Μετάβαση στο περιεχόμενο
Topos Uranos
Ελληνικά

Όρια όταν η μεταβλητή τείνει στο άπειρο

Περίληψη

Το μάθημα αυτό μελετά τη συμπεριφορά μιας συνάρτησης όταν η μεταβλητή αυξάνεται απεριόριστα, και τη διακρίνει προσεκτικά από μια άλλη κατάσταση που γράφεται με το ίδιο σύμβολο: εκείνη μιας συνάρτησης της οποίας οι τιμές αυξάνονται απεριόριστα. Ορίζεται με έψιλον και ένα φράγμα MM το όριο όταν η μεταβλητή τείνει στο άπειρο, και αποδεικνύεται μία μόνο φορά ότι ισοδυναμεί με ένα πλευρικό όριο στο 00 μέσω της αλλαγής μεταβλητής t=1xt = \frac{1}{x}. Από αυτό έπεται ότι όλα τα θεωρήματα των προηγούμενων μαθημάτων ισχύουν και στο άπειρο, χωρίς νέα απόδειξη. Με αυτά υπολογίζονται τα όρια των δυνάμεων και των ρητών συναρτήσεων, πράγμα που αποδεικνύει τις οριζόντιες και πλάγιες ασύμπτωτες που η Άλγεβρα και γεωμετρία είχε δεχτεί· εφαρμόζονται το θεώρημα της παρεμβολής και το θεώρημα των μονότονων συναρτήσεων· και αναγνωρίζεται πότε το όριο δεν υπάρχει.

Μαθησιακοί στόχοι

  1. Να διακρίνει το όριο όταν η μεταβλητή τείνει στο άπειρο από το άπειρο όριο, και να γράφει και τα δύο με το κοινό πρότυπο της πρόκλησης και της απόκρισης.
  2. Να ορίζει με έψιλον και ένα φράγμα MM το όριο όταν η μεταβλητή τείνει στο άπειρο, και να αποδεικνύει την ισοδυναμία του με ένα πλευρικό όριο στο 00.
  3. Να αποδεικνύει τα όρια των δυνάμεων και των ρητών συναρτήσεων όταν η μεταβλητή τείνει στο άπειρο, και να συνάγει από αυτά τις οριζόντιες και πλάγιες ασύμπτωτες.
  4. Να υπολογίζει όρια στο άπειρο με το θεώρημα της παρεμβολής, τις μονότονες συναρτήσεις και τις αλλαγές μεταβλητής, και να αποδεικνύει πότε δεν υπάρχουν.

Δύο χρήσεις του απείρου

Η λέξη «άπειρο» εμφανίζεται στη μελέτη των ορίων με δύο διαφορετικές σημασίες, που καλό είναι να διαχωριστούν από την αρχή. Στην πρώτη, η μεταβλητή είναι εκείνη που αυξάνεται απεριόριστα, ενώ οι τιμές της συνάρτησης πλησιάζουν έναν αριθμό. Στη δεύτερη, η συνάρτηση είναι εκείνη που αυξάνεται απεριόριστα, ενώ η μεταβλητή πλησιάζει έναν αριθμό. Οι τρεις ισχυρισμοί που ακολουθούν είναι, συνεπώς, διαφορετικοί.

  • lim⁡x→∞f(x)=L\lim_{x \to \infty} f(x) = L: η μεταβλητή αυξάνεται απεριόριστα και οι τιμές της ff πλησιάζουν τον αριθμό LL. Για παράδειγμα, η 1x\frac{1}{x} πλησιάζει το 00 όταν το xx αυξάνεται. Είναι το αντικείμενο αυτού του μαθήματος.
  • lim⁡x→af(x)=∞\lim_{x \to a} f(x) = \infty: η μεταβλητή πλησιάζει τον αριθμό aa και οι τιμές της ff αυξάνονται απεριόριστα. Για παράδειγμα, η 1x2\frac{1}{x^2} αυξάνεται απεριόριστα όταν το xx πλησιάζει το 00. Είναι το αντικείμενο του μαθήματος για τα άπειρα όρια.
  • lim⁡x→∞f(x)=∞\lim_{x \to \infty} f(x) = \infty: και οι δύο αυξάνονται απεριόριστα, όπως η x2x^2. Μελετάται επίσης στο μάθημα για τα άπειρα όρια.

Το σύμβολο ∞\infty δεν είναι πραγματικός αριθμός, και οι δύο καταστάσεις δεν είναι συμμετρικές. Στην πρώτη, το όριο υπάρχει και είναι ένας αριθμός, ο LL, στον οποίο εφαρμόζονται η μοναδικότητα, η άλγεβρα των ορίων και όλα τα γνωστά θεωρήματα. Στη δεύτερη, η συνάρτηση δεν έχει όριο με την έννοια του μαθήματος για το όριο συναρτήσεων μιας πραγματικής μεταβλητής: η γραφή =∞= \infty δεν ονομάζει ένα όριο, αλλά έναν ακριβή τρόπο να μην έχει η συνάρτηση όριο. Γι’ αυτό οι κανόνες της άλγεβρας των ορίων, που λειτουργούν με αριθμούς, δεν μπορούν να εφαρμοστούν στο ∞\infty σαν να ήταν αριθμός.

Και οι δύο καταστάσεις χωρούν, ωστόσο, σε ένα ίδιο πρότυπο. Κάθε ορισμός ορίου λέει: για κάθε πρόκληση σχετικά με τις τιμές υπάρχει μια απόκριση σχετικά με τη μεταβλητή. Το μόνο που αλλάζει είναι τι σημαίνει να βρίσκεται κάτι κοντά στο καθένα:

  • η μεταβλητή βρίσκεται κοντά στον αριθμό aa αν 0<∣x−a∣<δ0 < \abs{x - a} < \delta, και κοντά στο ∞\infty αν x>Mx > M·
  • η τιμή βρίσκεται κοντά στον αριθμό LL αν ∣f(x)−L∣<ε\abs{f(x) - L} < \varepsilon, και κοντά στο ∞\infty αν f(x)>Nf(x) > N.

Ο ορισμός του μαθήματος για το όριο συνδυάζει την πρώτη μορφή κάθε γραμμής· αυτό το μάθημα, τη δεύτερη της πρώτης γραμμής με την πρώτη της δεύτερης· το μάθημα για τα άπειρα όρια, τις υπόλοιπες. Η πρώτη πρόταση αυτού του μαθήματος δείχνει τις δύο χρήσεις με μία και την ίδια συνάρτηση.