संख्याओं का अध्ययन अलग-अलग होना बंद हो जाता है: अगली इकाई उन नियमों का अध्ययन करती है जो संख्याओं को संख्याएँ निर्दिष्ट करते हैं, ऐसे प्रांतों के साथ जो अंतराल हैं, ऋणेतर करणीगत राशियों, चिह्न सारणियों और वास्तविक गुणांकों वाले बहुपदों के गुणनखंडन के लिए संयुग्मी मूलों की प्रमेय के साथ।

इस पाठ के शेष भाग में

पाठ्यक्रम के भीतर इकाई
समापन मूल्यांकन
चुनौतियाँ
वे संख्याएँ जो अपने गुणात्मक प्रतिलोम के साथ जुड़कर पूर्णांक देती हैं
एक भिन्न जो लगभग कभी सरल नहीं होती
दो-दो करके मापे गए तीन प्रतिरोध
एक अंतराल दूसरे के भीतर
प्राचल वाले निकाय के पूर्णांक हल
जब दो मूलों का योग परिमेय हो
एक भागफल की बीसवीं घात
एक भागफल जो सदा वास्तविक होता है
मूलों के एक योग का पूर्णांक भाग
एक बटा उनचास का आवर्त

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