Μετάβαση στο περιεχόμενο
Topos Uranos
Ελληνικά

Ρυθμοί μεταβολής και συσχετισμένοι ρυθμοί

Περίληψη

Αυτό το μάθημα διαβάζει την παράγωγο ως αυτό που μετρά στις εφαρμογές: τον ρυθμό με τον οποίο μεταβάλλεται ένα μέγεθος όταν μεταβάλλεται ένα άλλο. Διακρίνει τον μέσο, τον στιγμιαίο και τον σχετικό ρυθμό μεταβολής, με τις μονάδες τους, και χαρακτηρίζει την αύξηση με σταθερό σχετικό ρυθμό. Μελετά την κίνηση πάνω σε μια ευθεία, με τη θέση, την ταχύτητα, το μέτρο της ταχύτητας και την επιτάχυνση, και αποδεικνύει τι λέει το πρόσημο της παραγώγου σε μια χρονική στιγμή, και τι δεν λέει. Τέλος, όταν πολλά μεγέθη που εξαρτώνται από τον χρόνο συνδέονται με μια σχέση, ο κανόνας της αλυσίδας συνδέει και τους ρυθμούς μεταβολής τους: αυτοί είναι οι συσχετισμένοι ρυθμοί μεταβολής, που υπολογίζονται με μια ρητή μέθοδο.

Μαθησιακοί στόχοι

  1. Να ερμηνεύεται η παράγωγος ως στιγμιαίος ρυθμός μεταβολής, με τις μονάδες της, και να διακρίνεται από τον μέσο και από τον σχετικό ρυθμό μεταβολής.
  2. Να περιγράφεται μια ευθύγραμμη κίνηση με τη θέση, την ταχύτητα, το μέτρο της ταχύτητας και την επιτάχυνση, και να αποδεικνύεται τι λέει το πρόσημο της παραγώγου σε μια χρονική στιγμή για τις γειτονικές τιμές.
  3. Να επιλύονται προβλήματα συσχετισμένων ρυθμών μεταβολής με μια ρητή μέθοδο, με αιτιολόγηση ότι τα μεγέθη που παραγωγίζονται είναι παραγωγίσιμα.
  4. Να συνδέονται οι σχετικοί ρυθμοί μεταβολής γινομένων και δυνάμεων με τη λογαριθμική παράγωγο, και οι επιταχύνσεις με τη δεύτερη παράγωγο μιας σχέσης.

Η παράγωγος ως ρυθμός μεταβολής

Το μάθημα για την παράγωγο ως όριο έφτασε στον ίδιο ορισμό από δύο ερωτήματα: την κλίση της εφαπτομένης και τη στιγμιαία ταχύτητα. Και τα δύο είναι περιπτώσεις ενός γενικότερου ερωτήματος. Όποτε ένα μέγεθος εξαρτάται από ένα άλλο, το εμβαδόν ενός κύκλου από την ακτίνα του, η θέση ενός κινητού από τον χρόνο ή η μάζα ενός κομματιού ράβδου από το μήκος του, χρειάζεται να ξέρουμε με ποιον ρυθμό μεταβάλλεται το πρώτο όταν μεταβάλλεται το δεύτερο.

ΟρισμόςΡυθμός μεταβολής

Έστω ff μια συνάρτηση ορισμένη σε ένα ανοιχτό διάστημα II, που εκφράζει ένα μέγεθος y=f(x)y = f(x) ως συνάρτηση ενός άλλου μεγέθους xx, και έστω aa και a+ha + h σημεία του II, με h≠0h \neq 0. Ο μέσος ρυθμός μεταβολής του yy ως προς το xx μεταξύ του aa και του a+ha + h είναι το πηλίκο

ΔyΔx=f(a+h)−f(a)h\frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{f(a + h) - f(a)}{h}

Αν η ff είναι παραγωγίσιμη στο aa, ο στιγμιαίος ρυθμός μεταβολής (ή απλώς ρυθμός μεταβολής) του yy ως προς το xx στο aa είναι το f′(a)f'(a)· αν επιπλέον f(a)≠0f(a) \neq 0, ο σχετικός ρυθμός μεταβολής στο aa είναι το πηλίκο f′(a)f(a)\frac{f'(a)}{f(a)}.

Ο μέσος ρυθμός είναι η κλίση μιας τέμνουσας, και ο στιγμιαίος, το όριό της: η κλίση της εφαπτομένης. Και οι δύο μετρώνται σε μονάδες του yy ανά μονάδα του xx: μέτρα ανά δευτερόλεπτο, αν το yy είναι μήκος και το xx χρόνος· χιλιόγραμμα ανά μέτρο, αν το yy είναι η μάζα ενός κομματιού ράβδου και το xx το μήκος του. Σε αυτή την τελευταία περίπτωση, αν M(x)M(x) είναι η μάζα του κομματιού που βρίσκεται ανάμεσα σε ένα άκρο και στο σημείο σε απόσταση xx, ο ρυθμός μεταβολής M′(x)M'(x) είναι η γραμμική πυκνότητα της ράβδου σε εκείνο το σημείο: η μάζα ανά μονάδα μήκους που θα είχε ένα πολύ μικρό κομμάτι γύρω από αυτό. Ο σχετικός ρυθμός, αντίθετα, μετριέται μόνο σε αντίστροφες μονάδες του xx (ανά δευτερόλεπτο, ανά ημέρα): δεν εξαρτάται από τη μονάδα στην οποία μετριέται το yy, και γι' αυτό επιτρέπει να συγκρίνουμε τη μεταβολή μεγεθών διαφορετικής φύσης ή διαφορετικής κλίμακας. Είναι η λογαριθμική παράγωγος του μαθήματος για τη μεταβλητή στον εκθέτη, και εκφράζεται συχνά ως ποσοστό: ένας σχετικός ρυθμός 0,030{,}03 ανά ημέρα είναι 3 τοις εκατό ανά ημέρα.

Ένα γεωμετρικό παράδειγμα δείχνει πώς διαβάζεται ένας ρυθμός μεταβολής. Το εμβαδόν του κύκλου ακτίνας rr είναι A=πr2A = \pi r^2, και ο ρυθμός μεταβολής του ως προς την ακτίνα είναι dAdr=2πr\frac{\mathrm{d}A}{\mathrm{d}r} = 2\pi r, η περίμετρος, όπως ζητά να επαληθευτεί το προτεινόμενο πρόβλημα 1 του μαθήματος για την παράγωγο ως όριο. Η αιτία είναι σαφής: όταν η ακτίνα αυξάνεται κατά hh, το εμβαδόν αυξάνεται κατά έναν κυκλικό δακτύλιο πλάτους hh, του οποίου το εμβαδόν είναι σχεδόν η περίμετρος επί hh.

ΠρότασηΑύξηση με σταθερό σχετικό ρυθμό

Έστω y0>0y_0 > 0 και k≠0k \neq 0 πραγματικοί αριθμοί, και έστω y(t)=y0ekty(t) = y_0 e^{kt} για κάθε πραγματικό tt. Τότε ο σχετικός ρυθμός μεταβολής της yy ισούται με kk σε κάθε χρονική στιγμή, και για κάθε tt και κάθε TT:

y(t+T)=ekT y(t)y(t + T) = e^{kT} \, y(t)

Ειδικότερα, αν k>0k > 0, το μέγεθος διπλασιάζεται σε κάθε χρονικό διάστημα διάρκειας ln⁡2k\frac{\ln 2}{k}, οποιαδήποτε κι αν είναι η στιγμή στην οποία αρχίζει· και αν k<0k < 0, υποδιπλασιάζεται σε κάθε διάστημα διάρκειας ln⁡2∣k∣\frac{\ln 2}{\abs{k}}.

Απόδειξη

  1. y′(t)=y0ekt⋅k=k y(t),y′(t)y(t)=ky'(t) = y_0 e^{kt} \cdot k = k \, y(t), \qquad \frac{y'(t)}{y(t)} = \resaltar{k}

    Από το πόρισμα των συνθέσεων με την εκθετική και τον λογάριθμο, του μαθήματος για τη μεταβλητή στον εκθέτη, με u(t)=ktu(t) = kt, η συνάρτηση yy είναι παραγωγίσιμη σε όλο το R\mathbb{R} και η παράγωγός της είναι kk φορές η ίδια η συνάρτηση, η οποία δεν μηδενίζεται.

  2. y(t+T)y(t)=y0ektekTy0ekt=ekT\frac{y(t + T)}{y(t)} = \frac{y_0 e^{kt} e^{kT}}{y_0 e^{kt}} = \resaltar{e^{kT}}

    Από την ιδιότητα των εκθετών, το πηλίκο των τιμών που απέχουν κατά ένα διάστημα διάρκειας TT δεν εξαρτάται από το tt.

  3. ekT=2⇔T=ln⁡2k,ekT=12⇔T=ln⁡2−ke^{kT} = 2 \Leftrightarrow T = \frac{\ln 2}{k}, \qquad e^{kT} = \frac{1}{2} \Leftrightarrow T = \resaltar{\frac{\ln 2}{-k}}

    Επειδή η εκθετική είναι ένα προς ένα, το πηλίκο ισούται με 22 αν και μόνο αν kT=ln⁡2kT = \ln 2, και ισούται με 12\frac{1}{2} αν και μόνο αν kT=−ln⁡2kT = -\ln 2.

Ένας πληθυσμός βακτηρίων σε μέσο χωρίς περιορισμούς ή μια μάζα ραδιενεργού υλικού μεταβάλλονται, με καλή προσέγγιση, με σταθερό σχετικό ρυθμό, και η πρόταση εξηγεί γιατί έχουν σταθερό χρόνο διπλασιασμού ή σταθερό χρόνο ημιζωής. Ότι οι συναρτήσεις y0ekty_0 e^{kt} είναι οι μόνες με σταθερό σχετικό ρυθμό kk είναι αληθές, αλλά η απόδειξή του απαιτεί να γνωρίζουμε ότι μια συνάρτηση με μηδενική παράγωγο σε ένα διάστημα είναι σταθερή, συνέπεια του θεωρήματος μέσης τιμής της ενότητας που ακολουθεί.