جبر النهايات

خطة البراهين

في الدرس الخاص بـنهاية الدوال لمتغير حقيقي واحد بُرهن بالتعريف أن $\lim_{x \to 3} x^2 = 9$، وكان العمل هو حدّ $\abs{x^2 - 9}$ من الأعلى بمضاعف لـ$\abs{x - 3}$. ولكل قواعد هذا الدرس الشكل نفسه: لإثبات أن دالة $F$ تؤول إلى $K$، تُحدّ المسافة $\abs{F(x) - K}$ من الأعلى بمضاعف لمسافات نعلم مسبقًا أنها تصير صغيرة. وإذا كان الأمر كذلك، فمن المفيد أن يُبرهن مرة واحدة، بإبسيلون ودلتا، أن مثل هذا الحد الأعلى يكفي؛ وبعد ذلك تُردّ كل قاعدة إلى إيجاد المتباينة المناسبة، ولا تتكرر أي حجة بإبسيلون ودلتا.

في الدرس كله، $f$ و$g$ دالتان حقيقيتان معرّفتان على المجموعة نفسها $A$، والنقطة $a$ نقطة تراكم لـ$A$، وحين يقال إن $f(x)$ تحقق أمرًا ما «قرب $a$»، فالمقصود أنه يوجد $r > 0$ بحيث يحققه كل $x$ من $A$ حيث $0 < \abs{x - a} < r$. ويُستعمل من الدرس الماضي التعريف، ووحدانية النهاية، ونهايتا الدالة الثابتة والدالة المحايدة، والتوطئة التي بموجبها لا تتوقف النهاية إلا على القيم القريبة من النقطة، والمحدودية المحلية مع حفظ الإشارة.