परिवर्तन की दरें और संबंधित दरें

सारांश

यह पाठ अवकलज को उस रूप में पढ़ता है जो वह अनुप्रयोगों में मापता है: वह दर जिससे एक राशि बदलती है जब दूसरी राशि बदलती है। यह औसत, तात्क्षणिक और सापेक्ष परिवर्तन दर में, उनके मात्रकों सहित, भेद करता है, और स्थिर सापेक्ष दर से वृद्धि का अभिलक्षण देता है। यह किसी रेखा पर गति का अध्ययन स्थिति, वेग, चाल और त्वरण के साथ करता है, और सिद्ध करता है कि किसी क्षण पर अवकलज का चिह्न क्या बताता है, और क्या नहीं बताता। अंत में, जब समय पर निर्भर कई राशियाँ किसी संबंध से जुड़ी होती हैं, तो शृंखला नियम उनकी परिवर्तन की दरों को भी जोड़ता है: ये संबंधित दरें हैं, जिनके प्रश्न एक स्पष्ट विधि से सुलझाए जाते हैं।

अधिगम उद्देश्य

अवकलज की व्याख्या तात्क्षणिक परिवर्तन दर के रूप में, उसके मात्रकों सहित, करना, और उसे औसत परिवर्तन दर तथा सापेक्ष परिवर्तन दर से अलग पहचानना।
स्थिति, वेग, चाल और त्वरण द्वारा सरल रेखीय गति का वर्णन करना, और सिद्ध करना कि किसी क्षण पर अवकलज का चिह्न निकटवर्ती मानों के बारे में क्या बताता है।
संबंधित दरों के प्रश्नों को एक स्पष्ट विधि से सुलझाना, यह औचित्य देते हुए कि जिन राशियों का अवकलन किया जाता है वे अवकलनीय हैं।
गुणनफलों और घातों की सापेक्ष परिवर्तन दरों को लघुगणकीय अवकलज से, और त्वरणों को किसी संबंध के द्वितीय कोटि के अवकलज से जोड़ना।

परिवर्तन की दर के रूप में अवकलज

सीमा के रूप में अवकलज वाला पाठ दो प्रश्नों से एक ही परिभाषा तक पहुँचा: स्पर्श रेखा की प्रवणता और तात्क्षणिक वेग। दोनों एक अधिक व्यापक प्रश्न की विशेष स्थितियाँ हैं। जब भी एक राशि दूसरी पर निर्भर होती है, जैसे वृत्त का क्षेत्रफल उसकी त्रिज्या पर, किसी गतिमान बिंदु की स्थिति समय पर, या छड़ के किसी टुकड़े का द्रव्यमान उसकी लंबाई पर, तो यह जानना उपयोगी है कि दूसरी के बदलने पर पहली किस दर से बदलती है।

परिभाषापरिवर्तन की दर

मान लें $f$ एक फलन है जो विवृत अंतराल $I$ पर परिभाषित है और एक राशि $y = f(x)$ को दूसरी राशि $x$ के फलन के रूप में व्यक्त करता है, और मान लें $a$ और $a + h$ , $I$ के बिंदु हैं, जहाँ $h \neq 0$ । $y$ की $x$ के सापेक्ष $a$ और $a + h$ के बीच औसत परिवर्तन दर यह भागफल है

\frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{f(a + h) - f(a)}{h}

यदि $f$ , $a$ पर अवकलनीय है, तो $y$ की $x$ के सापेक्ष $a$ पर तात्क्षणिक परिवर्तन दर (या केवल परिवर्तन की दर) $f'(a)$ है; यदि इसके अतिरिक्त $f(a) \neq 0$ , तो $a$ पर सापेक्ष परिवर्तन दर भागफल $\frac{f'(a)}{f(a)}$ है।

औसत दर किसी छेदक रेखा की प्रवणता है, और तात्क्षणिक दर उसकी सीमा: स्पर्श रेखा की प्रवणता। दोनों को $y$ के मात्रक प्रति $x$ के मात्रक में मापा जाता है: मीटर प्रति सेकंड, यदि $y$ एक लंबाई है और $x$ एक समय; किलोग्राम प्रति मीटर, यदि $y$ छड़ के एक टुकड़े का द्रव्यमान है और $x$ उसकी लंबाई। इस अंतिम स्थिति में, यदि $M(x)$ उस टुकड़े का द्रव्यमान है जो एक सिरे और दूरी $x$ पर स्थित बिंदु के बीच है, तो परिवर्तन की दर $M'(x)$ उस बिंदु पर छड़ का रैखिक घनत्व है: प्रति मात्रक लंबाई वह द्रव्यमान जो उसके आसपास के एक बहुत छोटे टुकड़े का होगा। इसके विपरीत, सापेक्ष दर केवल $x$ के मात्रकों के व्युत्क्रम में मापी जाती है (प्रति सेकंड, प्रति दिन): यह उस मात्रक पर निर्भर नहीं करती जिसमें $y$ को मापा जाता है, और इसीलिए यह अलग प्रकृति या अलग आकार की राशियों के परिवर्तन की तुलना करने देती है। यह घातांक में चर वाले पाठ का लघुगणकीय अवकलज है, और प्रायः प्रतिशत के रूप में व्यक्त की जाती है: प्रति दिन $0.03$ की सापेक्ष दर प्रति दिन 3 प्रतिशत है।

एक ज्यामितीय उदाहरण दिखाता है कि परिवर्तन की दर को कैसे पढ़ा जाता है। त्रिज्या $r$ वाले वृत्त का क्षेत्रफल $A = \pi r^2$ है, और त्रिज्या के सापेक्ष उसकी परिवर्तन दर $\frac{\mathrm{d}A}{\mathrm{d}r} = 2\pi r$ है, अर्थात परिधि, जैसा कि सीमा के रूप में अवकलज वाले पाठ का अभ्यास प्रश्न 1 जाँचने को कहता है। कारण स्पष्ट है: त्रिज्या के $h$ बढ़ने पर क्षेत्रफल चौड़ाई $h$ वाले एक वलय जितना बढ़ता है, जिसका क्षेत्रफल लगभग परिधि गुणा $h$ है।

साध्यस्थिर सापेक्ष दर से वृद्धि

मान लें $y_0 > 0$ और $k \neq 0$ वास्तविक संख्याएँ हैं, और मान लें $y(t) = y_0 e^{kt}$ , प्रत्येक वास्तविक $t$ के लिए। तब $y$ की सापेक्ष परिवर्तन दर प्रत्येक क्षण पर $k$ है, और प्रत्येक $t$ तथा प्रत्येक $T$ के लिए:

y(t + T) = e^{kT} \, y(t)

विशेष रूप से, यदि $k > 0$ , तो राशि अवधि $\frac{\ln 2}{k}$ वाले प्रत्येक समय-अंतराल में दुगुनी हो जाती है, चाहे वह अंतराल किसी भी क्षण से आरंभ हो; और यदि $k < 0$ , तो वह अवधि $\frac{\ln 2}{\abs{k}}$ वाले प्रत्येक अंतराल में आधी रह जाती है।

प्रमाण

$y'(t) = y_0 e^{kt} \cdot k = k \, y(t), \qquad \frac{y'(t)}{y(t)} = \resaltar{k}$
घातांक में चर वाले पाठ के, चरघातांकी फलन और लघुगणक के साथ संघटनों वाले उपप्रमेय से, $u(t) = kt$ लेकर, फलन $y$ पूरे $\mathbb{R}$ पर अवकलनीय है और उसका अवकलज स्वयं फलन का $k$ गुना है, और फलन कहीं शून्य नहीं होता।
$\frac{y(t + T)}{y(t)} = \frac{y_0 e^{kt} e^{kT}}{y_0 e^{kt}} = \resaltar{e^{kT}}$
घातांक नियम से, अवधि $T$ वाले अंतराल से अलग हुए मानों का अनुपात $t$ पर निर्भर नहीं करता।
$e^{kT} = 2 \Leftrightarrow T = \frac{\ln 2}{k}, \qquad e^{kT} = \frac{1}{2} \Leftrightarrow T = \resaltar{\frac{\ln 2}{-k}}$
चूँकि चरघातांकी फलन एकैकी है, अनुपात $2$ के बराबर है यदि और केवल यदि $kT = \ln 2$ , और $\frac{1}{2}$ के बराबर है यदि और केवल यदि $kT = -\ln 2$ ।

बिना प्रतिबंधों वाले माध्यम में जीवाणुओं की कोई समष्टि, या किसी रेडियोधर्मी पदार्थ का द्रव्यमान, अच्छे सन्निकटन से स्थिर सापेक्ष दर से बदलते हैं, और यह साध्य समझाता है कि उनका द्विगुणन काल या उनकी अर्ध-आयु नियत क्यों होती है। यह सत्य है कि फलन $y_0 e^{kt}$ ही स्थिर सापेक्ष दर $k$ वाले एकमात्र फलन हैं, किंतु इसकी उपपत्ति के लिए यह जानना आवश्यक है कि किसी अंतराल पर शून्य अवकलज वाला फलन अचर होता है, जो आगामी इकाई के माध्यमान प्रमेय का परिणाम है।

इस पाठ के शेष भाग में

किसी रेखा पर गति
संबंधित दरें
हल किए गए प्रश्न
सरल आवर्ती दोलक
भरता हुआ शंकु
लंबी होती छाया
लंबवत रास्तों पर दो गतिमान बिंदु
आयतन बदले बिना खिंचता बेलन
अभ्यास प्रश्न
फुलाया जाता गुब्बारा
प्रकाश-स्तंभ और तट
वर्धमान हुए बिना धनात्मक अवकलज
अर्ध-आयु
सीढ़ी के ऊपरी सिरे का त्वरण

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