Οι αριθμοί κινητής υποδιαστολής

Επιστημονική γραφή στη βάση 2

Το μάθημα Οι ακέραιοι και η αναπαράστασή τους έδειξε ότι ένας ακέραιος $n$ bit αναπαριστά ακριβώς $2^n$ διαδοχικές τιμές. Ωστόσο, οι αριθμοί με δεκαδικά θέτουν μια διαφορετική δυσκολία: ανάμεσα σε δύο οποιουσδήποτε πραγματικούς υπάρχουν άπειροι άλλοι, και κανένα πεπερασμένο πλήθος bit δεν μπορεί να τους διακρίνει όλους. Η λύση που υιοθετούν όλοι οι σημερινοί υπολογιστές είναι η ίδια που χρησιμοποιεί η επιστήμη για να γράφει πολύ μεγάλα ή πολύ μικρά μεγέθη: η επιστημονική γραφή. Στη βάση 10, η μέση απόσταση της Γης από τον Ήλιο γράφεται $1.496 \times 10^{11}$ μέτρα· ο αριθμός έχει ένα πρόσημο, λίγα σημαντικά ψηφία (τη mantissa, $1.496$) και μια δύναμη της βάσης (τον εκθέτη, $11$), που λέει πού μπαίνει η υποδιαστολή. Αν αυτό ισχύει, με σταθερό πλήθος ψηφίων καλύπτονται μεγέθη πολύ διαφορετικών τάξεων, με τίμημα να φυλάσσονται μόνο τα πρώτα ψηφία του καθενός.

Ο υπολογιστής κάνει το ίδιο στη βάση 2. Κάθε αριθμός διάφορος του μηδενός γράφεται με μοναδικό τρόπο ως

όπου $s$ είναι το πρόσημο (0 για θετικό, 1 για αρνητικό), $1.m_1 m_2 \ldots$ είναι η mantissa γραμμένη στο δυαδικό, της οποίας το πρώτο ψηφίο είναι πάντα 1, και $e$ είναι ο εκθέτης. Το ότι το πρώτο ψηφίο είναι πάντα 1 έχει μια πρακτική συνέπεια: δεν χρειάζεται να αποθηκευτεί, και το bit που εξοικονομείται κερδίζεται για την ακρίβεια. Το όνομα κινητή υποδιαστολή περιγράφει ακριβώς αυτή τη μορφή: η υποδιαστολή δεν έχει σταθερή θέση ανάμεσα στα ψηφία, αλλά «μετακινείται» ανάλογα με τον εκθέτη.

Ο τύπος double της C++ χρησιμοποιεί σε όλους τους σημερινούς μεταγλωττιστές τη διεθνώς τυποποιημένη δυαδική μορφή διπλής ακρίβειας, των 64 bit: 1 bit για το πρόσημο, 11 bit για τον εκθέτη και 52 bit για τη mantissa, χωρίς το αρχικό ψηφίο. Ο εκθέτης αποθηκεύεται μετατοπισμένος: το πεδίο των 11 bit περιέχει $e + 1023$, ώστε φυλάσσει μη προσημασμένες τιμές από 1 έως 2046 για εκθέτες από $-1022$ έως $1023$ (οι τιμές 0 και 2047 του πεδίου δεσμεύονται για το μηδέν, τους πολύ μικρούς αριθμούς, το άπειρο και τον μη αριθμό, που θα δούμε στο τέλος του μαθήματος). Ο τύπος float χρησιμοποιεί τη μορφή απλής ακρίβειας, των 32 bit: 1 για το πρόσημο, 8 για τον εκθέτη και 23 για τη mantissa.

Τα bit ενός double μπορούν να φανούν. Το πρόγραμμα που ακολουθεί χρησιμοποιεί τη std::bit_cast, από την κεφαλίδα <bit>, που ερμηνεύει ξανά τα 64 bit του αριθμού ως μη προσημασμένο ακέραιο 64 bit, χωρίς να αλλάξει κανένα· εδώ χρησιμοποιείται χωρίς περαιτέρω εξήγηση, ως όργανο για να κοιτάξουμε τη μνήμη. Η προδιαγραφή μορφής {:064b} γράφει αυτόν τον ακέραιο στο δυαδικό με 64 ψηφία, όπως στο μάθημα που προηγήθηκε, και η {:016X} στο δεκαεξαδικό με 16.

#include <bit>#include <cstdint>#include <print>​int main(){    const double tenth{0.1};    // Τα 64 bit του αριθμού, διαβασμένα ως μη προσημασμένος ακέραιος.    const std::uint64_t bits{std::bit_cast<std::uint64_t>(tenth)};    std::println("{:064b}", bits);    std::println("{:016X}", bits);}

00111111101110011001100110011001100110011001100110011001100110103FB999999999999A