انتقل إلى المحتوى
Topos Uranos
العربية

تحويل المجاميع إلى جداءات والشكل التوافقي

ملخص

يستنتج درسنا هذا من صيغ جيب المجموع والفرق وجيب تمامهما الصيغَ التي تحوّل جداءات الجيوب وجيوب التمام إلى مجاميع، وبالعكس تحوّل المجاميع إلى جداءات، ويفسّر هذه الأخيرة على دائرة الوحدة بواسطة منتصف وتر الدائرة. ويبرهن أن كل عبارة asin⁡x+bcos⁡xa \sin x + b \cos x تُكتب على الشكل التوافقي Rsin⁡(x+φ)R \sin(x + \varphi)، حيث R=a2+b2R = \sqrt{a^2 + b^2} وزاوية φ\varphi وحيدة في [0,2π)\ico{0}{2\pi}، ويستخرج من ذلك مداها بطريقتين، إحداهما متباينة كوشي-شفارتز، ويخلص إلى أن تراكب تذبذبين لهما التردد نفسه هو تذبذب أيضًا. ويفسّر الضربات بأنها جداء تذبذب بطيء في تذبذب سريع، وبالضرب في عامل يجعل المجموع تلسكوبيًا يحسب بصيغة مغلقة مجاميع جيوب زوايا في متوالية حسابية ومجاميع جيوب تمامها.

أهداف التعلم

  1. استنتاج صيغ تحويل الجداء إلى مجموع وتحويل المجموع إلى جداء انطلاقًا من صيغ المجموع والفرق، وتفسير هذه الأخيرة على دائرة الوحدة.
  2. كتابة كل عبارة asin⁡x+bcos⁡xa \sin x + b \cos x على الشكل التوافقي، والبرهان على وجود سعتها وزاويتها ووحدانيتهما، واستعمالها لإيجاد المدى والقيم العظمى والصغرى.
  3. التعرّف على تراكب تذبذبين لهما التردد نفسه بوصفه تذبذبًا، ووصف الضربات بواسطة منحناها المغلِّف.
  4. حساب مجاميع جيوب وجيوب تمام في متوالية حسابية بواسطة المجاميع التلسكوبية، وتطبيق هذه التحويلات على تبسيط العبارات وعلى البرهان على المتطابقات.

من الجداءات إلى المجاميع

في درس صيغ المجموع والفرق بُرهنت، لجميع الأعداد الحقيقية α\alpha وβ\beta، المساويات الأربع الآتية:

sin⁡(α+β)=sin⁡αcos⁡β+cos⁡αsin⁡β,sin⁡(α−β)=sin⁡αcos⁡β−cos⁡αsin⁡β\sin(\alpha + \beta) = \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta, \qquad \sin(\alpha - \beta) = \sin \alpha \cos \beta - \cos \alpha \sin \beta
cos⁡(α+β)=cos⁡αcos⁡β−sin⁡αsin⁡β,cos⁡(α−β)=cos⁡αcos⁡β+sin⁡αsin⁡β\cos(\alpha + \beta) = \cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta, \qquad \cos(\alpha - \beta) = \cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta

تحتوي الصيغتان في كل زوج على الجداءين أنفسهما، ولا تختلفان إلا في إشارة الجداء الثاني. وإذا كان الأمر كذلك، فعند جمعهما أو طرح إحداهما من الأخرى يُحذف أحد الجداءين ويتضاعف الآخر: فكل جداء جيب أو جيب تمام في جيب أو جيب تمام آخر يُعبَّر عنه بنصف مجموع أو بنصف فرق جيوب أو جيوب تمام. هذه الصيغ، المسماة صيغ البروستافيريسيس (من اليونانية، «الجمع والطرح»)، أفادت فلكيي أواخر القرن السادس عشر، ومنهم تيخو براهي، في ردّ ضرب الأعداد الكثيرة الأرقام إلى عمليات جمع وطرح، بالرجوع إلى جداول الجيوب، قبل أن ينشر جون نابيير جداول اللوغاريتمات سنة 1614.

مبرهنةتحويل الجداء إلى مجموع

لجميع الأعداد الحقيقية α\alpha وβ\beta، الجداء sin⁡αcos⁡β\sin \alpha \cos \beta هو نصف مجموع sin⁡(α+β)\sin(\alpha + \beta) وsin⁡(α−β)\sin(\alpha - \beta)؛ والجداء cos⁡αsin⁡β\cos \alpha \sin \beta هو نصف الفرق بين هذين الجيبين نفسيهما؛ والجداء cos⁡αcos⁡β\cos \alpha \cos \beta هو نصف مجموع cos⁡(α−β)\cos(\alpha - \beta) وcos⁡(α+β)\cos(\alpha + \beta)، والجداء sin⁡αsin⁡β\sin \alpha \sin \beta هو نصف الفرق بينهما.

sin⁡αcos⁡β=12(sin⁡(α+β)+sin⁡(α−β)),cos⁡αsin⁡β=12(sin⁡(α+β)−sin⁡(α−β))\sin \alpha \cos \beta = \frac{1}{2} \left( \sin(\alpha + \beta) + \sin(\alpha - \beta) \right), \qquad \cos \alpha \sin \beta = \frac{1}{2} \left( \sin(\alpha + \beta) - \sin(\alpha - \beta) \right)
cos⁡αcos⁡β=12(cos⁡(α−β)+cos⁡(α+β)),sin⁡αsin⁡β=12(cos⁡(α−β)−cos⁡(α+β))\cos \alpha \cos \beta = \frac{1}{2} \left( \cos(\alpha - \beta) + \cos(\alpha + \beta) \right), \qquad \sin \alpha \sin \beta = \frac{1}{2} \left( \cos(\alpha - \beta) - \cos(\alpha + \beta) \right)

تنتج كل صيغة من جمع صيغتي زوج واحد أو من طرح إحداهما من الأخرى. ويوضّحها الرسم مع α=2x\alpha = 2x وβ=x\beta = x: الجداء، بالخط العريض، ينطبق على نصف مجموع أو نصف فرق التذبذبين اللذين تردداهما 33 و11، بالخط الرفيع.

البرهان

  1. sin⁡(α+β)+sin⁡(α−β)=2sin⁡αcos⁡β→sin⁡αcos⁡β=12(sin⁡(α+β)+sin⁡(α−β))\sin(\alpha + \beta) + \sin(\alpha - \beta) = \resaltar{2 \sin \alpha \cos \beta} \rightarrow \dato{sc}{\sin \alpha \cos \beta = \frac{1}{2} \left( \sin(\alpha + \beta) + \sin(\alpha - \beta) \right)}

    نجمع صيغتي جيب المجموع وجيب الفرق: فيُحذف الحدّان cos⁡αsin⁡β\cos \alpha \sin \beta. وبالقسمة على 22 نحصل على الصيغة الأولى.

  2. sin⁡(α+β)−sin⁡(α−β)=2cos⁡αsin⁡β→cos⁡αsin⁡β=12(sin⁡(α+β)−sin⁡(α−β))\sin(\alpha + \beta) - \sin(\alpha - \beta) = \resaltar{2 \cos \alpha \sin \beta} \rightarrow \cos \alpha \sin \beta = \frac{1}{2} \left( \sin(\alpha + \beta) - \sin(\alpha - \beta) \right)

    وإذا طرحنا بدل الجمع، يُحذف الحدّان sin⁡αcos⁡β\sin \alpha \cos \beta.

  3. cos⁡(α−β)+cos⁡(α+β)=2cos⁡αcos⁡β→cos⁡αcos⁡β=12(cos⁡(α−β)+cos⁡(α+β))\cos(\alpha - \beta) + \cos(\alpha + \beta) = \resaltar{2 \cos \alpha \cos \beta} \rightarrow \dato{cc}{\cos \alpha \cos \beta = \frac{1}{2} \left( \cos(\alpha - \beta) + \cos(\alpha + \beta) \right)}

    ونعمل بالطريقة نفسها مع صيغتي جيب التمام. عند جمعهما تُحذف جداءات الجيوب.

  4. cos⁡(α−β)−cos⁡(α+β)=2sin⁡αsin⁡β→sin⁡αsin⁡β=12(cos⁡(α−β)−cos⁡(α+β))\cos(\alpha - \beta) - \cos(\alpha + \beta) = \resaltar{2 \sin \alpha \sin \beta} \rightarrow \dato{ss}{\sin \alpha \sin \beta = \frac{1}{2} \left( \cos(\alpha - \beta) - \cos(\alpha + \beta) \right)}

    وعندما تُطرح صيغة جيب تمام المجموع من صيغة جيب تمام الفرق، تُحذف جداءات جيوب التمام.

  5. sin⁡αcos⁡α=12sin⁡(2α),cos⁡2α=12(1+cos⁡(2α)),sin⁡2α=12(1−cos⁡(2α))\sin \alpha \cos \alpha = \frac{1}{2} \sin(2\alpha), \quad \cos^2 \alpha = \frac{1}{2} \left( 1 + \cos(2\alpha) \right), \quad \sin^2 \alpha = \frac{1}{2} \left( 1 - \cos(2\alpha) \right)

    مع β=α\beta = \alpha، وبما أن sin⁡0=0\sin 0 = 0 وcos⁡0=1\cos 0 = 1، نستعيد صيغة ضعف الزاوية للجيب وصيغ خفض الأس من درس صيغ المجموع والفرق. وفي الرسم، يتذبذب sin⁡2x\sin^2 x بدور π\pi حول 12\frac{1}{2}.

تسمح هذه الصيغ بحساب جداءات لا تؤول إلى القيم الخاصة عاملًا عاملًا. فمثلًا، مع α=5π12\alpha = \frac{5\pi}{12} وβ=π12\beta = \frac{\pi}{12}، يكون مجموع الزاويتين π2\frac{\pi}{2} والفرق بينهما π3\frac{\pi}{3}:

cos⁡5π12cos⁡π12=12(cos⁡π3+cos⁡π2)=12(12+0)=14\cos \frac{5\pi}{12} \cos \frac{\pi}{12} = \frac{1}{2} \left( \cos \frac{\pi}{3} + \cos \frac{\pi}{2} \right) = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{2} + 0 \right) = \frac{1}{4}

غير أن الفائدة الأساسية لهذه الصيغ أمر آخر: فجداء تذبذبين، وهو صعب التصوّر، هو تراكب تذبذبين ترددهما مجموع ترددي العاملين والفرق بينهما. وهكذا، sin⁡(3x)cos⁡x=12(sin⁡(4x)+sin⁡(2x))\sin(3x) \cos x = \frac{1}{2} \left( \sin(4x) + \sin(2x) \right).