त्रिभुजों का हल: ज्या नियम और कोज्या नियम

संकेतन और पूर्व तथ्य

त्रिकोणमितीय अनुपातों वाले पाठ में न्यून कोण की ज्या, कोज्या और स्पर्शज्या को समकोण त्रिभुज की भुजाओं के अनुपातों के रूप में परिभाषित किया गया था, और फिर मात्रक वृत्त के द्वारा उन्हें हर कोण तक बढ़ाया गया था। अतः समकोण त्रिभुज इन अनुपातों और पाइथागोरस प्रमेय से हल होता है। किंतु ज्यामिति में और भूमि के मापन में आने वाले अधिकांश त्रिभुजों में कोई समकोण नहीं होता; इस पाठ का उद्देश्य उन सभी को हल करना है।

शीर्षों $A$, $B$ और $C$ वाले त्रिभुज में एक ही बड़ा अक्षर शीर्ष को भी और उस शीर्ष पर त्रिभुज के अंतःकोण की माप को भी दर्शाता है, और संगत छोटा अक्षर सम्मुख भुजा की लंबाई दर्शाता है: $a$ भुजा $BC$ की लंबाई है, $b$ भुजा $CA$ की और $c$ भुजा $AB$ की। त्रिभुज का क्षेत्रफल $S$ से निरूपित होता है, और दो बिंदुओं $P$ और $Q$ के बीच की दूरी $\operatorname{d}(P, Q)$ से। त्रिभुजों के हल की परंपरा के अनुसार कोण अंशों में व्यक्त किए जाते हैं। किंतु त्रिकोणमितीय फलन वास्तविक संख्याओं के लिए परिभाषित हैं, जो रेडियन में माप हैं; कोण और उनकी माप वाले पाठ के रूपांतरण नियम के अनुसार $g$ अंश के कोण की माप $\frac{\pi g}{180}$ रेडियन है, और यह परिपाटी अपनाई जाती है: $\sin g^\circ$ का अर्थ $\sin \frac{\pi g}{180}$ है, और यही अन्य फलनों के लिए; उदाहरण के लिए, $\cos 60^\circ = \cos \frac{\pi}{3} = \frac{1}{2}$। इसी प्रकार, प्रतिलोम कोज्या, जो $\icc{0}{\pi}$ में मान लेता है, किसी कोण की माप रेडियन में लौटाता है, और वह माप अंशों में व्यक्त की जाती है: समता $\arccos \left( -\frac{1}{2} \right) = 120^\circ$ का अर्थ है कि $\arccos \left( -\frac{1}{2} \right) = \frac{2\pi}{3}$, अर्थात् $120^\circ$ के कोण की रेडियन माप। इस परिपाटी के साथ आगे का सब कुछ रेडियन में भी समान रूप से सत्य है, यदि $180^\circ$ के स्थान पर $\pi$ रखा जाए। कोण और उनकी माप वाले पाठ की तरह, प्रारंभिक ज्यामिति का एक तथ्य स्वीकार किया जाता है, जिसे यह पाठ्यक्रम सिद्ध नहीं करता क्योंकि यह संश्लेषी ज्यामिति विकसित नहीं करता: त्रिभुज के तीनों कोणों का योग दो समकोणों के बराबर है।

इससे निकलता है कि त्रिभुज का प्रत्येक कोण दृढ़तः $0^\circ$ और $180^\circ$ के बीच है, और उनमें से अधिक से अधिक एक समकोण या अधिक कोण है। इसके अतिरिक्त, इस इकाई के पहले के पाठों से निम्नलिखित तथ्य प्रयुक्त होते हैं:

• वह बिंदु जो मूल बिंदु से $r$ दूरी पर है, उस किरण पर जो धनात्मक भुज अर्ध-अक्ष के साथ कोण $\theta$ बनाती है, उसके निर्देशांक $\left( r \cos \theta, r \sin \theta \right)$ हैं: यह मात्रक वृत्त का $\theta$ के संगत बिंदु है, जिसे $r$ से गुणा किया गया है।
• पाइथागोरस सर्वसमिका, $\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$, और संपूरक कोण की सममितियाँ, $\sin \left( 180^\circ - \theta \right) = \sin \theta$ और $\cos \left( 180^\circ - \theta \right) = -\cos \theta$।
• यदि $0^\circ < \theta < 180^\circ$, तो $\theta$ की ज्या धनात्मक है; कोज्या धनात्मक है यदि $\theta$ न्यून कोण है, शून्य है यदि वह समकोण है, और ऋणात्मक है यदि वह अधिक कोण है।
• कोज्या $0^\circ$ और $180^\circ$ के बीच दृढ़तः ह्रासमान है और इस अंतराल में $-1$ और $1$ के बीच का हर मान ठीक एक बार लेती है; इसलिए, प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलन वाले पाठ के अनुसार, त्रिभुज का कोण अपनी कोज्या से निर्धारित होता है, $\theta = \arccos x$।

इसके विपरीत, ज्या त्रिभुज के कोण को निर्धारित नहीं करती: कोण $\theta$ और $180^\circ - \theta$ की ज्या एक ही है, और प्रतिलोम ज्या फलन केवल न्यून कोण लौटाता है। ज्या और कोज्या के बीच की यह असममिति, उपांतिम भाग में, यह स्पष्ट करेगी कि कुछ आँकड़े दो अलग-अलग त्रिभुज क्यों स्वीकार करते हैं।