Μετάβαση στο περιεχόμενο
Topos Uranos
Ελληνικά

Κανόνες παραγώγισης

Περίληψη

Το μάθημα αυτό συνάγει από τον χαρακτηρισμό του Καραθεοδωρή τους κανόνες που επιτρέπουν την παραγώγιση χωρίς να επιστρέφουμε κάθε φορά στον λόγο μεταβολής: την παράγωγο ενός γραμμικού συνδυασμού, ενός γινομένου, ενός αντιστρόφου και ενός πηλίκου. Κάθε κανόνας προκύπτει με τον ίδιο τρόπο: η προσαύξηση της νέας συνάρτησης γράφεται ως γινόμενο με το x−ax - a, με έναν παράγοντα συνεχή στο aa, και η τιμή αυτού του παράγοντα στο aa είναι η παράγωγος. Με τους κανόνες παραγωγίζονται οι δυνάμεις με ακέραιο εκθέτη, τα πολυώνυμα και οι ρητές συναρτήσεις. Το μάθημα κλείνει με τις συναρτήσεις πολλαπλού τύπου: στο εσωτερικό κάθε κλάδου ισχύει ο τύπος του κλάδου, και στα σημεία αλλαγής τύπου αποφασίζουν οι πλευρικές παράγωγοι, που δεν είναι πάντα οι παράγωγοι των τύπων.

Μαθησιακοί στόχοι

  1. Να αποδεικνύονται με τον χαρακτηρισμό του Καραθεοδωρή οι κανόνες του γραμμικού συνδυασμού, του γινομένου, του αντιστρόφου και του πηλίκου.
  2. Να παραγωγίζονται οι δυνάμεις με ακέραιο εκθέτη, τα πολυώνυμα και οι ρητές συναρτήσεις, και να προσδιορίζεται το πεδίο ορισμού κάθε παραγώγου.
  3. Να κρίνεται με τις πλευρικές παραγώγους αν μια συνάρτηση πολλαπλού τύπου είναι παραγωγίσιμη σε σημείο αλλαγής τύπου.
  4. Να διακρίνονται οι ικανές παραδοχές από τις αναγκαίες στους κανόνες, και να αναγνωρίζεται πότε οι παράγωγοι των τύπων των κλάδων δεν δίνουν την παράγωγο της συνάρτησης.

Η παράγωγος εξαρτάται μόνο από ό,τι συμβαίνει κοντά στο σημείο

Το μάθημα για την παράγωγο ως όριο υπολόγισε κάθε παράγωγο με τον λόγο μεταβολής της. Για μια συνάρτηση όπως η x3−2xx2+1\frac{x^3 - 2x}{x^2 + 1}, ο υπολογισμός αυτός είναι μακρύς· συμφέρει, αντίθετα, να ξέρουμε πώς συμπεριφέρεται η παράγωγος στις πράξεις. Όλοι οι κανόνες αυτού του μαθήματος στηρίζονται στον χαρακτηρισμό του Καραθεοδωρή, από το ίδιο μάθημα: η ff είναι παραγωγίσιμη στο aa, με f′(a)=Lf'(a) = L, αν και μόνο αν υπάρχει συνάρτηση φ\varphi, συνεχής στο aa, με φ(a)=L\varphi(a) = L, τέτοια ώστε f(x)−f(a)=φ(x)(x−a)f(x) - f(a) = \varphi(x)(x - a) για κάθε xx του πεδίου ορισμού. Συνεπώς, για να αποδείξουμε ότι μια συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη στο aa, αρκεί να γράψουμε την προσαύξησή της ως γινόμενο με το x−ax - a με έναν παράγοντα συνεχή στο aa· η τιμή αυτού του παράγοντα στο aa είναι η παράγωγος. Το θεώρημα των πράξεων με συνεχείς συναρτήσεις, από το μάθημα για το όριο και τη συνέχεια, αναλαμβάνει τη συνέχεια του παράγοντα.

Πρώτα συμφέρει να λυθεί ένα ζήτημα πεδίων ορισμού. Δύο συναρτήσεις μπορεί να έχουν διαφορετικά πεδία ορισμού, και το πηλίκο fg\frac{f}{g} ορίζεται μόνο όπου η gg δεν μηδενίζεται. Το λήμμα που ακολουθεί λέει ότι η παράγωγος δεν αλλάζει όταν περιορίζουμε το πεδίο ορισμού, αρκεί το σημείο να παραμένει σημείο συσσώρευσης, και ότι εξαρτάται μόνο από τις τιμές κοντά στο σημείο.

ΛήμμαΟ τοπικός χαρακτήρας της παραγώγου

Έστω ff μια συνάρτηση ορισμένη στο AA, aa ένα στοιχείο του AA, BB ένα υποσύνολο του AA που περιέχει το aa, και FF ο περιορισμός της ff στο BB.

  • Αν το aa είναι σημείο συσσώρευσης του BB και η ff είναι παραγωγίσιμη στο aa, τότε η FF είναι παραγωγίσιμη στο aa, και F′(a)=f′(a)F'(a) = f'(a).
  • Αν το aa είναι σημείο συσσώρευσης του AA και υπάρχει δ>0\delta > 0 τέτοιο ώστε κάθε xx του AA με ∣x−a∣<δ\abs{x - a} < \delta να ανήκει στο BB, τότε η ff είναι παραγωγίσιμη στο aa αν και μόνο αν είναι η FF, και σε αυτή την περίπτωση F′(a)=f′(a)F'(a) = f'(a).

Ο πρώτος ισχυρισμός είναι το λήμμα του ορίου περιορισμού της άλγεβρας των ορίων· ο δεύτερος, ότι ο ορισμός του ορίου κοιτάζει μόνο τα κοντινά σημεία.

Απόδειξη

  1. x∈B∖{a}→F(x)−F(a)x−a=f(x)−f(a)x−ax \in B \setminus \{a\} \rightarrow \frac{F(x) - F(a)}{x - a} = \resaltar{\frac{f(x) - f(a)}{x - a}}

    Ο λόγος μεταβολής της FF είναι ο περιορισμός στο B∖{a}B \setminus \{a\} του λόγου μεταβολής της ff. Αν το aa είναι σημείο συσσώρευσης του BB, το λήμμα του ορίου περιορισμού, από το μάθημα για την άλγεβρα των ορίων, δίνει το ίδιο όριο.

  2. x∈A∧0<∣x−a∣<min⁡{δ,δ′}→∣f(x)−f(a)x−a−L∣<εx \in A \wedge 0 < \abs{x - a} < \min\{\delta, \delta'\} \rightarrow \resaltar{\abs{\frac{f(x) - f(a)}{x - a} - L} < \varepsilon}

    Στη δεύτερη περίπτωση, κάθε σημείο του AA διαφορετικό από το aa και σε απόσταση μικρότερη από δ\delta βρίσκεται στο BB: αφού το aa είναι σημείο συσσώρευσης του AA, είναι και του BB, και ο πρώτος ισχυρισμός δίνει τη μία συνεπαγωγή. Για την άλλη, αν F′(a)=LF'(a) = L, έστω ε>0\varepsilon > 0 και δ′\delta' μια απόκριση για τον λόγο της FF· η μικρότερη από τις δ\delta και δ′\delta' είναι απόκριση για τον λόγο της ff, γιατί οι δύο λόγοι συμπίπτουν στα xx που καλύπτει.

Από τον δεύτερο ισχυρισμό έπεται ότι δύο συναρτήσεις ορισμένες στο AA που συμπίπτουν στα σημεία του AA κοντά στο aa είναι και οι δύο παραγωγίσιμες στο aa, με την ίδια παράγωγο, ή καμία δεν είναι: οι δύο έχουν τον ίδιο περιορισμό σε αυτά τα σημεία. Και από τον πρώτο, ότι αν οι ff και gg έχουν διαφορετικά πεδία ορισμού, που περιέχουν και τα δύο το σημείο aa, μπορούμε να εργαστούμε στην τομή των πεδίων ορισμού, αρκεί το aa να είναι σημείο συσσώρευσής της. Γι' αυτό, σε ό,τι ακολουθεί, οι ff και gg υποτίθενται ορισμένες σε ένα ίδιο σύνολο AA.