त्रिकोणमितीय अनुपात और मात्रक वृत्त

सारांश

यह पाठ किसी कोण की ज्या, कोज्या और स्पर्शज्या को दो प्रकार से परिभाषित करता है। पहली परिभाषा, समकोण त्रिभुज की भुजाओं के भागफलों के रूप में, न्यून कोणों के लिए मान्य है, और समरूपता से सिद्ध किया जाता है कि वह चुने गए त्रिभुज पर निर्भर नहीं करती। दूसरी परिभाषा, उस बिंदु के निर्देशांकों के रूप में जहाँ कोण की अंतिम भुजा मात्रक वृत्त को काटती है, प्रत्येक वास्तविक संख्या के लिए मान्य है और न्यून कोणों पर पहली से मेल खाती है। उससे प्रत्येक चतुर्थांश में चिह्न, पाइथागोरस सर्वसमिका, $\frac{\pi}{6}$ , $\frac{\pi}{4}$ और $\frac{\pi}{3}$ के कोणों के विशिष्ट मान, जो आधे समबाहु त्रिभुज और आधे वर्ग से प्राप्त होते हैं, तथा ज्या और कोज्या की सममितियाँ निगमित होती हैं; ये सममितियाँ वृत्त पर बिंदु का परावर्तन करके सिद्ध की जाती हैं और किसी भी कोण के अनुपात उसके संदर्भ कोण के द्वारा ज्ञात करना संभव बनाती हैं।

अधिगम उद्देश्य

समकोण त्रिभुज में न्यून कोण के छह त्रिकोणमितीय अनुपात परिभाषित करना और समरूपता द्वारा सिद्ध करना कि वे त्रिभुज पर निर्भर नहीं करते।
मात्रक वृत्त के द्वारा किसी भी कोण की ज्या, कोज्या और शेष अनुपात परिभाषित करना, स्पर्शज्या को अंतिम भुजा की प्रवणता के रूप में पहचानना और सिद्ध करना कि न्यून कोणों पर दोनों परिभाषाएँ मेल खाती हैं।
पाइथागोरस सर्वसमिका, विशिष्ट मान तथा ज्या और कोज्या की सममितियाँ सिद्ध करना, और संदर्भ कोण विधि से किसी भी कोण के अनुपात ज्ञात करने में उनका उपयोग करना।
किसी कोण के सभी अनुपात उसके एक अनुपात और उसके चतुर्थांश से प्राप्त करना, और अनुपातों को ऊँचाइयों, दूरियों और क्षेत्रफलों की समस्याओं पर लागू करना।

न्यून कोण के अनुपात

समकोण त्रिभुज में समकोण के सामने की भुजा कर्ण कहलाती है, और शेष दो भुजाएँ समकोण बनाने वाली भुजाएँ। त्रिभुज के अंतःकोणों का योग एक ऋजु कोण होता है, जिसकी माप $\pi$ है; प्रारंभिक ज्यामिति का यह तथ्य कोण और उनकी माप विषयक पाठ में स्वीकार किया गया था। यदि ऐसा है, तो समकोण त्रिभुज के उन दो कोणों का योग, जो समकोण नहीं हैं, $\frac{\pi}{2}$ होता है, और उनमें से प्रत्येक न्यून होता है, अर्थात् उसकी माप $0$ और $\frac{\pi}{2}$ के बीच होती है। इन न्यून कोणों में से एक के सापेक्ष, जिसकी माप $\alpha$ है, समकोण बनाने वाली एक भुजा सम्मुख भुजा है, जो उसके शीर्ष को नहीं छूती, और दूसरी संलग्न भुजा है, जो कर्ण के साथ मिलकर उस कोण की भुजाएँ बनाती है।

मान लीजिए $\alpha$ किसी समकोण त्रिभुज का एक न्यून कोण है, जिसका कर्ण $c$ है, जिसमें $\alpha$ की सम्मुख भुजा की माप $a$ है और संलग्न भुजा की माप $b$ है। $\alpha$ की ज्या, कोज्या और स्पर्शज्या क्रमशः सम्मुख भुजा और कर्ण का भागफल, संलग्न भुजा और कर्ण का भागफल, तथा सम्मुख भुजा और संलग्न भुजा का भागफल हैं।

\sin \alpha = \frac{a}{c}, \qquad \cos \alpha = \frac{b}{c}, \qquad \tan \alpha = \frac{a}{b}

इनके व्युत्क्रम कोछेदक, छेदक और कोस्पर्शज्या कहलाते हैं: $\csc \alpha = \frac{c}{a}$ , $\sec \alpha = \frac{c}{b}$ और $\cot \alpha = \frac{b}{a}$ । ये छहों त्रिकोणमितीय अनुपात कहलाते हैं, क्योंकि ये त्रिभुज की भुजाओं के अनुपात, अर्थात् भागफल, हैं। फिर भी यह परिभाषा एक शंका उठाती है: माप $\alpha$ के न्यून कोण वाले अनंत समकोण त्रिभुज हैं, बड़े और छोटे, और यदि प्रत्येक त्रिभुज अलग भागफल देता, तो “ $\alpha$ की ज्या” शब्द किसी संख्या को निर्दिष्ट नहीं करते। नीचे दिया गया प्रमेय इस शंका को दूर करता है।

प्रमेयअनुपात त्रिभुज पर निर्भर नहीं करते

यदि दो समकोण त्रिभुजों में एक ही माप $\alpha$ का एक न्यून कोण हो, तो पहले त्रिभुज की किन्हीं दो भुजाओं का भागफल दूसरे की संगत भुजाओं के भागफल के बराबर होता है। फलस्वरूप, $\alpha$ की ज्या, कोज्या और स्पर्शज्या, तथा उनके व्युत्क्रम, केवल $\alpha$ पर निर्भर करते हैं। इसके अतिरिक्त, $0 < \sin \alpha < 1$ और $0 < \cos \alpha < 1$ ।

मान लीजिए दो समकोण त्रिभुजों में न्यून कोण $\alpha$ है: पहले की समकोण बनाने वाली भुजाएँ $a_1$ और $b_1$ तथा कर्ण $c_1$ है, और दूसरे की समकोण बनाने वाली भुजाएँ $a_2$ और $b_2$ तथा कर्ण $c_2$ है, जहाँ $a_1$ और $a_2$ , $\alpha$ की सम्मुख भुजाएँ हैं। प्रारंभिक ज्यामिति की त्रिभुजों की समरूपता की कसौटियाँ स्वीकार की जाती हैं, वही जिन्होंने पाठ्यक्रम I के रेखा का समीकरण विषयक पाठ में यह सुनिश्चित किया था कि प्रवणता चुने गए बिंदुओं पर निर्भर नहीं करती।

प्रमाण

$\dato{k}{a_2 = k a_1, \quad b_2 = k b_1, \quad c_2 = k c_1}$
दोनों त्रिभुजों के दो कोण बराबर हैं, समकोण और माप $\alpha$ वाला कोण; दो कोणों की समरूपता कसौटी से वे समरूप हैं, और उनकी संगत भुजाएँ समानुपाती हैं: एक संख्या $k > 0$ ऐसी है कि दूसरे त्रिभुज की प्रत्येक भुजा पहले की संगत भुजा की $k$ गुनी है।
$\frac{a_2}{c_2} = \frac{\resaltar{k a_1}}{\resaltar{k c_1}} = \resaltar{\frac{a_1}{c_1}}$
सम्मुख भुजा और कर्ण का भागफल दोनों त्रिभुजों में समान है, क्योंकि गुणक $k$ कट जाता है।
$\frac{b_2}{c_2} = \frac{\resaltar{k b_1}}{\resaltar{k c_1}} = \resaltar{\frac{b_1}{c_1}}$
संलग्न भुजा और कर्ण के भागफल के साथ भी यही होता है।
$\frac{a_2}{b_2} = \frac{\resaltar{k a_1}}{\resaltar{k b_1}} = \resaltar{\frac{a_1}{b_1}}$
और समकोण बनाने वाली दोनों भुजाओं के भागफल के साथ भी। अतः ज्या, कोज्या और स्पर्शज्या, और उनके साथ उनके व्युत्क्रम, दोनों त्रिभुजों में एक ही मान लेते हैं: वे केवल $\alpha$ पर निर्भर करते हैं।
$c^2 = a^2 + b^2 \rightarrow 0 < \frac{a}{c} < 1, \quad 0 < \frac{b}{c} < 1$
पाइथागोरस प्रमेय से कर्ण का वर्ग समकोण बनाने वाली भुजाओं के वर्गों का योग है, और उनमें से प्रत्येक से बड़ा है: कर्ण समकोण बनाने वाली प्रत्येक भुजा से बड़ा है, और कर्ण वाले दोनों भागफल $0$ और $1$ के बीच हैं।

यह प्रमेय किसी कोण के अनुपात उसे समाविष्ट करने वाले किसी भी समकोण त्रिभुज से ज्ञात करने, और सबसे सुविधाजनक त्रिभुज चुनने की अनुमति देता है। विशेष रूप से, एक न्यून कोण की सम्मुख भुजा दूसरे न्यून कोण की संलग्न भुजा है, और इससे यह निष्कर्ष निकलता है कि जिन दो कोणों का योग $\frac{\pi}{2}$ है, जिन्हें पूरक कहा जाता है, उनके अनुपातों के बीच एक संबंध है।

उदाहरणदोनों न्यून कोणों के अनुपात

समकोण बनाने वाली भुजाओं $3$ और $4$ वाले समकोण त्रिभुज में, मान लीजिए $\alpha$ भुजा $3$ के सम्मुख कोण है और $\beta$ भुजा $4$ के सम्मुख कोण है। उनके अनुपात ज्ञात कीजिए और उनकी तुलना कीजिए।

प्रमाण

$c = \sqrt{\resaltar{3^2 + 4^2}} = \sqrt{25} = \resaltar{5}$
पाइथागोरस प्रमेय से कर्ण की माप $5$ है।
$\dato{a}{\sin \alpha = \frac{3}{5}, \quad \cos \alpha = \frac{4}{5}, \quad \tan \alpha = \frac{3}{4}}$
$\alpha$ के लिए सम्मुख भुजा $3$ है और संलग्न भुजा $4$ है।
$\dato{b}{\sin \beta = \frac{4}{5}, \quad \cos \beta = \frac{3}{5}, \quad \tan \beta = \frac{4}{3}}$
$\beta$ के लिए समकोण बनाने वाली भुजाओं की भूमिकाएँ आपस में बदल जाती हैं: सम्मुख भुजा $4$ है और संलग्न भुजा $3$ है।
$\sin \beta = \cos \alpha, \quad \cos \beta = \sin \alpha, \quad \tan \beta = \frac{1}{\tan \alpha} = \cot \alpha$
चूँकि $\alpha + \beta = \frac{\pi}{2}$ , प्रत्येक कोण की ज्या दूसरे की कोज्या है, और प्रत्येक की स्पर्शज्या दूसरे की कोस्पर्शज्या है। प्रत्येक समकोण त्रिभुज में यही होता है, क्योंकि समकोण बनाने वाली भुजाओं का यह आदान-प्रदान उनकी मापों पर निर्भर नहीं करता।

नाम यहीं से आते हैं: कोज्या पूरक कोण की ज्या है, कोस्पर्शज्या पूरक कोण की स्पर्शज्या है और कोछेदक पूरक कोण का छेदक है।

इस पाठ के शेष भाग में

किसी भी कोण के अनुपात
प्रत्येक चतुर्थांश में चिह्न
पाइथागोरस सर्वसमिका
वृत्त और अतिपरवलय
विशिष्ट मान
सममितियाँ और आवर्तिता
संदर्भ कोण
एक अनुपात और चतुर्थांश शेष अनुपातों को निर्धारित करते हैं
हल किए गए प्रश्न
तीन कोण, तीन सममितियाँ
वे कोण जिनकी ज्या ऋण आधा है
फिसलती हुई सीढ़ी
एक दुर्गम मीनार की ऊँचाई
अंतर्लिखित सम बहुभुज का क्षेत्रफल
अभ्यास प्रश्न
चतुर्थ घातों का योग
एक व्यंजक जो चतुर्थांश पर निर्भर नहीं करता
मात्रक वृत्त को काटने वाली एक रेखा
परिगत सम बहुभुज
पाई बटा बारह के अनुपात

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