Μετάβαση στο περιεχόμενο
Topos Uranos
Ελληνικά

Σύνολα αριθμών: από τους φυσικούς στους μιγαδικούς

Περίληψη

Αυτό το μάθημα δείχνει πώς, ξεκινώντας από τους φυσικούς αριθμούς, κατασκευάζονται διαδοχικά οι ακέραιοι, οι ρητοί, οι πραγματικοί και οι μιγαδικοί. Κάθε επέκταση γεννιέται για να οριστεί χωρίς περιορισμούς μια αντίστροφη πράξη (η αφαίρεση, η διαίρεση, η ρίζα), και διατηρεί τις ιδιότητες του προηγούμενου συνόλου. Υπενθυμίζεται γιατί ο 2\sqrt{2} δεν είναι ρητός αριθμός, αποδεικνύεται ότι οι ρητοί δεν είναι πλήρεις, διατυπώνονται τα αξιώματα που δεχόμαστε για τους πραγματικούς αριθμούς (τα αξιώματα του σώματος, της διάταξης και το αξίωμα της πληρότητας) και εξηγείται γιατί οι πραγματικοί απαιτούν, εκτός από τις ρίζες, την πληρότητα.

Μαθησιακοί στόχοι

  1. Να αναγνωρίζει ποια αντίστροφη πράξη παρακινεί κάθε επέκταση, από τους φυσικούς έως τους μιγαδικούς.
  2. Να διατυπώνει με ακρίβεια τις ιδιότητες της πρόσθεσης και του πολλαπλασιασμού σε κάθε αριθμητικό σύνολο, καθώς και τα αξιώματα του πλήρους διατεταγμένου σώματος που δεχόμαστε για τους πραγματικούς αριθμούς.
  3. Να εφαρμόζει τις ιδιότητες των δυνάμεων με ακέραιο εκθέτη και τον ορισμό της κύριας ρίζας.
  4. Να αποδεικνύει με απαγωγή σε άτοπο ότι μια ρίζα δεν είναι ρητός αριθμός.
  5. Να διακρίνει τους ρητούς, τους άρρητους, τους πραγματικούς και τους μιγαδικούς αριθμούς.

Οι αντίστροφες πράξεις ως κινητήρια δύναμη της επέκτασης

Οι φυσικοί αριθμοί, που ορίστηκαν στο μάθημα για τα αξιώματα του Πεάνο, επιτρέπουν την πρόσθεση και τον πολλαπλασιασμό χωρίς κανέναν περιορισμό: το άθροισμα και το γινόμενο δύο φυσικών είναι πάντα φυσικοί. Δεν συμβαίνει το ίδιο με τις αντίστροφες πράξεις. Καθεμία από τις ακόλουθες εξισώσεις είναι γραμμένη με φυσικούς αριθμούς και, παρ’ όλα αυτά, καμία δεν έχει λύση ανάμεσά τους:

x+5=3,3x=2,x2=2,x2=−1x + 5 = 3, \qquad 3x = 2, \qquad x^2 = 2, \qquad x^2 = -1

Η πρώτη απαιτεί μια αφαίρεση που οι φυσικοί δεν επιτρέπουν· η δεύτερη, μια διαίρεση· η τρίτη, μια ρίζα· η τέταρτη, τη ρίζα ενός αρνητικού αριθμού. Για να λυθούν, το σύνολο των φυσικών επεκτείνεται σε τέσσερα στάδια, καθένα από τα οποία περιέχει το προηγούμενο:

N⊂Z⊂Q⊂R⊂C\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R} \subset \mathbb{C}

Όλες οι επεκτάσεις υπακούουν στην ίδια αρχή, που καθοδηγεί το υπόλοιπο μάθημα:

Κάθε νέο αριθμητικό σύνολο διατηρεί τις πράξεις και τις ιδιότητες του προηγούμενου και προσθέτει τα στοιχεία που χρειάζονται ώστε μια αντίστροφη πράξη, προηγουμένως περιορισμένη, να οριστεί.