Μετάβαση στο περιεχόμενο
Topos Uranos
Ελληνικά

Αλγεβρικές συναρτήσεις πραγματικής μεταβλητής

Περίληψη

Το μάθημα αυτό παρουσιάζει την έννοια της συνάρτησης, με το πεδίο ορισμού και το σύνολο τιμών της, και μελετά τις αλγεβρικές συναρτήσεις μιας πραγματικής μεταβλητής: εκείνες που προκύπτουν από τη μεταβλητή με αθροίσματα, διαφορές, γινόμενα, πηλίκα, δυνάμεις και ρίζες. Διδάσκει πώς προσδιορίζεται το πεδίο ορισμού μιας συνάρτησης που ορίζεται με έναν τύπο και πώς υπολογίζεται το σύνολο τιμών σε απλές περιπτώσεις, μελετά τις γραφικές παραστάσεις των δυνάμεων και των ριζών, και ταξινομεί τις συναρτήσεις σε αλγεβρικές και υπερβατικές, και τις αλγεβρικές σε πολυωνυμικές, ρητές και άρρητες.

Μαθησιακοί στόχοι

  1. Να διατυπώνει τον ορισμό της συνάρτησης και να διακρίνει, σε κάθε περίπτωση, το πεδίο ορισμού, το σύνολο αφίξεως και το σύνολο τιμών της.
  2. Να προσδιορίζει το πεδίο ορισμού μιας αλγεβρικής συνάρτησης που ορίζεται με έναν τύπο.
  3. Να υπολογίζει το σύνολο τιμών απλών αλγεβρικών συναρτήσεων λύνοντας ως προς τη μεταβλητή.
  4. Να σχεδιάζει τις γραφικές παραστάσεις των δυνάμεων με φυσικό εκθέτη και των ριζών με βάση τη μονοτονία και την αρτιότητά τους.
  5. Να ταξινομεί μια συνάρτηση ως πολυωνυμική, ρητή, άρρητη ή υπερβατική.

Μεταβλητές και αλγεβρικές παραστάσεις

Μια μεταβλητή είναι ένα σύμβολο που παριστάνει μια θέση όπου μπορεί να γραφτεί ένας αριθμός. Για τους πραγματικούς αριθμούς χρησιμοποιούνται παραδοσιακά τα γράμματα xx, yy και tt· το γράμμα zz συνήθως προορίζεται για τους μιγαδικούς. Όταν χρειάζονται πολλές μεταβλητές, χρησιμοποιούνται δείκτες: x1,x2,…,xnx_1, x_2, \ldots, x_n.

Μια αλγεβρική παράσταση είναι εκείνη που σχηματίζεται από μεταβλητές και πραγματικούς αριθμούς με πεπερασμένο πλήθος αθροισμάτων, διαφορών, γινομένων, πηλίκων, δυνάμεων με ακέραιο εκθέτη και ριζών. Για παράδειγμα:

x3+5x+6x,2x+3x−13x^3 + 5x + \frac{6}{\sqrt{x}}, \qquad \frac{2x + 3}{\sqrt[3]{x - 1}}

Μια αλγεβρική παράσταση δεν έχει πάντοτε νόημα για όλες τις τιμές της μεταβλητής: η πρώτη, για παράδειγμα, δεν έχει νόημα αν το xx είναι αρνητικό, επειδή δεν υπάρχει η τετραγωνική ρίζα, ούτε αν το xx είναι μηδέν, επειδή θα διαιρούσαμε με το μηδέν. Ο ακριβής προσδιορισμός του πού έχει νόημα είναι το πρώτο πρόβλημα που θέτει η μελέτη των συναρτήσεων.