प्रस्तावात्मक तर्क की भाषा

समुच्चयों से क्या चाहिए

औपचारिक भाषा सबसे पहले प्रतीक-शृंखलाओं का एक संग्रह है; यदि ऐसा है, तो उसके बारे में सटीक रूप से बात करने के लिए संग्रहों की एक शब्दावली चाहिए। यह शब्दावली समुच्चयों की है, जिसमें से यह पाठ केवल वही लेता है जिसका पाठ्यक्रम उपयोग करेगा। समुच्चय वस्तुओं का एक संग्रह है, जिन्हें उसके अवयव कहते हैं, और वह उन्हीं से निर्धारित होता है: समान अवयवों वाले दो समुच्चय एक ही समुच्चय हैं। कोई वस्तु $a$ समुच्चय $A$ का अवयव है, इसे $a \in A$ लिखते हैं और “$a$, $A$ का अवयव है” पढ़ते हैं; अवयव न हो तो $a \notin A$ लिखते हैं।

समुच्चय दो प्रकार से दिया जा सकता है। सूचीकरण विधि में उसके अवयवों को एक-एक करके धनु कोष्ठकों के भीतर लिखा जाता है, और क्रम या पुनरावृत्ति का कोई महत्त्व नहीं होता; और गुण-कथन विधि में वह शर्त कही जाती है जिसे उसके अवयव, और केवल वही, संतुष्ट करते हैं, और कोलन को “ऐसे कि” पढ़ा जाता है। इस प्रकार, $5$ से छोटी प्राकृत संख्याएँ यह समुच्चय बनाती हैं

गुण-कथन विधि का एक रूप, जो आगे बहुत बार आता है, अवयवों का वर्णन उनके आकार से करता है: $\{ 2n : n \in \mathbb{N} \}$ उन संख्याओं का समुच्चय है जो $2n$ के आकार की हैं, जहाँ $n$ प्राकृत संख्या है, अर्थात् सम संख्याओं का समुच्चय। सूचीकरण विधि से दिया गया समुच्चय अनिवार्यतः परिमित होता है; गुण-कथन विधि से अनंत समुच्चय भी दिए जा सकते हैं, जैसे सम संख्याओं का समुच्चय।

कहते हैं कि $A$, $B$ में अंतर्विष्ट है, और $A \subseteq B$ लिखते हैं, जब $A$ का प्रत्येक अवयव $B$ का अवयव हो। इससे यह निष्कर्ष निकलता है कि दो समुच्चय बराबर हैं यदि और केवल यदि प्रत्येक दूसरे में अंतर्विष्ट हो, क्योंकि तब उनके अवयव समान होते हैं; और वास्तव में समुच्चयों की समानता सिद्ध करने की यही सामान्य विधि है: दोनों अंतर्विष्टताएँ सिद्ध करना। अंत में, सम्मिलन $A \cup B$ उन वस्तुओं का समुच्चय है जो $A$ में, $B$ में या दोनों में हैं; अतः दोनों में से प्रत्येक समुच्चय उनके सम्मिलन में अंतर्विष्ट है।