Θεσιακά συστήματα αρίθμησης

Η θεσιακή γραφή

Όταν γράφουμε $2025$, δεν προσθέτουμε τέσσερα ψηφία· καθένα πολλαπλασιάζεται με μια δύναμη του $10$ που εξαρτάται από τη θέση του: το πρώτο $2$ αξίζει δύο χιλιάδες· το δεύτερο, δύο δεκάδες. Το ψηφίο $0$ δείχνει ότι δεν υπάρχουν εκατοντάδες και, καταλαμβάνοντας τη θέση του, κρατά τα υπόλοιπα ψηφία στη θέση που τους αντιστοιχεί.

Αυτή η αρχή, που ονομάζεται θεσιακό σύστημα αρίθμησης, δεν εξαρτάται από τον αριθμό $10$. Αν $b \geq 2$ είναι ένας φυσικός, που ονομάζεται βάση, τα ψηφία στη βάση $b$ είναι οι αριθμοί $0, 1, \ldots, b - 1$, και μια ακολουθία ψηφίων $a_k, a_{k-1}, \ldots, a_1, a_0$, με $a_k \neq 0$, αναπαριστά τον αριθμό

Τα ψηφία γράφονται το ένα δίπλα στο άλλο, από τα αριστερά προς τα δεξιά, και η βάση σημειώνεται ως δείκτης: για παράδειγμα, ο $3412_5$ είναι ο αριθμός που στη βάση $5$ γράφεται με τα ψηφία $3$, $4$, $1$ και $2$, και διαβάζεται «$3412$ στη βάση $5$». Λέμε ότι το $a_i$ κατέχει τη θέση $i$, μετρώντας από τα δεξιά και αρχίζοντας από το $0$. Χωρίς δείκτη, ένας αριθμός είναι γραμμένος στη βάση $10$. Στη βάση $2$ υπάρχουν μόνο δύο ψηφία, το $0$ και το $1$, που ονομάζονται μπιτ· στη βάση $16$ χρειάζονται δεκαέξι, και στα δέκα συνήθη ψηφία προστίθενται τα γράμματα A, B, C, D, E και F, που αξίζουν $10$, $11$, $12$, $13$, $14$ και $15$.

Όμως, η τιμή ενός αριθμού γραμμένου στη βάση $b$ μπορεί να υπολογιστεί βγάζοντας το $b$ κοινό παράγοντα ξανά και ξανά, πράγμα που αποφεύγει τον υπολογισμό δυνάμεων: είναι ο κανόνας του Χόρνερ.