चर के अनंत की ओर अग्रसर होने पर सीमाएँ

अनंत के दो उपयोग

“अनंत” शब्द सीमाओं के अध्ययन में दो अलग-अलग अर्थों में आता है, जिन्हें आरंभ से ही अलग रखना उचित है। पहले अर्थ में चर असीम रूप से बढ़ता है, जबकि फलन के मान किसी संख्या के निकट पहुँचते हैं। दूसरे अर्थ में फलन असीम रूप से बढ़ता है, जबकि चर किसी संख्या के निकट पहुँचता है। इसलिए नीचे दिए गए तीन कथन अलग-अलग हैं।

• $\lim_{x \to \infty} f(x) = L$: चर असीम रूप से बढ़ता है और $f$ के मान संख्या $L$ के निकट पहुँचते हैं। उदाहरण के लिए, $\frac{1}{x}$, $0$ के निकट पहुँचता है जब $x$ बढ़ता है। यह इस पाठ का विषय है।
• $\lim_{x \to a} f(x) = \infty$: चर संख्या $a$ के निकट पहुँचता है और $f$ के मान असीम रूप से बढ़ते हैं। उदाहरण के लिए, $\frac{1}{x^2}$ असीम रूप से बढ़ता है जब $x$, $0$ के निकट पहुँचता है। यह अनंत सीमाओं वाले पाठ का विषय है।
• $\lim_{x \to \infty} f(x) = \infty$: दोनों असीम रूप से बढ़ते हैं, जैसे $x^2$। इसका अध्ययन भी अनंत सीमाओं वाले पाठ में किया जाता है।

प्रतीक $\infty$ वास्तविक संख्या नहीं है, और दोनों स्थितियाँ सममित नहीं हैं। पहली में सीमा विद्यमान है और एक संख्या है, $L$, जिस पर अद्वितीयता, सीमाओं का बीजगणित और सभी ज्ञात प्रमेयें लागू होती हैं। दूसरी में फलन की सीमा उस अर्थ में नहीं होती जो एक वास्तविक चर के फलनों की सीमा वाले पाठ में है: लेखन $= \infty$ किसी सीमा का नाम नहीं है, बल्कि सीमा न होने का एक सटीक तरीका है। इसलिए सीमाओं के बीजगणित के नियम, जो संख्याओं पर काम करते हैं, $\infty$ पर इस तरह लागू नहीं किए जा सकते मानो वह एक संख्या हो।

फिर भी, दोनों स्थितियाँ एक ही ढाँचे में समा जाती हैं। सीमा की प्रत्येक परिभाषा कहती है: मानों के बारे में प्रत्येक चुनौती के लिए चर के बारे में एक प्रत्युत्तर विद्यमान है। बदलता केवल यह है कि प्रत्येक वस्तु के निकट होने का क्या अर्थ है:

• चर संख्या $a$ के निकट है यदि $0 < \abs{x - a} < \delta$, और $\infty$ के निकट है यदि $x > M$;
• मान संख्या $L$ के निकट है यदि $\abs{f(x) - L} < \varepsilon$, और $\infty$ के निकट है यदि $f(x) > N$।

सीमा वाले पाठ की परिभाषा प्रत्येक पंक्ति के पहले रूप को जोड़ती है; यह पाठ पहली पंक्ति के दूसरे रूप को दूसरी पंक्ति के पहले रूप के साथ; अनंत सीमाओं वाला पाठ शेष रूपों को। इस पाठ का पहला साध्य दोनों उपयोगों को एक ही फलन से दिखाता है।