Συμπερασμός: εισαγωγή

Πριν ξεκινήσεις την ενότητα, μέτρησε το σημείο εκκίνησής σου. Είναι μια σύντομη αυτοαξιολόγηση: δεν βαθμολογείται και το αποτέλεσμα αποθηκεύεται μόνο στον περιηγητή σου.

1. Ερώτηση 1Από προηγούμενες ενότητεςΗ συμβολοσειρά $\sigI\sigI\sigO\sigI\sigO\sigO\sigI\sigO\sigI$ είναι σύνθετος τύπος, της μορφής $\sigI\varphi\psi$. Ποιες είναι οι συνιστώσες του $\varphi$ και $\psi$;

   $\varphi = \sigI\sigO\sigI\sigO\sigO\sigI$ και $\psi = \sigO\sigI$.

   $\varphi = \sigI\sigO\sigI$ και $\psi = \sigO\sigO\sigI\sigO\sigI$.

   Επιδέχεται δύο αναλύσεις, ανάλογα με το πού κόβεται η συμβολοσειρά μετά τον αρχικό δίσκο.

   Ο $\varphi$ είναι όλη η συμβολοσειρά που ακολουθεί τον αρχικό δίσκο, και ο $\psi$ είναι η κενή συμβολοσειρά.

2. Ερώτηση 2Από προηγούμενες ενότητεςΣε μια απόδειξη με ισχυρή επαγωγή ότι κάθε φυσικός $n$ έχει μια ιδιότητα $P(n)$, τι μπορεί να υποτεθεί όταν αποδεικνύεται η $P(n)$;

   Ότι η $P(m)$ ισχύει για κάθε φυσικό $m$ μικρότερο από τον $n$.

   Μόνο ότι ισχύει η $P(n - 1)$.

   Ότι η $P(m)$ ισχύει για κάθε φυσικό $m$ μικρότερο ή ίσο με τον $n$.

   Τίποτε, ώσπου να αποδειχθούν χωριστά η $P(1)$ και η $P(2)$.

3. Ερώτηση 3Από προηγούμενες ενότητεςΜε τις επίσημες συντομογραφίες του κύκλου μαθημάτων, ποιον τύπο δηλώνει ο $(\varphi \rightarrow \psi)$, γραμμένος με την κοινή άρνηση και την άρνηση;

   Τον $\neg(\neg\varphi \downarrow \psi)$.

   Τον $(\neg\varphi \downarrow \psi)$.

   Τον $\neg(\varphi \downarrow \neg\psi)$.

   Κανέναν συγκεκριμένο: εξαρτάται από το πώς αποφασίζουμε να τον διαβάσουμε.

4. Ερώτηση 4Το σχήμα A1 είναι ο $(\varphi \rightarrow (\psi \rightarrow \varphi))$. Είναι ο τύπος $(v_{1} \rightarrow (v_{2} \rightarrow v_{3}))$ στιγμιότυπο του A1;

   Όχι: η πρώτη και η τελευταία εμφάνιση του $\varphi$ θα έπρεπε να υποκατασταθούν με τον ίδιο τύπο, και εδώ είναι οι $v_{1}$ και $v_{3}$.

   Ναι, με $\varphi := v_{1}$ και $\psi := v_{2}$.

   Ναι, γιατί κάθε συνεπαγωγή που το επόμενό της είναι άλλη συνεπαγωγή είναι στιγμιότυπο του A1.

   Όχι, γιατί τα στιγμιότυπα ενός σχήματος δεν μπορούν να περιέχουν μεταβλητές.

5. Ερώτηση 5Σε μια παραγωγή υπάρχουν ήδη οι γραμμές $\psi$ και $(\varphi \rightarrow \psi)$, όπου οι $\varphi$ και $\psi$ είναι διαφορετικοί τύποι. Ποιον τύπο επιτρέπει να γραφτεί ο modus ponens εφαρμοσμένος σε αυτές τις δύο γραμμές;

   Κανέναν: ο modus ponens απαιτεί το ηγούμενο $\varphi$, και αυτό που έχουμε είναι το επόμενο.

   Τον $\varphi$.

   Τον $(\psi \rightarrow \varphi)$.

   Τον $\neg\varphi$.

6. Ερώτηση 6Ξέρουμε ότι $\{\varphi\} \vdash \psi$, δηλαδή ότι υπάρχει μια παραγωγή του $\psi$ με μοναδική υπόθεση τον $\varphi$. Τι βεβαιώνει τότε το θεώρημα της απαγωγής;

   Ότι $\vdash (\varphi \rightarrow \psi)$: η συνεπαγωγή είναι θεώρημα.

   Ότι $\vdash \psi$: η υπόθεση μπορεί απλώς να διαγραφεί.

   Ότι $\vdash (\psi \rightarrow \varphi)$.

   Ότι $\{\psi\} \vdash \varphi$.

7. Ερώτηση 7Τι παράγεται, χωρίς άλλες υποθέσεις, από το σύνολο $\{(\varphi \rightarrow \psi), (\psi \rightarrow \chi)\}$;

   Ο $(\varphi \rightarrow \chi)$.

   Ο $\chi$, αν εφαρμόσουμε δύο φορές τον modus ponens.

   Ο $(\chi \rightarrow \varphi)$.

   Ο $(\varphi \wedge \chi)$.

8. Ερώτηση 8Ο κανόνας της αντικατάστασης της διπλής άρνησης (ΑΔΑ) αλλάζει, σε μια γραμμή, μία μόνο εμφάνιση ενός υποτύπου, και δρα πάνω στη συμβολοσειρά της βασικής γλώσσας. Πόσες εμφανίσεις του υποτύπου $\neg v_{1}$ περιέχει η συμβολοσειρά που δηλώνει ο $(v_{1} \rightarrow v_{2})$;

   Δύο.

   Μία, εκείνη που αντιστοιχεί στο ηγούμενο.

   Καμία: ο τύπος δεν περιέχει αρνήσεις.

   Τέσσερις.

9. Ερώτηση 9Ποιος τύπος προκύπτει από τον $(\neg\varphi \rightarrow \psi)$ με αντιθετοαντιστροφή, χωρίς να προσθέσουμε διπλές αρνήσεις;

   Ο $(\neg\psi \rightarrow \varphi)$.

   Ο $(\psi \rightarrow \neg\varphi)$.

   Ο $(\varphi \rightarrow \neg\psi)$.

   Ο $(\neg\psi \rightarrow \neg\varphi)$.

10. Ερώτηση 10Δηλώνουν οι $(\varphi \vee \psi)$ και $(\neg\varphi \rightarrow \psi)$ τον ίδιο τύπο;

    Όχι: ο πρώτος είναι ο $\neg(\varphi \downarrow \psi)$ και ο δεύτερος ο $\neg(\neg\neg\varphi \downarrow \psi)$· είναι διαφορετικοί τύποι, αποδείξιμα ισοδύναμοι.

    Ναι, από τον ορισμό της συνεπαγωγής.

    Ναι, γιατί και οι δύο διαβάζονται «$\varphi$ ή $\psi$».

    Όχι, και ούτε παράγεται ο ένας από τον άλλο.

11. Ερώτηση 11Ξέρουμε ότι $\varphi \dashv\vdash \varphi'$, δηλαδή ότι καθένας παράγεται από τον άλλο. Τι δικαιολογεί ότι επίσης $\neg\varphi \dashv\vdash \neg\varphi'$;

    Ένα θεώρημα, η αντικατάσταση ισοδυνάμων, που αποδεικνύεται με το θεώρημα της απαγωγής και την αντιθετοαντιστροφή.

    Καμία ειδική αιτιολόγηση: αρκεί να «αρνηθούμε και τις δύο πλευρές» της ισοδυναμίας.

    Ο ορισμός της άρνησης, γιατί ο $\neg\varphi$ είναι ο $(\varphi \downarrow \varphi)$.

    Τίποτε, γιατί δεν είναι αληθές: η άρνηση μπορεί να χωρίσει ισοδύναμους τύπους.

12. Ερώτηση 12Από το σύνολο υποθέσεων $\Gamma \cup \{\neg\varphi\}$ παράγονται ένας τύπος $\chi$ και η άρνησή του $\neg\chi$. Τι μπορεί να συμπεράνει κανείς;

    Ότι $\Gamma \vdash \varphi$.

    Ότι $\Gamma \vdash \neg\varphi$.

    Ότι από το $\Gamma$ παράγεται οποιοσδήποτε τύπος.

    Τίποτε: μια παραγωγή που καταλήγει σε αντίφαση δεν αποδεικνύει τίποτε.

13. Ερώτηση 13Με ποιον τύπο είναι ισοδύναμη η άρνηση μιας συνεπαγωγής, $\neg(\varphi \rightarrow \psi)$;

    Με τον $(\varphi \wedge \neg\psi)$.

    Με τον $(\neg\varphi \rightarrow \neg\psi)$.

    Με τον $(\varphi \rightarrow \neg\psi)$.

    Με τον $(\neg\varphi \wedge \psi)$.