Ισοδύναμες απειροστές και απειρίζουσες συναρτήσεις

Περίληψη

Αυτό το μάθημα κλείνει την ενότητα των ορίων με μια τεχνική υπολογισμού που συγκεντρώνει σχεδόν όλα όσα προηγήθηκαν: τη σύγκριση συναρτήσεων που τείνουν στο μηδέν ή στο άπειρο. Ορίζονται το μικρό $o$ , το μεγάλο $O$ , η ίδια τάξη και η ισοδυναμία, και αποδεικνύεται ότι, σε ένα γινόμενο ή ένα πηλίκο, κάθε παράγοντας μπορεί να αντικατασταθεί από έναν ισοδύναμο χωρίς να μεταβληθεί το όριο. Τα τριγωνομετρικά όρια, τα όρια της εκθετικής, του λογαρίθμου και των δυνάμεων, και τα όρια των πολυωνύμων, που αποδείχθηκαν στα μαθήματα που προηγήθηκαν, συγκεντρώνονται σε έναν πίνακα ισοδυνάμων, ο οποίος επιτρέπει να υπολογίζονται με μια ματιά όρια που πριν απαιτούσαν αρκετούς μετασχηματισμούς. Το μάθημα δείχνει επίσης το πιο συνηθισμένο λάθος με αυτή την τεχνική, την αντικατάσταση μέσα σε ένα άθροισμα, πότε ένα άθροισμα μπορεί πράγματι να αντικατασταθεί, και πώς συγκρίνονται οι δυνάμεις κοντά στο μηδέν και μακριά από την αρχή.

Μαθησιακοί στόχοι

Να ορίζει το μικρό $o$ , το μεγάλο $O$ , την ίδια τάξη και την ισοδυναμία συναρτήσεων σε ένα σημείο, από τη μία πλευρά ή στο άπειρο, και να αποδεικνύει τις ιδιότητές τους.
Να αποδεικνύει το θεώρημα αντικατάστασης ισοδυνάμων σε γινόμενα και πηλίκα, και να αναγνωρίζει γιατί δεν ισχύει στα αθροίσματα.
Να αποδεικνύει τον πίνακα ισοδυνάμων στο μηδέν και να τον χρησιμοποιεί, μαζί με τη σύνθεση, για να υπολογίζει όρια και να βρίσκει την τάξη και το κύριο μέρος μιας απειροστής.
Να συγκρίνει απειρίζουσες και απειροστές που είναι δυνάμεις, και να διακρίνει την ισοδυναμία από την ύπαρξη ασύμπτωτης.

Πώς συγκρίνονται οι συναρτήσεις

Τα μαθήματα για το θεώρημα της παρεμβολής και για τα άπειρα όρια έδειξαν ότι οι μορφές $\frac{0}{0}$ και $\frac{\infty}{\infty}$ δεν έχουν σταθερό αποτέλεσμα: το όριο ενός πηλίκου δύο συναρτήσεων που τείνουν στο μηδέν εξαρτάται από το πόσο γρήγορα τείνουν σε αυτό. Η ιδέα αυτού του μαθήματος είναι να μετρηθεί αυτή η ταχύτητα με τη σύγκριση κάθε συνάρτησης με μια άλλη, απλούστερη. Όπως στο μάθημα για τα άπειρα όρια, το $P$ δηλώνει τον προορισμό της μεταβλητής ( $a$ , $a^+$ , $a^-$ , $\infty$ ή $-\infty$ ), και «κοντά στο $P$ » σημαίνει σε μια τρυπημένη περιοχή, από τη μία πλευρά ή σε μια ημιευθεία. Αν μια συνάρτηση ορίζεται μόνο σε ένα σύνολο $A$ του οποίου το $a$ είναι σημείο συσσώρευσης, «κοντά στο $a$ » σημαίνει στα σημεία του $A$ μιας τρυπημένης περιοχής με κέντρο $a$ , και τα όρια είναι εκείνα του μαθήματος για το όριο συναρτήσεων μιας πραγματικής μεταβλητής, λαμβανόμενα στο $A$ · οι ορισμοί που ακολουθούν εφαρμόζονται το ίδιο και σε αυτή την περίπτωση.

ΟρισμόςΣύγκριση συναρτήσεων

Έστω $f$ και $g$ συναρτήσεις ορισμένες κοντά στο $P$ , με $g(x) \neq 0$ κοντά στο $P$ .

Η $f$ είναι αμελητέα ως προς τη $g$ στο $P$ , και γράφεται $f = \operatorname{o}(g)$ , που διαβάζεται «η $f$ είναι μικρό ο της $g$ », αν $\lim_{x \to P} \frac{f(x)}{g(x)} = 0$ .
Η $f$ είναι φραγμένη από τη $g$ στο $P$ , και γράφεται $f = \operatorname{O}(g)$ , που διαβάζεται «η $f$ είναι μεγάλο Ο της $g$ », αν υπάρχει $C > 0$ τέτοιο ώστε $\abs{f(x)} \leq C\abs{g(x)}$ κοντά στο $P$ · δηλαδή, αν το πηλίκο $\frac{f(x)}{g(x)}$ είναι φραγμένο κοντά στο $P$ .
Οι $f$ και $g$ είναι της ίδιας τάξης στο $P$ αν το $\frac{f(x)}{g(x)}$ τείνει σε έναν αριθμό διαφορετικό από το μηδέν.
Οι $f$ και $g$ είναι ισοδύναμες στο $P$ , και γράφεται $f \sim g$ , αν $\lim_{x \to P} \frac{f(x)}{g(x)} = 1$ .

Μια συνάρτηση που έχει όριο $0$ στο $P$ λέγεται απειροστή στο $P$ , και μια που τείνει στο $\infty$ ή στο $-\infty$ , απειρίζουσα. Μια απειροστή στο $0$ έχει τάξη $k > 0$ αν είναι της ίδιας τάξης με τη $x^k$ (στο $0^+$ , αν η $x^k$ ορίζεται μόνο για $x > 0$ ), και τότε, αν το $\frac{f(x)}{x^k}$ τείνει στο $c$ , η συνάρτηση $c\,x^k$ είναι το κύριο μέρος της: $f \sim c\,x^k$ .

Η λέξη «απειροστή» δεν δηλώνει έναν πολύ μικρό αριθμό, αλλά μια συνάρτηση που τείνει στο μηδέν· η γραφή $\operatorname{o}(g)$ δεν δηλώνει μια συγκεκριμένη συνάρτηση, αλλά οποιαδήποτε από εκείνες που είναι αμελητέες ως προς τη $g$ . Για παράδειγμα, $x^2 = \operatorname{o}(x)$ στο $0$ , επειδή το $\frac{x^2}{x} = x$ τείνει στο $0$ · αντίθετα, $x = \operatorname{o}(x^2)$ στο $\infty$ , επειδή το $\frac{x}{x^2} = \frac{1}{x}$ τείνει στο $0$ . Το ίδιο ζεύγος συναρτήσεων συγκρίνεται με αντίθετο τρόπο ανάλογα με τον προορισμό. Η ίδια τάξη και η ισοδυναμία είναι, κατά βάθος, μία μόνο σύγκριση: αν οι $f$ και $g$ είναι της ίδιας τάξης με πηλίκο που τείνει στο $c$ , τότε $f \sim c\,g$ .

ΠρότασηΙδιότητες της σύγκρισης

Στον ίδιο προορισμό $P$ :

η ισοδυναμία είναι ανακλαστική, συμμετρική και μεταβατική: $f \sim f$ · αν $f \sim g$ , τότε $g \sim f$ · και αν $f \sim g$ και $g \sim h$ , τότε $f \sim h$ ·
$f \sim g$ αν και μόνο αν $f - g = \operatorname{o}(g)$ · ειδικότερα, αν $h = \operatorname{o}(g)$ , τότε $g + h \sim g$ ·
αν $f = \operatorname{o}(h)$ και $g = \operatorname{o}(h)$ , τότε $f + g = \operatorname{o}(h)$ και $c\,f = \operatorname{o}(h)$ για κάθε πραγματικό $c$ .

Κάθε ισχυρισμός είναι ένας κανόνας από την άλγεβρα των ορίων, εφαρμοσμένος σε ένα πηλίκο.

Απόδειξη

$\frac{g}{f} = \frac{1}{\frac{f}{g}} \to 1, \qquad \frac{f}{h} = \frac{f}{g} \cdot \frac{g}{h} \to 1 \cdot 1 = \resaltar{1}$
Το πηλίκο της $f$ προς τον εαυτό της ισούται με $1$ . Αν το $\frac{f}{g}$ τείνει στο $1$ , το αντίστροφό του τείνει στο $\frac{1}{1} = 1$ , από τον κανόνα του αντιστρόφου. Αν τα $\frac{f}{g}$ και $\frac{g}{h}$ τείνουν στο $1$ , το ίδιο και το γινόμενό τους, από τον κανόνα του γινομένου.
$\frac{f - g}{g} = \frac{f}{g} - 1 \to 0 \Leftrightarrow \frac{f}{g} \to \resaltar{1}$
Το πηλίκο της $f - g$ προς τη $g$ είναι $\frac{f}{g} - 1$ , που τείνει στο $0$ αν και μόνο αν το $\frac{f}{g}$ τείνει στο $1$ . Με $f = g + h$ , η διαφορά είναι $h$ .
$\frac{f + g}{h} = \frac{f}{h} + \frac{g}{h} \to 0 + 0 = \resaltar{0}$
Αν τα $\frac{f}{h}$ και $\frac{g}{h}$ τείνουν στο $0$ , το ίδιο και το άθροισμά τους και το γινόμενο καθενός με μια σταθερά, από τον κανόνα του γραμμικού συνδυασμού.

Το μεγάλο $O$ δεν απαιτεί το πηλίκο να έχει όριο, αλλά μόνο να μη μεγαλώνει ανεξέλεγκτα. Για παράδειγμα, $\sin x = \operatorname{O}(1)$ στο $\infty$ , παρόλο που το $\sin x$ δεν έχει όριο εκεί, και $x \sin \frac{1}{x} = \operatorname{O}(x)$ στο $0$ , επειδή $\abs{x \sin \frac{1}{x}} \leq \abs{x}$ . Για τον υπολογισμό ορίων αρκεί το μικρό $o$ · το μεγάλο $O$ θα χρησιμεύσει για τη μέτρηση σφαλμάτων προσέγγισης, όπως εκείνου του πολυωνύμου Taylor, που θα μελετηθεί στον Λογισμό II. Οι κανόνες του είναι οι εξής.

ΠρότασηΚανόνες του μεγάλου Ο

Στον ίδιο προορισμό $P$ :

αν το $\frac{f}{g}$ έχει πεπερασμένο όριο στο $P$ , τότε $f = \operatorname{O}(g)$ · ειδικότερα, αν $f = \operatorname{o}(g)$ ή αν $f \sim g$ ·
αν $f = \operatorname{O}(h)$ και $g = \operatorname{O}(h)$ , τότε $f + g = \operatorname{O}(h)$ και $c\,f = \operatorname{O}(h)$ για κάθε πραγματικό $c$ ·
αν $f_1 = \operatorname{O}(g_1)$ και $f_2 = \operatorname{O}(g_2)$ , τότε $f_1 f_2 = \operatorname{O}(g_1 g_2)$ ·
αν $f_1 = \operatorname{O}(g_1)$ και $f_2 = \operatorname{o}(g_2)$ , τότε $f_1 f_2 = \operatorname{o}(g_1 g_2)$ .

Κάθε κανόνας είναι μια ανισότητα μεταξύ απόλυτων τιμών· ο τελευταίος συνδυάζει ένα φράγμα με ένα πηλίκο που τείνει στο μηδέν.

Απόδειξη

$\abs{\frac{f(x)}{g(x)}} \leq \abs{\frac{f(x)}{g(x)} - L} + \abs{L} < \resaltar{\abs{L} + 1}$
Αν το $\frac{f}{g}$ τείνει στο $L$ , η πρόκληση $\varepsilon = 1$ έχει απόκριση: κοντά στο $P$ , το πηλίκο απέχει από το $L$ λιγότερο από $1$ , και από την τριγωνική ανισότητα η απόλυτη τιμή του δεν υπερβαίνει το $\abs{L} + 1$ .
$\abs{f(x) + g(x)} \leq C_1\abs{h(x)} + C_2\abs{h(x)} = \resaltar{(C_1 + C_2)\abs{h(x)}}$
Τα φράγματα $C_1$ της $f$ και $C_2$ της $g$ ισχύουν ταυτόχρονα κοντά στο $P$ , στην τομή των δύο περιοχών. Η τριγωνική ανισότητα φράσσει το άθροισμα· το πολλαπλάσιο έχει το φράγμα $\abs{c}\,C_1$ .
$\abs{f_1(x) f_2(x)} \leq C_1\abs{g_1(x)} \cdot C_2\abs{g_2(x)} = \resaltar{C_1 C_2 \abs{g_1(x) g_2(x)}}$
Τα φράγματα των δύο παραγόντων πολλαπλασιάζονται.
$0 \leq \abs{\frac{f_1(x) f_2(x)}{g_1(x) g_2(x)}} \leq C_1 \abs{\frac{f_2(x)}{g_2(x)}} \to \resaltar{0}$
Το πηλίκο του γινομένου προς το $g_1 g_2$ είναι το γινόμενο ενός πηλίκου φραγμένου από το $C_1$ και ενός άλλου που τείνει στο $0$ · από το θεώρημα της παρεμβολής, τείνει στο $0$ .

Στο υπόλοιπο αυτής της διάλεξης

Το θεώρημα αντικατάστασης
Ο πίνακας ισοδυνάμων
Σύγκριση απειριζουσών
Λυμένα προβλήματα
Μια άμεση αντικατάσταση
Ένα άθροισμα που δεν αντικαθίσταται
Μια κυβική ρίζα
Ισοδύναμες απειρίζουσες
Η τάξη ενός αθροίσματος
Προτεινόμενα προβλήματα
Τρεις αντικαταστάσεις
Δύο ρίζες που αφαιρούνται
Μια σύνθετη ισοδυναμία
Ισοδυναμία χωρίς ασύμπτωτη
Μια δύναμη κυριαρχεί σε κάθε άκρο

Συνεχίστε την ανάγνωση με δωρεάν λογαριασμό

Δημιουργήστε τον δωρεάν λογαριασμό σας για να διαβάσετε ολόκληρη αυτή τη διάλεξη και τις πρώτες διαλέξεις κάθε μαθήματος, και για να αποθηκεύετε την πρόοδό σας.

Δημιουργία λογαριασμού Σύνδεση

Συνεχίστε την ανάγνωση με δωρεάν λογαριασμό

Δημιουργία λογαριασμού Σύνδεση