الأعداد الطبيعية: الخلاصة والتحديات

ملخص

يختم هذا الدرس الوحدة المخصّصة للأعداد الطبيعية. فهو يعيد بناء السلسلة الاستنتاجية التي تمتدّ من لغة المجموعات ومسلّمات بيانو إلى صيغة ثنائي الحد لنيوتن، مبيّنًا في كل حلقة أيّ مبدأ يُستعمل وأيّ نتيجة تُحصَّل؛ ويضع ما تحقّق في موضعه من خطة الدورة، ويشرح لماذا تقود حدود الطرح والقسمة بين الأعداد الطبيعية إلى الوحدة اللاحقة، المخصّصة للمجموعات العددية. ويُختم بعشرة تحدّيات، أصعب من مسائل الدروس، تقتضي الجمع بين أدوات عدّة منها.

أهداف التعلم

إعادة بناء الترتيب المنطقي لنتائج الوحدة، مع تعيين المبدأ الذي تستند إليه كلٌّ منها.
شرح الصلة بين الاستقراء والترتيب الحسن والقسمة الإقليدية ووحدانية التحليل إلى عوامل أولية والتوافقات.
تعليل الحاجة إلى توسيع المجموعات العددية انطلاقًا من قصور الطرح والقسمة بين الأعداد الطبيعية.
حلّ مسائل تجمع بين الاستقراء وقابلية القسمة والترقيم الموضعي والعدّ.

ما حقّقته الوحدة

وضعت الوحدة لنفسها غاية استنتاج حساب الأعداد الطبيعية من مبادئ قليلة، دون أن تقبل أيًّا من خواصّه على أنه بديهي. وقد تحقّقت الغاية مع تحفّظات قليلة، صُرّح بكلٍّ منها في موضعه: قواعد نظرية المجموعات الساذجة ونفي المكمّمات، وهي اللغة التي يُكتب بها كل ما سواها؛ ووجود الدوال المعرّفة تراجعيًّا، الذي تضمنه مبرهنة التراجع لديدكايند والذي قُبل لأنه من نظرية المجموعات؛ ووحدانية عدد عناصر مجموعة منتهية، وكون مجموعاتها الجزئية منتهية، وعليهما يقوم العدّ؛ والتبديل المعمَّم، الذي يسمح بإعادة ترتيب عوامل جداء منتهٍ؛ والقواعد الأولية للأعداد الصحيحة والنسبية والحقيقية، التي استعملتها الوحدة قبل أوانها في الأمثلة والمسائل والتي تبنيها الوحدة اللاحقة. ومع هذه التحفّظات يمكن قراءة الطريق المقطوع سلسلةً استنتاجية واحدة من أربعة مقاطع.

الأسس: المجموعات والمسلّمات والعمليات والترتيب

ثبّت الدرس الخاص بـالمجموعات والعلاقات والدوال اللغةَ التي تُكتب بها الوحدة، مصرّحًا بالقليل الذي يقبله من نظرية المجموعات، وبرهن على أن علاقات التكافؤ والتجزئات وجهان لفكرة واحدة: أصناف علاقة تكافؤ تكوّن تجزئة، وكل تجزئة تنشأ عن علاقة تكافؤ وحيدة. وتعود هذه النتيجة إلى الظهور في تصنيف الأعداد الصحيحة بحسب باقيها وفي التوافقات، وتستعملها الوحدة اللاحقة لبناء الأعداد الصحيحة والنسبية أصنافًا من الأزواج. وفي الدرس الخاص بـمسلّمات بيانو عُرّفت الأعداد الطبيعية بواسطة العدد $1$ وعملية التالي وخمس مسلّمات؛ فالمسلّمات من الثانية إلى الرابعة تضمن أن المتتالية لا تتوقف ولا تعود إلى نفسها، والخامسة، مبدأ الاستقراء الرياضي، تضمن أنه لا توجد أعداد طبيعية غير تلك التي يُبلغ إليها انطلاقًا من $1$ . وبنى الدرس الخاص بـالعمليات الأساسية والترتيب فوق التالي، بمبرهنة التراجع، سُلّمًا من التعريفات التراجعية، تُعرَّف فيه كل عملية بالتي قبلها:

n + S(m) = S(n + m), \qquad n \cdot S(m) = n \cdot m + n, \qquad b^{S(n)} = b^n \cdot b

ومن هذه التعريفات استُنتجت بالاستقراء خاصية التبديل وخاصية التجميع وخاصية التوزيع وقانون الاختزال، ومن الجمع حُصّل الترتيب، مع التثليث والتعدي والرتابة. وعُرّف الطرح والقسمة عمليتين عكسيتين، ولكن في حالات معيّنة فقط: يوجد الفرق $a - b$ عندما $b < a$ ، ويوجد خارج القسمة $\frac{a}{b}$ عندما يقسم $b$ العدد $a$ .

مبادئ البرهان

وسّع الدرس الخاص بـالمجاميع والمتواليات والاستقراء رصيد البراهين. فبرهن على أن الاستقراء العادي يستلزم الاستقراء القوي ومبدأ الترتيب الحسن، وعلى أن الترتيب الحسن، مع التوطئة القائلة إن كل عدد طبيعي مختلف عن $1$ هو تالٍ لعدد ما ومع خواص الترتيب، يستلزم بدوره الاستقراء، بحيث يمكن لكل برهان أن يستعمل المبدأ الأنسب له؛ وأعطى المجاميع تعريفًا تراجعيًّا وخواصّ تسمح بحسابها، وبيّن بالمجاميع التلسكوبية أن صيغةً ما يمكن استنتاجها، لا التحقق منها فحسب. وقد تبيّن أن مبدأ الترتيب الحسن هو أداة جلّ براهين الوجود التي تلت، لأنه يسمح باختيار أصغر عنصر في مجموعة والاستدلال بأصغر مثال مضاد.

حساب قابلية القسمة

وبالترتيب الحسن برهن الدرس الخاص بـقابلية القسمة على أن كل عدد صحيح، عند قسمته على عدد طبيعي، له خارج قسمة وباقٍ وحيدان. وعلى هذه المبرهنة تتوقف النتائج الأربع الآتية، وكلٌّ منها يستند إلى ما قبله:

تصنيف الأعداد الصحيحة بحسب باقيها، الذي يسمح بالبرهان بفصل الحالات، وقواعد قابلية القسمة، التي ترجع إلى أن عددين يختلفان بمضاعف لـ $d$ يتركان الباقي نفسه عند قسمتهما على $d$ .
في الدرس الخاص بـالأعداد الأولية، توطئة إقليدس، المبرهن عليها بالترتيب الحسن والقسمة الإقليدية، ومعها المبرهنة الأساسية في الحساب: كل عدد طبيعي أكبر من $1$ هو جداء أعداد أولية بطريقة وحيدة. ومن الوحدانية استُنتج عدد القواسم، وتمييز المربعات الكاملة، وكون الجذور غير التامة غير نسبية.
في الدرس الخاص بـالقاسم المشترك الأكبر، خوارزمية إقليدس، التي تطبّق القسمة الإقليدية حتى تستنفدها، ومتطابقة بيزو، المستنتجة منها، والحلّ التامّ للمعادلات الديوفانتية الخطية.
في الدرس الخاص بـالتطابقات، تحويل كل ما سبق إلى حساب: التوافق بترديد $n$ علاقة تكافؤ متوافقة مع الجمع والضرب، تكوّن أصنافها $\mathbb{Z}_n$ ؛ ومتطابقة بيزو تحسم أيّ البواقي قابل للقلب ومتى يكون لتوافق خطي حلّ، وتعطي مبرهنة الباقي الصينية؛ وتوطئة إقليدس، مع المقلوبات، تعطي مبرهنة فيرما الصغرى.

الكتابة والعدّ

طبّق الدرس الخاص بـأنظمة العدّ الموضعية القسمة الإقليدية مرة بعد مرة ليبرهن على أن كل عدد طبيعي يُكتب بطريقة وحيدة في أيّ أساس، وبذلك علّل طرائق الحساب وقواعد قابلية القسمة في كل أساس. وعاد الدرس الخاص بـالتوافقيات وصيغة ذات الحدين لنيوتن إلى نقطة الانطلاق، لأن العدّ هو العملية التي نشأت منها الأعداد الطبيعية: فمبدأ الجمع ومبدأ الضرب، المبرهن عليهما انطلاقًا من تعريف عدد العناصر بواسطة التقابلات (الثاني بالاستقراء انطلاقًا من الأول)، قادا إلى المعاملات ذات الحدين، وإلى قاعدة باسكال، وإلى صيغة ثنائي الحد، التي يجمع برهانها الاستقراء ورمز المجموع والعدّ.

يجمع الرسم الآتي المقاطع الأربعة في سلسلة واحدة. كل عقدة في العمود تعريفٌ أو مبرهنة، مرقّمة بحسب الترتيب المنطقي، وموصولة بقوس بالحلقات السابقة التي يستعملها برهانها؛ وحولها تطفو الدعامات، أي المبادئ والأدوات التي تعود إليها السلسلة مرة بعد مرة، وكلٌّ منها موصول بخط متّصل بالحلقات التي تستند إليها وبخط منقّط بالحلقة التي يُرسى فيها، إلا ما يُقبل دون برهان، فيُرسم أطواقًا. والنقر على دعامة يُبرز كل الحلقات التي تستعملها، وكل حلقة تحيل إلى الدرس الذي يُبرهن عليها فيه.

دعامات السلسلة

Aمبدأ الاستقراء الرياضي. إذا تحقّقت خاصية من أجل $1$ ، وكانت، إذا سُلّم بتحقّقها من أجل عدد طبيعي ما $k$ ، تتحقّق من أجل تاليه $S(k)$ ، فإنها تتحقّق من أجل كل الأعداد الطبيعية. تثبت في: 2. مسلّمات بيانو.
Bمبرهنة التراجع. إذا ثُبّتت القيمة عند $1$ وقاعدةٌ تعطي القيمة عند $S(n)$ انطلاقًا من القيمة عند $n$ ، وُجدت دالة وحيدة على الأعداد الطبيعية تحقّقهما؛ وبذلك يُعرَّف الجمع والضرب والرفع إلى قوة والمجموع والعاملي. ويُقبل الوجود؛ وتُبرهن الوحدانية بالاستقراء. يُقبل دون برهان في هذه الوحدة.
Cالاستقراء القوي. يكفي البرهان على خاصية من أجل $1$ ، وعلى أنها، إذا سُلّم بتحقّقها من أجل كل الأعداد الطبيعية من $1$ إلى $n$ ، تتحقّق من أجل $n + 1$ . تثبت في: 9. الاستقراء القوي.
Dالترتيب الحسن. لكل مجموعة غير خالية من الأعداد الطبيعية عنصر أصغر، وهذا يسمح بالاستدلال بأصغر مثال مضاد. تثبت في: 10. مبدأ الترتيب الحسن.
Eالقسمة الإقليدية. من أجل كل عدد صحيح $a$ وكل عدد طبيعي $b$ يوجد خارج قسمة وحيد $q$ وباقٍ وحيد $r$ بحيث $a = bq + r$ و $0 \leq r < b$ . تثبت في: 12. القسمة الإقليدية.
Fالتركيبات الخطية. إذا قسم عدد صحيح $d$ العددين الصحيحين $a$ و $b$ ، فإنه يقسم $ax + by$ من أجل كل عددين صحيحين $x$ و $y$ ؛ وبخاصة يقسم مجموعهما وفرقهما. تثبت في: 11. خواص قابلية القسمة.
Gأعداد مستعملة قبل أوانها. القواعد الأولية للحساب والترتيب في الأعداد الصحيحة والنسبية والحقيقية (الإشارات، والاختزال، والكسور، والجذور) تُستعمل في هذه الوحدة قبل أوانها دون برهان؛ وبناؤها موضوع الوحدة اللاحقة. يُقبل دون برهان في هذه الوحدة.
Hعدد العناصر. المجموعة التي تقبل تقابلًا مع $\{1, \ldots, n\}$ لها $n$ عنصرًا؛ ويُقبل أن هذا العدد وحيد وأن المجموعات الجزئية لمجموعة منتهية منتهية. يُقبل دون برهان في هذه الوحدة.

المقطع 1 الأسس: المجموعات والمسلّمات والعمليات والترتيب
- تثبيت لغة المجموعات والعلاقات والدوال، والبرهان على التناظر بين علاقات التكافؤ والتجزئات.
- تعريف الأعداد الطبيعية انطلاقًا من $1$ ومن التالي بواسطة مسلّمات بيانو الخمس.
- بناء سُلّم من التعريفات التراجعية فوق التالي: الجمع والضرب والرفع إلى قوة.
- استنتاج خاصية التبديل وخاصية التجميع وخاصية التوزيع وقانون الاختزال بالاستقراء.
- تحصيل الترتيب من الجمع، مع التثليث والتعدي والرتابة، وتحديد متى يوجد الفرق وخارج القسمة.
1. التكافؤات والتجزئات. أصناف علاقة تكافؤ على مجموعة تكوّن تجزئة لها، وكل تجزئة هي مجموعة أصناف علاقة تكافؤ وحيدة.
  يُبرهن في: المجموعات والعلاقات والدوال.
2. مسلّمات بيانو. تتولّد الأعداد الطبيعية من $1$ بواسطة التالي: $1$ ليس تاليًا لأيّ عدد، والأعداد الطبيعية المختلفة لها توالٍ مختلفة، وكل مجموعة تحوي $1$ وتالي كل عنصر من عناصرها تحوي كل الأعداد الطبيعية.
  يُبرهن في: الأعداد الطبيعية ومسلّمات بيانو.
3. الجمع التراجعي. الجمع، المعرَّف بـ $n + 1 = S(n)$ و $n + S(m) = S(n + m)$ ، تبديلي وتجميعي ويقبل الاختزال.
  تستعمل: 2. مسلّمات بيانو. تستند إلى: A (مبدأ الاستقراء الرياضي), B (مبرهنة التراجع). يُبرهن في: العمليات الأساسية على الأعداد الطبيعية وعلاقات الترتيب.
4. الضرب والقوة. الضرب، المعرَّف بـ $n \cdot 1 = n$ و $n \cdot S(m) = n \cdot m + n$ ، تبديلي وتجميعي وتوزيعي ويقبل الاختزال، والقوة تحقّق $b^n b^m = b^{n + m}$ و $(b^n)^m = b^{nm}$ و $(ab)^n = a^n b^n$ .
  تستعمل: 3. الجمع التراجعي. تستند إلى: A (مبدأ الاستقراء الرياضي), B (مبرهنة التراجع). يُبرهن في: العمليات الأساسية على الأعداد الطبيعية وعلاقات الترتيب.
5. الترتيب والطرح والقسمة. إذا كان $a < b$ يعني أن $a + k = b$ من أجل عدد طبيعي ما $k$ ، فبين عددين طبيعيين تتحقّق علاقة واحدة بالضبط من العلاقات $a < b$ و $a = b$ و $b < a$ ، والترتيب متعدٍّ ويُحفظ عند الجمع وعند الضرب؛ ولا يوجد الفرق $a - b$ إلا عندما $b < a$ ، ولا يوجد خارج القسمة $\frac{a}{b}$ إلا عندما يقسم $b$ العدد $a$ ، وكلاهما وحيد بقانون الاختزال.
  تستعمل: 2. مسلّمات بيانو, 3. الجمع التراجعي, 4. الضرب والقوة. تستند إلى: A (مبدأ الاستقراء الرياضي). يُبرهن في: العمليات الأساسية على الأعداد الطبيعية وعلاقات الترتيب.
المقطع 2 مبادئ البرهان
- البرهان على أن الاستقراء العادي والاستقراء القوي ومبدأ الترتيب الحسن متكافئة.
- تعريف المجموع تراجعيًّا واستنتاج خواصّه.
- استنتاج صيغ بالمجاميع التلسكوبية، بدل الاكتفاء بالتحقق منها.
- جمع المتتاليات الحسابية والهندسية.
1. الاستقراء انطلاقًا من عدد طبيعي. الخاصية التي تتحقّق من أجل $n_0$ وتنتقل من كل عدد طبيعي $k \geq n_0$ إلى $k + 1$ تتحقّق من أجل كل عدد طبيعي $n \geq n_0$ .
  تستعمل: 5. الترتيب والطرح والقسمة. تستند إلى: A (مبدأ الاستقراء الرياضي). يُبرهن في: المجاميع والمتواليات والاستقراء.
2. المجموع والمجموع التلسكوبي. المجموع، معرَّفًا تراجعيًّا، خطيّ، ويتجزّأ إلى مجاميع متتابعة، ويقبل إزاحة الدليل وعكس الترتيب؛ ومجموع فروق بين قيم متتابعة يساوي القيمة الأخيرة ناقص الأولى: $\sum_{k=1}^{n} (b_{k + 1} - b_k) = b_{n + 1} - b_1$ .
  تستعمل: 4. الضرب والقوة, 6. الاستقراء انطلاقًا من عدد طبيعي. تستند إلى: A (مبدأ الاستقراء الرياضي), B (مبرهنة التراجع). يُبرهن في: المجاميع والمتواليات والاستقراء.
3. المتتاليات. مجموع $n$ حدًّا من متتالية حسابية هو $\frac{n(a_1 + a_n)}{2}$ ، ومجموع حدود متتالية هندسية حدّها الأول $a$ ونسبتها المشتركة $r \neq 1$ هو $a \cdot \frac{r^n - 1}{r - 1}$ .
  تستعمل: 7. المجموع والمجموع التلسكوبي. تستند إلى: A (مبدأ الاستقراء الرياضي), G (أعداد مستعملة قبل أوانها). يُبرهن في: المجاميع والمتواليات والاستقراء.
4. الاستقراء القوي. إذا تحقّقت خاصية من أجل $1$ ، وكانت، إذا سُلّم بتحقّقها من أجل كل الأعداد الطبيعية من $1$ إلى $n$ ، تتحقّق من أجل $n + 1$ ، فإنها تتحقّق من أجل كل الأعداد الطبيعية.
  تستعمل: 6. الاستقراء انطلاقًا من عدد طبيعي. تستند إلى: A (مبدأ الاستقراء الرياضي). يُبرهن في: المجاميع والمتواليات والاستقراء.
5. مبدأ الترتيب الحسن. لكل مجموعة من الأعداد الطبيعية فيها عنصر واحد على الأقل عنصرٌ أصغر؛ ومع التوطئة القائلة إن كل عدد طبيعي مختلف عن $1$ هو تالٍ لعدد ما ومع خواص الترتيب، يستلزم الترتيب الحسن بدوره الاستقراء، فتكون المبادئ الثلاثة متكافئة.
  تستعمل: 5. الترتيب والطرح والقسمة. تستند إلى: C (الاستقراء القوي). يُبرهن في: المجاميع والمتواليات والاستقراء.
المقطع 3 حساب قابلية القسمة
- البرهان بالترتيب الحسن على وجود خارج القسمة والباقي ووحدانيتهما.
- تصنيف الأعداد الصحيحة بحسب باقيها وتأسيس قواعد قابلية القسمة على ذلك.
- البرهان على لانهائية الأعداد الأولية وعلى توطئة إقليدس ووحدانية التحليل إلى عوامل أولية، مع نتائجها.
- حساب القاسم المشترك الأكبر بخوارزمية إقليدس، واستنتاج متطابقة بيزو منها، وحلّ المعادلات الديوفانتية الخطية.
- الحساب بالتوافقات، وتحديد أيّ البواقي قابل للقلب، وحلّ التوافقات الخطية والأنظمة ذات الترديدات الأولية فيما بينها، والبرهان على مبرهنة فيرما الصغرى.
1. خواص قابلية القسمة. قابلية القسمة بين الأعداد الصحيحة انعكاسية ومتعدية، وقاسم عدد صحيح $a > 0$ يقع بين $-a$ و $a$ ، وإذا قسم $d$ العددين $a$ و $b$ فإنه يقسم كل تركيب $ax + by$ .
  تستعمل: 5. الترتيب والطرح والقسمة. تستند إلى: G (أعداد مستعملة قبل أوانها). يُبرهن في: قابلية القسمة والقسمة مع الباقي.
2. القسمة الإقليدية. من أجل كل عدد صحيح $a$ وكل عدد طبيعي $b$ يوجد خارج قسمة وحيد $q$ وباقٍ وحيد $r$ بحيث $a = bq + r$ و $0 \leq r < b$ .
  تستند إلى: D (الترتيب الحسن), G (أعداد مستعملة قبل أوانها). يُبرهن في: قابلية القسمة والقسمة مع الباقي.
3. البواقي والقواعد. يترك عددان صحيحان الباقي نفسه عند قسمتهما على $d$ إذا وفقط إذا كان فرقهما مضاعفًا لـ $d$ ؛ ومن ذلك يلزم باقي المجموع وباقي الجداء وباقي القوة، وقواعد القسمة على $3$ وعلى $9$ وعلى $11$ .
  تستند إلى: A (مبدأ الاستقراء الرياضي), E (القسمة الإقليدية), F (التركيبات الخطية). يُبرهن في: قابلية القسمة والقسمة مع الباقي.
4. القاسم الأولي واللانهائية. لكل عدد طبيعي $n > 1$ قاسم أولي، وإذا كان $n$ مؤلفًا فإن أصغر قاسم أولي له $p$ يحقّق $p^2 \leq n$ ؛ ومن ذلك يلزم أنه لا توجد قائمة منتهية تحوي كل الأعداد الأولية.
  تستعمل: 5. الترتيب والطرح والقسمة, 11. خواص قابلية القسمة. تستند إلى: D (الترتيب الحسن), F (التركيبات الخطية). يُبرهن في: الأعداد الأولية والمبرهنة الأساسية في الحساب.
5. توطئة إقليدس. إذا قسم عدد أولي الجداء $ab$ فإنه يقسم $a$ أو يقسم $b$ ؛ وإذا قسم جداء عدة عوامل فإنه يقسم أحدها.
  تستند إلى: A (مبدأ الاستقراء الرياضي), D (الترتيب الحسن), E (القسمة الإقليدية), F (التركيبات الخطية). يُبرهن في: الأعداد الأولية والمبرهنة الأساسية في الحساب.
6. المبرهنة الأساسية. كل عدد طبيعي $n > 1$ هو جداء أعداد أولية، وهذا التحليل وحيد بصرف النظر عن ترتيب العوامل.
  تستعمل: 4. الضرب والقوة, 15. توطئة إقليدس. تستند إلى: D (الترتيب الحسن). يُبرهن في: الأعداد الأولية والمبرهنة الأساسية في الحساب.
7. القواسم والجذور غير النسبية. إذا كان $n = p_1^{e_1} \cdots p_k^{e_k}$ فإن قواسمه هي الأعداد $p_1^{f_1} \cdots p_k^{f_k}$ حيث $0 \leq f_i \leq e_i$ ، وعددها $(e_1 + 1) \cdots (e_k + 1)$ ؛ والعدد الطبيعي $n > 1$ قوة كاملة من الرتبة $k$ إذا وفقط إذا كانت كل الأسس في تحليله مضاعفات لـ $k$ ، وإن لم يكن كذلك فلا يوجد عددان طبيعيان $a$ و $b$ بحيث $a^k = n b^k$ ، أي أن جذره من الرتبة $k$ غير نسبي.
  تستعمل: 15. توطئة إقليدس, 16. المبرهنة الأساسية. تستند إلى: A (مبدأ الاستقراء الرياضي), G (أعداد مستعملة قبل أوانها). يُبرهن في: الأعداد الأولية والمبرهنة الأساسية في الحساب.
8. خوارزمية إقليدس. إذا كان $a = bq + r$ فإن للزوجين $a, b$ و $b, r$ القواسم المشتركة نفسها؛ ولذلك فإن $\operatorname{gcd}(a, b)$ هو آخر باقٍ غير منعدم في القسمات المتتابعة.
  تستند إلى: D (الترتيب الحسن), E (القسمة الإقليدية), F (التركيبات الخطية). يُبرهن في: القاسم المشترك الأكبر والمضاعف المشترك الأصغر.
9. متطابقة بيزو. يوجد عددان صحيحان $x$ و $y$ بحيث $ax + by = \operatorname{gcd}(a, b)$ ، والقاسم المشترك الأكبر هو أصغر عدد طبيعي يُكتب على هذا الشكل.
  تستعمل: 18. خوارزمية إقليدس. تستند إلى: A (مبدأ الاستقراء الرياضي), F (التركيبات الخطية), G (أعداد مستعملة قبل أوانها). يُبرهن في: القاسم المشترك الأكبر والمضاعف المشترك الأصغر.
10. جداء القاسم المشترك الأكبر في المضاعف المشترك الأصغر. يتحقّق $\operatorname{gcd}(a, b) \cdot \operatorname{lcm}(a, b) = ab$ ، وكل مضاعف مشترك لـ $a$ و $b$ هو مضاعف لمضاعفهما المشترك الأصغر.
  تستعمل: 4. الضرب والقوة, 16. المبرهنة الأساسية, 17. القواسم والجذور غير النسبية. تستند إلى: D (الترتيب الحسن), E (القسمة الإقليدية), F (التركيبات الخطية). يُبرهن في: القاسم المشترك الأكبر والمضاعف المشترك الأصغر.
11. المعادلات الديوفانتية. للمعادلة $ax + by = c$ حلول صحيحة إذا وفقط إذا كان $d = \operatorname{gcd}(a, b)$ يقسم $c$ ، وعندئذ تكون كل الحلول $x = x_0 + \frac{b}{d} t$ و $y = y_0 - \frac{a}{d} t$ ، حيث $t$ عدد صحيح.
  تستعمل: 19. متطابقة بيزو, 20. جداء القاسم المشترك الأكبر في المضاعف المشترك الأصغر. تستند إلى: F (التركيبات الخطية), G (أعداد مستعملة قبل أوانها). يُبرهن في: القاسم المشترك الأكبر والمضاعف المشترك الأصغر.
12. التوافقات والبواقي. يكون عددان صحيحان متوافقين بترديد $n$ إذا وفقط إذا تركا الباقي نفسه عند قسمتهما على $n$ ؛ والتوافق علاقة تكافؤ متوافقة مع الجمع والضرب، وأصنافها التي عددها $n$ ، وهي أصناف البواقي $0, 1, \ldots, n - 1$ ، تكوّن $\mathbb{Z}_n$ .
  تستعمل: 1. التكافؤات والتجزئات, 13. البواقي والقواعد. تستند إلى: E (القسمة الإقليدية), F (التركيبات الخطية). يُبرهن في: التطابقات والحساب النمطي.
13. البواقي القابلة للقلب. يكون لعدد صحيح $a$ مقلوب بترديد $n$ إذا وفقط إذا كان $\operatorname{gcd}(a, n) = 1$ ، وعندئذ يكون وحيدًا بترديد $n$ ؛ وللتوافق $ax \equiv b \pmod{n}$ حلّ إذا وفقط إذا كان $d = \operatorname{gcd}(a, n)$ يقسم $b$ ، وعندئذ تكون له حلول عددها $d$ بترديد $n$ .
  تستعمل: 22. التوافقات والبواقي, 19. متطابقة بيزو, 21. المعادلات الديوفانتية. تستند إلى: F (التركيبات الخطية). يُبرهن في: التطابقات والحساب النمطي.
14. مبرهنة الباقي الصينية. إذا كان العددان الطبيعيان $m$ و $n$ أوليين فيما بينهما، فإن النظام المكوَّن من $x \equiv a \pmod{m}$ و $x \equiv b \pmod{n}$ له حلّ، وهو وحيد بترديد $mn$ .
  تستعمل: 22. التوافقات والبواقي, 19. متطابقة بيزو, 20. جداء القاسم المشترك الأكبر في المضاعف المشترك الأصغر. تستند إلى: G (أعداد مستعملة قبل أوانها). يُبرهن في: التطابقات والحساب النمطي.
15. مبرهنة فيرما الصغرى. إذا كان $p$ أوليًّا ولا يقسم العدد الصحيح $a$ ، فإن $a^{p - 1} \equiv 1 \pmod{p}$ ؛ ومن أجل كل عدد صحيح $a$ ، $a^p \equiv a \pmod{p}$ .
  تستعمل: 22. التوافقات والبواقي, 15. توطئة إقليدس, 23. البواقي القابلة للقلب. يُبرهن في: التطابقات والحساب النمطي.
المقطع 4 الكتابة والعدّ
- البرهان على أن كل عدد طبيعي يُكتب بطريقة وحيدة في أيّ أساس.
- تعليل الجمع بالأعمدة وقواعد قابلية القسمة في كل أساس.
- العدّ بمبدأ الجمع ومبدأ الضرب، واستخراج المعاملات ذات الحدين وقاعدة باسكال منهما.
- البرهان على صيغة ثنائي الحد، التي تجمع الاستقراء ورمز المجموع والعدّ.
1. التمثيل الموضعي. من أجل كل أساس $b \geq 2$ ، يُكتب كل عدد طبيعي بطريقة وحيدة على الشكل $a_k b^k + \cdots + a_1 b + a_0$ ، بأرقام بين $0$ و $b - 1$ و $a_k \neq 0$ .
  تستند إلى: C (الاستقراء القوي), D (الترتيب الحسن), E (القسمة الإقليدية). يُبرهن في: أنظمة العدّ الموضعية.
2. الحساب والقواعد في كل أساس. الجمع بالأعمدة يعطي تمثيل المجموع، وفي الأساس $b$ يترك العدد الباقي نفسه الذي يتركه مجموع أرقامه عند قسمته على $b - 1$ ، والذي يتركه مجموعه المتناوب عند قسمته على $b + 1$ .
  تستعمل: 7. المجموع والمجموع التلسكوبي, 13. البواقي والقواعد, 26. التمثيل الموضعي. تستند إلى: A (مبدأ الاستقراء الرياضي), E (القسمة الإقليدية). يُبرهن في: أنظمة العدّ الموضعية.
3. مبادئ العدّ. اتحاد مجموعتين لا عناصر مشتركة بينهما، عدد عناصرهما $m$ و $n$ ، فيه $m + n$ عنصرًا، والاختيار على مرحلتين، بـ $m$ طريقة وبـ $n$ طريقة، يتمّ بـ $mn$ طريقة.
  تستعمل: 3. الجمع التراجعي, 4. الضرب والقوة, 5. الترتيب والطرح والقسمة. تستند إلى: A (مبدأ الاستقراء الرياضي), H (عدد العناصر). يُبرهن في: التوافقيات الأولية وصيغة ذات الحدين لنيوتن.
4. المعاملات ذات الحدين وقاعدة باسكال. لمجموعة من $n$ عنصرًا $\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!\,(n - k)!}$ مجموعة جزئية من $k$ عناصر؛ ويتحقّق $\binom{n + 1}{k} = \binom{n}{k - 1} + \binom{n}{k}$ ، ومنه تكوّن المعاملات مثلث باسكال، ومجموع السطر $n$ هو $2^n$ .
  تستعمل: 28. مبادئ العدّ. تستند إلى: B (مبرهنة التراجع), H (عدد العناصر). يُبرهن في: التوافقيات الأولية وصيغة ذات الحدين لنيوتن.
5. صيغة ثنائي الحد لنيوتن. من أجل كل عددين $x$ و $y$ ، طبيعيين أو، استباقًا للوحدة اللاحقة، حقيقيين، وكل عدد طبيعي $n$ ، يتحقّق $(x + y)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} x^{n - k} y^k$ .
  تستعمل: 7. المجموع والمجموع التلسكوبي, 29. المعاملات ذات الحدين وقاعدة باسكال. تستند إلى: A (مبدأ الاستقراء الرياضي), G (أعداد مستعملة قبل أوانها). يُبرهن في: التوافقيات الأولية وصيغة ذات الحدين لنيوتن.

نحو المجموعات العددية. تتوقف السلسلة حيث تكفّ الأعداد الطبيعية عن الكفاية: فالطرح والقسمة لا يوجدان إلا في حالات معيّنة، والمعادلة $x^2 = n$ ليس لها حلّ نسبي عندما لا يكون $n$ مربعًا كاملًا. وتوسّع الوحدة اللاحقة الأعداد الطبيعية لتدارك ذلك.

في بقية هذا الدرس

الوحدة داخل الدورة
تقييم الخروج
التحدّيات
القوة التي تلحق بالمكعّب
الأعداد التي ليست مجاميع لأعداد متتابعة
هرم من البرتقال
عدد أولي يجمع قوة ومربعًا
الأصفار في آخر عاملي
القاسم المشترك الأكبر لمربعين متجاورين
المبالغ المستحيلة
رقمان متساويان
مجموعات جزئية بلا جيران
الأعداد الفردية في مثلث باسكال