कलन I: अंतिम समीक्षा

पाठ्यक्रम ने क्या लक्ष्य रखा

तीन प्राचीन समस्याएँ कलन तक ले गईं: किसी गतिमान पिंड का किसी क्षण पर वेग, किसी वक्र की स्पर्श रेखा की ढलान और किसी वक्र-सीमित आकृति का क्षेत्रफल। पाठ्यक्रम ने पहली दो समस्याएँ लीं, जो अवकलज तक ले जाती हैं, और वह एक सामान्य लक्ष्य के साथ जन्मा: एक वास्तविक चर के फलनों के अवकल कलन को सीमा की परिभाषा और पूर्णता अभिगृहीत पर स्थापित करना, और उनसे, पूर्ण उपपत्तियों के साथ, वह सब निकालना जो अवकलज किसी फलन के परिवर्तन, आकार और चरम के बारे में जानने देता है। अध्ययन योजना वाले पाठ ने इस लक्ष्य को सात समग्र अधिगम उद्देश्यों में विस्तारित किया, जिन्हें उसी क्रमांकन के साथ सामने रखना उचित है जिससे चित्र उनका उल्लेख करता है:

1. स्पष्ट निगमनात्मक युक्ति द्वारा सिद्ध करना: परिभाषाओं को परिमाणकों वाले कथनों के रूप में लिखना और उनका निषेध करना, एप्सिलॉन और डेल्टा से युक्ति देना, अस्तित्व प्रमेयों को पूर्णता अभिगृहीत से निकालना, प्रत्युदाहरणों से दिखाना कि कोई परिकल्पना अनावश्यक नहीं है, और निकाले गए और स्वीकार किए गए के बीच अंतर करना।
2. परिमित, एकपक्षीय, अनंत पर और अनंत सीमाओं को परिभाषित करना और निकालना, अनिर्धार्य रूपों का निराकरण करना, लोपिताल नियम से भी, और उनसे किसी फलन के अनंतस्पर्शी और आलेख निर्धारित करना।
3. किसी फलन के सांतत्य का निर्णय करना, उसके असांतत्यों का वर्गीकरण करना और पूर्णता अभिगृहीत पर टिकी बोलत्सानो, मध्यवर्ती मान और वायरस्ट्रास की प्रमेयों को लागू करना।
4. अवकलज को परिभाषित करना, उसे रैखिक सन्निकटन और काराथेओडोरी गुणनखंडन से अभिलक्षित करना, उसके नियम सिद्ध करना और उनसे हर प्रकार के फलनों का अवकलन करना, प्रत्येक अवकलज का प्रांत स्पष्ट करते हुए।
5. फ़र्मा, रोल, लाग्रांज और कॉशी की प्रमेयों को सिद्ध करना और लागू करना, और उनसे किसी आलेख की एकदिष्टता, चरम, अवतलता, नति परिवर्तन और वक्रता का अध्ययन करना।
6. अवकल, द्विभाजन और न्यूटन-रैफ़सन विधि से मानों और मूलों का सन्निकटन करना, प्रत्येक सन्निकटन की त्रुटि को परिबद्ध करना, और पहचानना कि कोई विधि कब विफल होती है।
7. अवकलज से परिवर्तन की दरों, संबंधित दरों और इष्टतमीकरण समस्याओं को मॉडल करना, और निरूपणों, गणनाओं और उपपत्तियों को लिखकर संप्रेषित करना।

पाठ्यक्रम के हर पाठ ने, इसके अतिरिक्त, अपने विशिष्ट उद्देश्य घोषित किए। पाठ यह नहीं बताते कि हर विशिष्ट उद्देश्य किस समग्र उद्देश्य की सेवा करता है; यह संगति बाहर से किया गया एक पठन है, उसी विधि से जो साइट के अन्य पाठ्यक्रमों में अपनाई गई है। हर विशिष्ट उद्देश्य एक मुख्य समग्र उद्देश्य को सौंपा जाता है और, यदि वह दूसरे समग्र उद्देश्यों को छूता है, तो उन्हें गौण उद्देश्यों के रूप में; हर विशिष्ट उद्देश्य अपने मुख्य उद्देश्य में पूरा और हर गौण उद्देश्य में आधा गिना जाता है, और पाठ उस समग्र उद्देश्य से मुख्य के रूप में जुड़ता है जिसे सबसे अधिक भार मिलता है, और शेष उन उद्देश्यों से गौण के रूप में जिन्हें कुछ भार मिलता है। यदि दो उद्देश्यों का भार बराबर हो, तो छोटी संख्या वाला उद्देश्य निर्णायक होता है। परिचयों के वे उद्देश्य, जो केवल इकाई की यात्रा का वर्णन करते हैं, किसी उद्देश्य को नहीं सौंपे जाते। सारांश पाठ साइट के सभी गणित पाठ्यक्रमों में समान एक कसौटी का पालन करते हैं: उनका मुख्य उद्देश्य उद्देश्य 1 है, क्योंकि उनका केंद्रीय भाग इकाई की निगमनात्मक शृंखला का पुनर्निर्माण करता है। अंत में, इष्टतमीकरण की समस्याओं वाला पाठ उद्देश्य 7 को मुख्य उद्देश्य के रूप में रखता है, यद्यपि नियम एक संकरे अंतर से उद्देश्य 5 देता, क्योंकि उसकी घोषित विषय-वस्तु समस्या की स्थापना है: समस्या का गणित की भाषा में अनुवाद करना, प्रांत निर्धारित करना और यह औचित्य देना कि पाया गया चरम निरपेक्ष है। यदि ऐसा है, तो पूरा पाठ्यक्रम एक रीढ़ का रूप ले लेता है: सिर सामान्य लक्ष्य है; स्तंभ इकाइयों का क्रम है, हर इकाई अपने हिस्से के साथ; हर पाठ उस हिस्से की एक गाँठ है, जो अपने मुख्य उद्देश्य से जुड़ी है, और सातों उद्देश्य स्तंभ के चारों ओर तैरते हैं, उन पाठों के सहारे जो उन्हें पोषित करते हैं।