Δυνάμεις με ρητό εκθέτη και ριζικά

Περίληψη

Το μάθημα αυτό επεκτείνει τις δυνάμεις σε ρητούς εκθέτες μέσω της κύριας ρίζας, αποδεικνύει ότι ο ορισμός δεν εξαρτάται από το κλάσμα με το οποίο γράφεται ο εκθέτης και ότι οι ιδιότητες των δυνάμεων με ακέραιο εκθέτη εξακολουθούν να ισχύουν. Έπειτα θεμελιώνει τις ιδιότητες των ριζών με τις παραδοχές τους για το πρόσημο, χαρακτηρίζει το σφάλμα της κατανομής μιας ρίζας σε ένα άθροισμα και διδάσκει τις τεχνικές υπολογισμού με ριζικά: την εξαγωγή παραγόντων από τη ρίζα, τη ρητοποίηση παρονομαστών με συζυγείς παραστάσεις και με τη διαφορά κύβων, τη σύγκριση αριθμών χωρίς αριθμομηχανή και την απλοποίηση διπλών ριζικών.

Μαθησιακοί στόχοι

Να ορίζει τη δύναμη με ρητό εκθέτη θετικής βάσης, να αιτιολογεί ότι δεν εξαρτάται από το κλάσμα που επιλέγεται και να εφαρμόζει τις ιδιότητές της.
Να διατυπώνει τις ιδιότητες των ριζών με τις παραδοχές τους για το πρόσημο, ιδίως την $\sqrt[n]{a^n} = \abs{a}$ για άρτια τάξη ρίζας, και να αναγνωρίζει τα τυπικά σφάλματα.
Να απλοποιεί ριζικά και να ρητοποιεί παρονομαστές που είναι μονώνυμα, διώνυμα ή περιέχουν κυβικές ρίζες.
Να συγκρίνει αριθμούς με ριζικά υψώνοντάς τους σε κατάλληλες δυνάμεις και να απλοποιεί διπλά ριζικά όταν είναι δυνατόν.

Δυνάμεις με ρητό εκθέτη

Στο μάθημα για τα σύνολα αριθμών ορίστηκαν οι δυνάμεις με ακέραιο εκθέτη και η κύρια ρίζα: για έναν φυσικό $n \geq 2$ και έναν πραγματικό $b \geq 0$ , ο αριθμός $\sqrt[n]{b}$ είναι ο μοναδικός μη αρνητικός πραγματικός του οποίου η $n$ -οστή δύναμη είναι $b$ . Εκεί αποδείχθηκαν, για ρητές βάσεις, οι ιδιότητες των δυνάμεων με ακέραιο εκθέτη· οι αποδείξεις τους χρησιμοποιούν μόνο τις ιδιότητες της πρόσθεσης και του πολλαπλασιασμού, ώστε ισχύουν εξίσου για πραγματικές βάσεις. Εκεί αποδείχθηκε επίσης η μοναδικότητα της κύριας ρίζας, από την οποία εξαρτάται ό,τι ακολουθεί, και έγινε δεκτή χωρίς απόδειξη η ύπαρξή της, που είναι συνέπεια της πληρότητας των πραγματικών αριθμών και αποδείχθηκε στο μάθημα για την πραγματική ευθεία.

Οι δυνάμεις και οι ρίζες είναι αντίστροφες πράξεις, και συμφέρει να συγκεντρωθούν σε έναν ενιαίο συμβολισμό. Αν η ιδιότητα της δύναμης δύναμης πρέπει να ισχύει και για κλασματικούς εκθέτες, ο αριθμός $a^{\frac{1}{q}}$ πρέπει να ικανοποιεί την $\left(a^{\frac{1}{q}}\right)^q = a^1 = a$ · δηλαδή πρέπει να είναι μια $q$ -οστή ρίζα του $a$ , και η φυσική επιλογή είναι η κύρια. Ομοίως, το $a^{\frac{p}{q}}$ πρέπει να είναι η $p$ -οστή δύναμη του $a^{\frac{1}{q}}$ , ή αλλιώς η $q$ -οστή ρίζα του $a^p$ . Η παρατήρηση αυτή δεν αποδεικνύει τίποτα, γιατί προϋποθέτει τις ιδιότητες που θέλουμε να αποδείξουμε· απλώς υποδεικνύει τον ορισμό.

Ορισμός (δύναμη με ρητό εκθέτη). Έστω $a > 0$ πραγματικός, $p$ ακέραιος και $q$ φυσικός. Η δύναμη με ρητό εκθέτη $a^{\frac{p}{q}}$ είναι η κύρια $q$ -οστή ρίζα του $a^p$ . Για $q = 1$ εννοείται ότι η ρίζα τάξης $1$ ενός αριθμού είναι ο ίδιος ο αριθμός, ώστε ο ορισμός συμπίπτει με τον ορισμό της δύναμης με ακέραιο εκθέτη.

a^{\frac{p}{q}} = \sqrt[q]{a^p}

Η ρίζα υπάρχει επειδή το $a^p$ είναι θετικό, και είναι θετική για τον ίδιο λόγο: αν ήταν μηδέν, μηδέν θα ήταν και η $q$ -οστή δύναμή της. Για παράδειγμα, $8^{\frac{2}{3}} = \sqrt[3]{64} = 4$ και $27^{-\frac{1}{3}} = \sqrt[3]{\frac{1}{27}} = \frac{1}{3}$ . Στο πρώτο παράδειγμα προκύπτει το ίδιο αποτέλεσμα αν εξαγάγουμε πρώτα τη ρίζα και υψώσουμε έπειτα σε δύναμη, γιατί $\left(\sqrt[3]{8}\right)^2 = 2^2 = 4$ · η σειρά των δύο πράξεων είναι αδιάφορη.

ΛήμμαΡίζα δύναμης

Για κάθε πραγματικό $a > 0$ , κάθε ακέραιο $p$ και κάθε φυσικό $q$ , η $q$ -οστή ρίζα του $a^p$ είναι η $p$ -οστή δύναμη της $q$ -οστής ρίζας του $a$ .

\sqrt[q]{a^p} = \left(\sqrt[q]{a}\right)^p

Ελέγχεται ότι το δεύτερο μέλος έχει το πρόσημο και τη δύναμη που χαρακτηρίζουν το πρώτο, και εφαρμόζεται η μοναδικότητα της κύριας ρίζας. Το σχήμα συνοδεύει τον συλλογισμό με $a = 2$ , $q = 2$ και $p = 3$ : η καμπύλη $y = t^q$ είναι αύξουσα στους θετικούς και τέμνει μία μόνο φορά κάθε οριζόντια ευθεία θετικού ύψους.

Απόδειξη

$r = \sqrt[q]{a}, \quad r > 0, \quad \dato{rq}{r^q = a}$
Αν $q = 1$ , και τα δύο μέλη είναι $a^p$ . Αν $q \geq 2$ , έστω $r$ η κύρια $q$ -οστή ρίζα του $a$ : είναι θετική, γιατί αν ήταν μηδέν, μηδέν θα ήταν και το $a$ , και η $q$ -οστή δύναμή της είναι $a$ .
$\dato{pos}{r^p > 0}$
Ο αριθμός $r^p$ είναι θετικός, γιατί κάθε δύναμη θετικού αριθμού με ακέραιο εκθέτη είναι θετική: αν ο $p$ είναι φυσικός, από το αξίωμα του πολλαπλασιασμού· αν $p = 0$ , ισούται με $1$ · και αν ο $p$ είναι αρνητικός, είναι ο αντίστροφος ενός θετικού.
$\left(r^p\right)^q = r^{pq} = \left(\resaltar{r^q}\right)^p = \dato{ap}{\resaltar{a^p}}$
Από την ιδιότητα της δύναμης δύναμης με ακέραιο εκθέτη, εφαρμοσμένη με τις δύο σειρές, η $q$ -οστή δύναμη του $r^p$ είναι $a^p$ .
$\sqrt[q]{a^p} = \resaltar{r^p} = \left(\sqrt[q]{a}\right)^p$
Έτσι, ο $r^p$ είναι θετικός αριθμός του οποίου η $q$ -οστή δύναμη είναι $a^p$ . Από τη μοναδικότητα της κύριας ρίζας, είναι η $q$ -οστή ρίζα του $a^p$ .

Ο ορισμός δεν εξαρτάται από το κλάσμα

Ο ίδιος ρητός γράφεται με πολλά κλάσματα: $\frac{1}{2} = \frac{2}{4} = \frac{3}{6}$ . Ο προηγούμενος ορισμός διατυπώνεται με ένα συγκεκριμένο κλάσμα, και τίποτα δεν εγγυάται εκ των προτέρων ότι δύο γραφές του ίδιου εκθέτη δίνουν τον ίδιο αριθμό· για παράδειγμα, $2^{\frac{1}{2}} = \sqrt{2}$ , ενώ $2^{\frac{2}{4}} = \sqrt[4]{4}$ . Αν έδιναν διαφορετικούς αριθμούς, το σύμβολο $a^x$ δεν θα είχε νόημα για έναν ρητό $x$ , αλλά μόνο για καθένα από τα κλάσματά του.

ΘεώρημαΑνεξαρτησία από το κλάσμα

Έστω $a > 0$ . Αν οι $p$ και $r$ είναι ακέραιοι, οι $q$ και $s$ φυσικοί και $\frac{p}{q} = \frac{r}{s}$ , τότε $\sqrt[q]{a^p} = \sqrt[s]{a^r}$ . Η ιδέα είναι να υψωθούν οι δύο αριθμοί στη δύναμη $qs$ , που απαλείφει και τις δύο ρίζες, και να εφαρμοστεί η μοναδικότητα της κύριας ρίζας. Το σχήμα συνοδεύει τον συλλογισμό με $a = 2$ , $\frac{p}{q} = \frac{1}{2}$ και $\frac{r}{s} = \frac{2}{4}$ : κάθε δύναμη είναι μια αύξουσα καμπύλη, που τέμνει μία μόνο φορά κάθε οριζόντια ευθεία.

Απόδειξη

$u = \sqrt[q]{a^p}, \quad v = \sqrt[s]{a^r}, \quad \dato{du}{u^q = a^p}, \quad \dato{dv}{v^s = a^r}$
Ονομάζουμε $u$ και $v$ τους αριθμούς που δίνουν οι δύο γραφές. Και οι δύο είναι θετικοί και, από τον ορισμό της ρίζας, ικανοποιούν τις ακόλουθες ισότητες.
$u^{qs} = \left(\resaltar{u^q}\right)^s = \left(a^p\right)^s = \dato{pu}{\resaltar{a^{ps}}}$
Υψώνουμε τον $u$ στη δύναμη $qs$ με την ιδιότητα της δύναμης δύναμης και αντικαθιστούμε το $u^q$ με την τιμή του.
$v^{qs} = \left(\resaltar{v^s}\right)^q = \left(a^r\right)^q = \dato{pv}{\resaltar{a^{rq}}}$
Ομοίως με τον $v$ , ομαδοποιώντας πρώτα τον εκθέτη $s$ .
$\frac{p}{q} = \frac{r}{s} \leftrightarrow \dato{cr}{\resaltar{ps = qr}}$
Τα κλάσματα είναι ίσα, πράγμα που σημαίνει ότι τα χιαστί γινόμενά τους συμπίπτουν.
$u^{qs} = a^{\resaltar{ps}} = a^{\resaltar{qr}} = v^{qs}$
Επομένως οι $u$ και $v$ έχουν την ίδια δύναμη με εκθέτη $qs$ .
$\sqrt[q]{a^p} = \sqrt[s]{a^r}$
Αν $qs = 1$ , αυτό λέει ότι $u = v$ . Αν $qs \geq 2$ , οι $u$ και $v$ είναι δύο θετικοί αριθμοί με την ίδια δύναμη με εκθέτη $qs$ , και από τη μοναδικότητα της κύριας ρίζας είναι ίσοι.

Επομένως, για κάθε ρητό $x$ ο αριθμός $a^x$ είναι καλά ορισμένος: ο $x$ γράφεται ως κλάσμα με οποιονδήποτε τρόπο και το αποτέλεσμα είναι πάντα το ίδιο. Ειδικότερα, κάθε ρητός εκθέτης μπορεί να γραφτεί με φυσικό παρονομαστή, και δύο εκθέτες μπορούν να γραφτούν με κοινό παρονομαστή, κάτι που χρησιμοποιείται στις αποδείξεις που ακολουθούν.

Η παραδοχή $a > 0$ δεν είναι καπρίτσιο. Με αρνητική βάση, η ρίζα περιττής τάξης υπάρχει, αλλά το αποτέλεσμα θα εξαρτιόταν από το κλάσμα: $\sqrt[3]{-8} = -2$ , ενώ $\sqrt[6]{(-8)^2} = \sqrt[6]{64} = 2$ , αν και $\frac{1}{3} = \frac{2}{6}$ . Γι’ αυτό δεν ορίζονται δυνάμεις με ρητό εκθέτη και αρνητική βάση, και για αρνητικούς αριθμούς γράφεται η ρίζα, όπως $\sqrt[3]{-8}$ . Με μηδενική βάση ορίζεται $0^x = 0$ για κάθε ρητό $x > 0$ , και δεν ορίζονται αρνητικοί ούτε μηδενικοί εκθέτες.

Οι ιδιότητες των ρητών εκθετών

Αφού εξασφαλίστηκε ο ορισμός, ελέγχεται ότι οι ιδιότητες των δυνάμεων με ακέραιο εκθέτη εξακολουθούν να ισχύουν.

ΘεώρημαΟι ιδιότητες των ρητών εκθετών

Για όλους τους πραγματικούς $a > 0$ και $b > 0$ και όλους τους ρητούς $x$ και $y$ ισχύουν $a^x \cdot a^y = a^{x + y}$ , $\left(a^x\right)^y = a^{xy}$ και $(ab)^x = a^x \cdot b^x$ . Κατά συνέπεια, επίσης $a^{-x} = \frac{1}{a^x}$ και $\frac{a^x}{a^y} = a^{x - y}$ . Αποδεικνύονται οι δύο πρώτες ιδιότητες· η τρίτη προκύπτει από την ιδιότητα του γινομένου ριζών, στην επόμενη παράγραφο. Το σχήμα δείχνει τις τιμές $2^{\frac{k}{6}}$ : καθεμία είναι η προηγούμενη πολλαπλασιασμένη επί $\sqrt[6]{2}$ , και οι εκθέτες προστίθενται όπως τα σκαλοπάτια μιας σκάλας.

Απόδειξη

$x = \frac{p}{q}, \quad y = \frac{r}{q}, \quad u = \sqrt[q]{a}, \quad \dato{lx}{a^x = u^p}, \quad \dato{ly}{a^y = u^r}$
Γινόμενο. Γράφουμε τους $x$ και $y$ με κοινό παρονομαστή $q$ , πράγμα θεμιτό από το προηγούμενο θεώρημα, και ονομάζουμε $u$ την $q$ -οστή ρίζα του $a$ . Από το λήμμα της ρίζας δύναμης, και οι δύο δυνάμεις είναι ακέραιες δυνάμεις του $u$ .
$a^x \cdot a^y = \resaltar{u^p \cdot u^r} = u^{p + r} = \resaltar{a^{\frac{p + r}{q}}} = a^{x + y}$
Από την ιδιότητα του γινομένου δυνάμεων με ακέραιο εκθέτη, οι εκθέτες προστίθενται· και πάλι από το λήμμα, το αποτέλεσμα είναι $a^{x + y}$ , γιατί $x + y = \frac{p + r}{q}$ .
$\left(a^x\right)^y = \sqrt[s]{\left(\resaltar{u^p}\right)^r} = \dato{w}{\resaltar{\sqrt[s]{u^{pr}}}} = w$
Δύναμη δύναμης. Τώρα $x = \frac{p}{q}$ και $y = \frac{r}{s}$ , και πάλι $a^x = u^p$ με $u = \sqrt[q]{a}$ . Από τον ορισμό, η $\left(a^x\right)^y$ είναι η $s$ -οστή ρίζα του $\left(u^p\right)^r$ · ονομάζουμε $w$ αυτόν τον θετικό αριθμό.
$w^{qs} = \left(\resaltar{w^s}\right)^q = \left(u^{pr}\right)^q = \left(\resaltar{u^q}\right)^{pr} = \dato{wp}{a^{pr}}$
Υψώνουμε τον $w$ στη δύναμη $qs$ , ομαδοποιώντας πρώτα τον εκθέτη $s$ , που αναιρεί τη ρίζα, και έπειτα τον εκθέτη $q$ , με $u^q = a$ .
$\left(a^x\right)^y = w = \sqrt[qs]{\resaltar{a^{pr}}} = \resaltar{a^{\frac{pr}{qs}}} = a^{xy}$
Από τη μοναδικότητα της κύριας ρίζας, ο $w$ είναι η ρίζα τάξης $qs$ του $a^{pr}$ , δηλαδή η δύναμη με εκθέτη $\frac{pr}{qs} = xy$ .

Από την πρώτη ιδιότητα προκύπτουν οι συνέπειες: αφού $a^x \cdot a^{-x} = a^0 = 1$ , ο αριθμός $a^{-x}$ είναι ο αντίστροφος του $a^x$ , και επομένως $\frac{a^x}{a^y} = a^x \cdot a^{-y} = a^{x - y}$ . Οι ιδιότητες επιτρέπουν να υπολογίζουμε με ρητούς εκθέτες όπως με τους ακέραιους. Για παράδειγμα:

\sqrt{2} \cdot \sqrt[3]{2} = 2^{\frac{1}{2}} \cdot 2^{\frac{1}{3}} = 2^{\frac{5}{6}} = \sqrt[6]{32}, \qquad \left(\sqrt{2}\right)^{\frac{2}{3}} = 2^{\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3}} = \sqrt[3]{2}

Δυνάμεις με ρητό εκθέτη και διάταξη

Στο μάθημα για τα σύνολα αριθμών αποδείχθηκε, και στο μάθημα για την πραγματική ευθεία εφαρμόστηκε στις ανισότητες, ότι οι δυνάμεις με φυσικό εκθέτη διατηρούν τη διάταξη των μη αρνητικών αριθμών: αν $0 \leq u < v$ , τότε $u^n < v^n$ . Οι δυνάμεις με ρητό εκθέτη κληρονομούν αυτή την ιδιότητα ως προς τη βάση, και προσθέτουν μια άλλη ως προς τον εκθέτη, της οποίας η φορά εξαρτάται από το αν η βάση είναι μεγαλύτερη ή μικρότερη από $1$ .

ΛήμμαΗ μονοτονία των ρητών δυνάμεων

Έστω $x < y$ ρητοί. Αν $a > 1$ , τότε $a^x < a^y$ · αν $0 < a < 1$ , τότε $a^x > a^y$ . Επιπλέον, αν $x > 0$ και $0 < s < t$ , τότε $s^x < t^x$ . Το σχήμα δείχνει τις γραφικές παραστάσεις των $y = t^{\frac{1}{3}}$ , $y = t^{\frac{1}{2}}$ και $y = t^{\frac{3}{2}}$ για $t > 0$ : δεξιά του $t = 1$ ο μεγαλύτερος εκθέτης δίνει τη μεγαλύτερη τιμή, αριστερά συμβαίνει το αντίθετο, και στο $t = 1$ οι τρεις καμπύλες τέμνονται.

Απόδειξη

$x = \frac{p}{q}, \quad y = \frac{r}{q}, \quad p < r, \quad \dato{u1}{u > 1}$
Έστω $a > 1$ . Γράφουμε τους $x$ και $y$ με κοινό παρονομαστή $q$ , και έστω $u = \sqrt[q]{a}$ . Τότε $u > 1$ : αν ήταν $u \leq 1$ , από τη μονοτονία των δυνάμεων θα είχαμε $u^q \leq 1$ , σε αντίθεση με την $u^q = a > 1$ .
$a^y = u^r = \resaltar{u^p \cdot u^{r - p}} > \resaltar{u^p} = a^x$
Αφού ο $r - p$ είναι φυσικός, $u^{r - p} > 1^{r - p} = 1$ , και ο πολλαπλασιασμός επί τον θετικό $u^p$ διατηρεί την ανισότητα.
$\frac{1}{a^x} < \frac{1}{a^y} \rightarrow \resaltar{a^x > a^y}$
Αν $0 < a < 1$ , ο αντίστροφός του είναι μεγαλύτερος από $1$ , και από τα προηγούμενα $\left(\frac{1}{a}\right)^x < \left(\frac{1}{a}\right)^y$ . Αφού $\left(\frac{1}{a}\right)^x = \frac{1}{a^x}$ από τις ιδιότητες των δυνάμεων, όταν παίρνουμε αντιστρόφους δύο θετικών η ανισότητα αντιστρέφεται.
$1^x = 1$
Αν $a = 1$ , όλες οι δυνάμεις του ισούνται με $1$ , γιατί οι ρίζες και οι δυνάμεις του $1$ είναι $1$ . Γι’ αυτό οι τρεις γραφικές παραστάσεις διέρχονται από το σημείο $(1, 1)$ .
$0 < s < t \rightarrow \resaltar{s^p < t^p} \rightarrow \resaltar{\sqrt[q]{s^p} < \sqrt[q]{t^p}}$
Για τη μονοτονία ως προς τη βάση, έστω $x = \frac{p}{q}$ με $p$ φυσικό. Από την $s < t$ προκύπτει $s^p < t^p$ · και αν ήταν $\sqrt[q]{s^p} \geq \sqrt[q]{t^p}$ , υψώνοντας στη δύναμη $q$ θα προέκυπτε $s^p \geq t^p$ , που είναι ψευδές.

Οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων δύναμης θα μελετηθούν λεπτομερώς στο μάθημα για τις αλγεβρικές συναρτήσεις· εδώ αρκούν οι δύο μονοτονίες, που θα χρησιμοποιηθούν για τη σύγκριση αριθμών.

Στο υπόλοιπο αυτής της διάλεξης

Οι ιδιότητες των ριζών
Η ρίζα ενός αθροίσματος
Απλοποίηση ριζικών
Ρητοποίηση παρονομαστών
Σύγκριση αριθμών χωρίς αριθμομηχανή
Διπλά ριζικά
Λυμένα προβλήματα
Μια ακολουθία ριζών
Ένας παρονομαστής με τρεις όρους
Ένας παρονομαστής με κυβικές ρίζες
Ένα άθροισμα διπλών ριζικών
Ένα άθροισμα κυβικών ριζών που είναι ρητό
Προτεινόμενα προβλήματα
Δύο ρίζες με σταθερό άθροισμα
Δύο διαφορές ριζών
Το μέγεθος των φύλλων χαρτιού
Οι δυνάμεις μιας διαφοράς ριζών
Μια κυβική ρίζα που δεν γράφεται με τετραγωνικές ρίζες

Συνεχίστε την ανάγνωση με δωρεάν λογαριασμό

Δημιουργήστε τον δωρεάν λογαριασμό σας για να διαβάσετε ολόκληρη αυτή τη διάλεξη και τις πρώτες διαλέξεις κάθε μαθήματος, και για να αποθηκεύετε την πρόοδό σας.

Δημιουργία λογαριασμού Σύνδεση

Αποκτήστε πρόσβαση στο πλήρες μάθημα

Το υπόλοιπο αυτής της διάλεξης περιλαμβάνεται στη συνδρομή. Με τη συνδρομή αποκτάτε πρόσβαση σε όλες τις διαλέξεις κάθε μαθήματος, με τα προβλήματα και τις αποδείξεις τους.

Δημιουργία λογαριασμού Σύνδεση