Μετάβαση στο περιεχόμενο
Topos Uranos
Ελληνικά

Προβλήματα βελτιστοποίησης

Περίληψη

Αυτό το μάθημα λύνει προβλήματα στα οποία πρέπει να βρεθεί η καλύτερη από πολλές δυνατές διαμορφώσεις: το ορθογώνιο μέγιστου εμβαδού, ο κύλινδρος ελάχιστης επιφάνειας, ο συντομότερος ή ο γρηγορότερος δρόμος. Τα μαθήματα που προηγήθηκαν έδωσαν τα εργαλεία για την εύρεση των ολικών ακροτάτων μιας δοσμένης συνάρτησης· εδώ η συνάρτηση δεν είναι δοσμένη, και το μεγαλύτερο μέρος της δουλειάς, και των λαθών, βρίσκεται στην κατασκευή της. Το μάθημα καθορίζει μια μέθοδο σε πέντε στάδια (η μεταβλητή, η συνάρτηση, το πεδίο ορισμού, τα ολικά ακρότατα με την αιτιολόγησή τους και το συμπέρασμα) και αποδεικνύει ότι μια συνάρτηση και η σύνθεσή της με μια γνησίως αύξουσα συνάρτηση παρουσιάζουν τα ακρότατά τους στα ίδια σημεία, πράγμα που επιτρέπει, λόγου χάρη, να ελαχιστοποιηθεί το τετράγωνο μιας απόστασης αντί για την ίδια την απόσταση. Αποδεικνύει έπειτα ότι κάθε σημείο έχει ένα πλησιέστερο σημείο στη γραφική παράσταση μιας συνάρτησης συνεχούς σε κλειστό διάστημα και ότι, αν αυτό δεν βρίσκεται στο σύνορο, το δοσμένο σημείο βρίσκεται στην κάθετη ευθεία· και συνάγει από την αρχή του ελάχιστου χρόνου τους νόμους της διάθλασης, τον νόμο του Σνελ, και της ανάκλασης, τον νόμο του Ήρωνα. Τα προβλήματα βρίσκουν το κουτί μέγιστου όγκου, τον κύλινδρο ελάχιστης επιφάνειας, τη μακρύτερη ράβδο που περνά από μια γωνία, τη θέση από την οποία ένας πίνακας φαίνεται υπό τη μεγαλύτερη γωνία και τον γρηγορότερο τρόπο να διασχίσει κανείς ένα κανάλι.

Μαθησιακοί στόχοι

  1. Να μεταφράζεται ένα γεωμετρικό ή φυσικό πρόβλημα στην αναζήτηση του ολικού ακροτάτου μιας συνάρτησης μίας μεταβλητής, σε ένα πεδίο ορισμού καθορισμένο με ακρίβεια.
  2. Να αιτιολογείται ότι το ακρότατο που βρέθηκε είναι ολικό: με το θεώρημα του Βάιερστρας, αν το πεδίο ορισμού είναι κλειστό και φραγμένο διάστημα, και αν δεν είναι, με το πρόσημο της παραγώγου, την κυρτότητα ή τα όρια στα άκρα του πεδίου ορισμού.
  3. Να βρίσκεται το σημείο μιας γραφικής παράστασης που είναι πλησιέστερο σε ένα δοσμένο σημείο και να αναγνωρίζεται ότι η ευθεία που τα ενώνει είναι κάθετη στη γραφική παράσταση.
  4. Να συνάγονται από την αρχή του ελάχιστου χρόνου οι νόμοι της ανάκλασης και της διάθλασης, και να αναγνωρίζεται πότε το βέλτιστο βρίσκεται στο σύνορο του πεδίου ορισμού.

Η μέθοδος

Τα μαθήματα για το θεώρημα του Βάιερστρας και για τα μέγιστα και ελάχιστα δίδαξαν πώς βρίσκονται τα ολικά ακρότατα μιας δοσμένης συνάρτησης σε ένα δοσμένο διάστημα. Σε ένα πρόβλημα βελτιστοποίησης, αντίθετα, ζητείται η βέλτιστη διαμόρφωση ενός σχήματος ή μιας κίνησης, και η συνάρτηση που πρέπει να μελετηθεί, μαζί με το πεδίο ορισμού της, πρέπει να κατασκευαστεί από την εκφώνηση. Η μέθοδος έχει πέντε στάδια.

  1. Η μεταβλητή. Επιλέγουμε ένα μέγεθος που καθορίζει τη διαμόρφωση (ένα μήκος, μια γωνία, μια θέση) και εκφράζουμε με αυτό, μέσω των συνθηκών του προβλήματος, όλα τα υπόλοιπα.
  2. Η συνάρτηση. Γράφουμε το μέγεθος που θέλουμε να γίνει μέγιστο ή ελάχιστο ως συνάρτηση αυτής της μίας μεταβλητής.
  3. Το πεδίο ορισμού. Καθορίζουμε το σύνολο των τιμών που μπορεί να πάρει η μεταβλητή στο πρόβλημα, το οποίο συνήθως είναι διάστημα. Αν η συνάρτηση επεκτείνεται με συνέχεια σε εκφυλισμένες διαμορφώσεις, όπως ένα ορθογώνιο μηδενικού ύψους ή ένα κουτί χωρίς όγκο, συμφέρει να τις δεχτούμε για να πάρουμε κλειστό διάστημα, εφόσον το ζητούμενο ακρότατο δεν επιτυγχάνεται σε αυτές.
  4. Τα ολικά ακρότατα. Τα βρίσκουμε στο πεδίο ορισμού και αιτιολογούμε ότι είναι ολικά. Αν το πεδίο ορισμού είναι κλειστό και φραγμένο διάστημα, το θεώρημα του Βάιερστρας εξασφαλίζει ότι υπάρχουν, και η πρόταση των ολικών ακροτάτων σε κλειστό και φραγμένο διάστημα, από το μάθημα για τα μέγιστα και ελάχιστα, τα βρίσκει συγκρίνοντας τιμές. Αν δεν είναι, χρησιμοποιείται το πρόσημο της παραγώγου (το κριτήριο της πρώτης παραγώγου για ολικά ακρότατα ή το πόρισμα του μοναδικού κρίσιμου σημείου, από το ίδιο μάθημα), η κυρτότητα (το πόρισμα των κρίσιμων σημείων κυρτής συνάρτησης, από το μάθημα για την κοιλότητα και την κυρτότητα) ή τα όρια στα άκρα του πεδίου ορισμού (η πρόταση των ολικών ακροτάτων σε ανοικτό διάστημα).
  5. Το συμπέρασμα. Επιστρέφουμε στο πρόβλημα: δίνουμε τη βέλτιστη διαμόρφωση, όχι μόνο τη βέλτιστη τιμή, και ελέγχουμε ότι έχει νόημα, στις μονάδες μέτρησης και στις ειδικές περιπτώσεις.

Το τέταρτο στάδιο είναι αυτό που παραλείπεται συχνότερα: δεν αρκεί να βρεθεί ένα σημείο όπου μηδενίζεται η παράγωγος. Αυτό το σημείο μπορεί να είναι ελάχιστο όταν ζητείται μέγιστο, ακρότατο μόνο τοπικό ή σημείο έξω από το πεδίο ορισμού· και το ολικό ακρότατο μπορεί να βρίσκεται σε άκρο του διαστήματος, όπου η παράγωγος δεν είναι υποχρεωμένη να μηδενίζεται. Το μάθημα για τα μέγιστα και ελάχιστα έδειξε, με την 1x+x2\frac{1}{x} + x^2, ότι ένα μοναδικό κρίσιμο σημείο δεν εξασφαλίζει τίποτα αν το πεδίο ορισμού δεν είναι διάστημα. Συχνά συμφέρει, επιπλέον, να αντικατασταθεί η συνάρτηση από μια απλούστερη που παρουσιάζει τα ακρότατά της στα ίδια σημεία.

ΛήμμαΑκρότατα και γνησίως μονότονες συναρτήσεις

Έστω ff μια συνάρτηση ορισμένη σε ένα σύνολο AA, cc ένα σημείο του AA και φ\varphi μια συνάρτηση γνησίως αύξουσα σε ένα σύνολο που περιέχει τις τιμές της ff. Τότε η ff παρουσιάζει στο cc το ολικό της μέγιστο στο AA αν και μόνο αν το παρουσιάζει η φ∘f\varphi \circ f, και το ίδιο ισχύει για το ολικό ελάχιστο, για τα τοπικά ακρότατα και για τα γνήσια ακρότατα. Αν η φ\varphi είναι γνησίως φθίνουσα, η ff παρουσιάζει στο cc μέγιστο αν και μόνο αν η φ∘f\varphi \circ f παρουσιάζει στο cc ελάχιστο του ίδιου είδους, και αντιστρόφως. Μια γνησίως αύξουσα συνάρτηση δεν αλλάζει τη διάταξη των τιμών, και τα ακρότατα εξαρτώνται μόνο από αυτή τη διάταξη.

Απόδειξη

  1. u≤w⇔φ(u)≤φ(w),u<w⇔φ(u)<φ(w)u \leq w \Leftrightarrow \varphi(u) \leq \varphi(w), \qquad u < w \Leftrightarrow \dato{orden}{\varphi(u) < \varphi(w)}

    Έστω uu και ww στο πεδίο ορισμού της φ\varphi. Αν u<wu < w, η γνήσια μονοτονία δίνει φ(u)<φ(w)\varphi(u) < \varphi(w)· αν u=wu = w, οι τιμές συμπίπτουν· και αν u>wu > w, δίνει φ(u)>φ(w)\varphi(u) > \varphi(w). Επομένως, οι ανισότητες ανάμεσα στους αριθμούς και ανάμεσα στις εικόνες τους είναι ισοδύναμες.

  2. f(x)≤f(c)⇔φ(f(x))≤φ(f(c))f(x) \leq f(c) \Leftrightarrow \resaltar{\varphi\left(f(x)\right) \leq \varphi\left(f(c)\right)}

    Με u=f(x)u = f(x) και w=f(c)w = f(c), για κάθε xx του AA, ή για κάθε xx του AA που απέχει από το cc λιγότερο από κάποιο δ\delta, οι ανισότητες που ορίζουν το ολικό μέγιστο, το τοπικό και τα γνήσια, σύμφωνα με το μάθημα για τα μέγιστα και ελάχιστα και τον ορισμό του τοπικού ακροτάτου από το μάθημα για τα θεωρήματα των Φερμά, Ρολ, Λαγκράνζ και Κωσί, ισχύουν για την ff αν και μόνο αν ισχύουν για την φ∘f\varphi \circ f. Για το ελάχιστο ισχύει το ίδιο, και αν η φ\varphi είναι γνησίως φθίνουσα, οι ανισότητες ανάμεσα στις εικόνες αντιστρέφονται.

Οι περιπτώσεις που χρησιμοποιούνται συχνότερα είναι τέσσερις. Η τετραγωνική ρίζα είναι γνησίως αύξουσα στο [0,∞)\ico{0}{\infty}: μια απόσταση και το τετράγωνό της ελαχιστοποιούνται στα ίδια σημεία, και το τετράγωνο γράφεται χωρίς ριζικά. Το τετράγωνο είναι γνησίως αύξουσα συνάρτηση στο [0,∞)\ico{0}{\infty}: μια μη αρνητική ποσότητα και το τετράγωνό της μεγιστοποιούνται στα ίδια σημεία. Ο λογάριθμος είναι γνησίως αύξουσα συνάρτηση στο (0,∞)\ioo{0}{\infty}: ένα γινόμενο θετικών δυνάμεων και ο λογάριθμός του, που είναι άθροισμα, επίσης. Και μια θετική συνάρτηση παρουσιάζει το μέγιστό της εκεί όπου η αντίστροφη ποσότητά της παρουσιάζει το ελάχιστό της, επειδή η 1u\frac{1}{u} είναι γνησίως φθίνουσα στο (0,∞)\ioo{0}{\infty}.

ΠαράδειγμαΤο ορθογώνιο εγγεγραμμένο σε ημικύκλιο

Ανάμεσα στα ορθογώνια που είναι εγγεγραμμένα σε ημικύκλιο ακτίνας RR, με μία πλευρά πάνω στη διάμετρο, να βρεθεί εκείνο που έχει το μέγιστο εμβαδόν. Τα στάδια της επίλυσης είναι αυτά της μεθόδου.

Απόδειξη

  1. A(x)=2xR2−x2A(x) = 2x\sqrt{R^2 - x^2}

    Η μεταβλητή και η συνάρτηση. Τοποθετούμε το κέντρο στην αρχή των αξόνων και τη διάμετρο στον οριζόντιο άξονα. Το ορθογώνιο καθορίζεται από το μισό xx της βάσης του: οι πάνω κορυφές του βρίσκονται στο ημικύκλιο, στα (±x,R2−x2)\left(\pm x, \sqrt{R^2 - x^2}\right), και το εμβαδόν του είναι η ακόλουθη συνάρτηση.

  2. F(x)=(A(x))2=4x2(R2−x2),x∈[0,R]F(x) = \left(A(x)\right)^2 = \resaltar{4x^2\left(R^2 - x^2\right)}, \qquad x \in \icc{0}{R}

    Το πεδίο ορισμού. Στα γνήσια ορθογώνια αντιστοιχούν τα xx του (0,R)\ioo{0}{R}· δεχόμαστε επίσης το 00 και το RR, που δίνουν εκφυλισμένα ορθογώνια, μηδενικού εμβαδού, και παίρνουμε ένα κλειστό και φραγμένο διάστημα στο οποίο η AA είναι συνεχής: από το θεώρημα του Βάιερστρας, το μέγιστο υπάρχει. Αφού η AA δεν είναι αρνητική, από το λήμμα αρκεί να μεγιστοποιηθεί το τετράγωνό της, που είναι πολυώνυμο και, σε αντίθεση με την AA, είναι παραγωγίσιμο και στο RR.

  3. F′(x)=8x(R2−2x2)=0, 0<x<R→x=R2F'(x) = 8x\left(R^2 - 2x^2\right) = 0, \ 0 < x < R \rightarrow \resaltar{x = \frac{R}{\sqrt{2}}}

    Οι υποψήφιοι. Η παράγωγος της FF μηδενίζεται σε ένα μόνο σημείο του (0,R)\ioo{0}{R}.

  4. F(0)=F(R)=0<F(R2)=R4,A(R2)=R2F(0) = F(R) = 0 < F\left(\frac{R}{\sqrt{2}}\right) = R^4, \qquad \resaltar{A\left(\frac{R}{\sqrt{2}}\right) = R^2}

    Η σύγκριση και το συμπέρασμα. Από την πρόταση των ολικών ακροτάτων σε κλειστό και φραγμένο διάστημα, το μέγιστο της FF είναι η μεγαλύτερη από τις τιμές της στο 00, στο RR και στο κρίσιμο σημείο. Το βέλτιστο ορθογώνιο έχει βάση 2R\sqrt{2}R και ύψος R2\frac{R}{\sqrt{2}}, το μισό της βάσης, και εμβαδόν R2R^2.

Αν το βέλτιστο ορθογώνιο ανακλαστεί ως προς τη διάμετρο, προκύπτει ένα τετράγωνο πλευράς 2R\sqrt{2}R εγγεγραμμένο στον πλήρη κύκλο, εμβαδού 2R22R^2, το οποίο είναι, με τον ίδιο υπολογισμό, το ορθογώνιο μέγιστου εμβαδού που είναι εγγεγραμμένο σε αυτόν. Τα εκφυλισμένα ορθογώνια δεν άλλαξαν το αποτέλεσμα: το μέγιστο επιτυγχάνεται σε ένα γνήσιο ορθογώνιο.