انتقل إلى المحتوى
Topos Uranos
العربية

المعادلات والمتراجحات من الدرجة الأولى والأنظمة الخطية

ملخص

يدرس هذا الدرس المعادلات والمتراجحات من الدرجة الأولى وأنظمة المعادلات الخطية. فيبرهن على العمليات التي تحوّل معادلة إلى معادلة أخرى لها الحلول نفسها، ويشرح لماذا قد يضيف الضرب في عبارة يمكن أن تنعدم، أو التربيع، حلولًا أو يحذفها. ويناقش مناقشة كاملة المعادلة ax+b=0ax + b = 0، ومنها الحالة التي تتعلق فيها معاملاتها بوسيط، ويحل معادلات فيها كسور ومتراجحات خطية، منفردة ومتزامنة، ويكتب مجموعات حلولها على شكل فترات. وأخيرًا، يحل أنظمة معادلتين بمجهولين بطرق التعويض والحذف والمقارنة، ويبرهن على قاعدة كرامر، ويصنّف الأنظمة بحسب محددها، ويحل نظامًا من ثلاث معادلات بطريقة الحذف، ويترجم إلى أنظمة مسائل في الخلائط والأعمار والسرعات.

أهداف التعلم

  1. تعليل العمليات التي تحافظ على مجموعة حلول معادلة أو متراجحة، والتعرف على العمليات التي قد تضيف حلولًا أو تحذفها.
  2. مناقشة معادلات الدرجة الأولى وحلها، بوسائط أو بكسور، وحل المتراجحات الخطية المنفردة والمتزامنة، مع كتابة حلولها على شكل فترات.
  3. حل أنظمة معادلتين خطيتين بطرق التعويض والحذف والمقارنة، وتصنيفها بحسب محددها بواسطة قاعدة كرامر.
  4. صياغة أنظمة خطية تنمذج مسائل وحلها، مع تفسير حالات الحلول غير المنتهية العدد أو انعدام الحل.

المعادلات والمعادلات المتكافئة

المعادلة في المجهول xx هي مساواة A=BA = B بين عبارتين تتعلقان بـ xx. وحلولها هي الأعداد الحقيقية x0x_0 التي تكون عندها العبارتان معرّفتين وتأخذان القيمة نفسها؛ والمجموعة التي تكوّنها هي مجموعة حلول المعادلة. وحل المعادلة هو وصف هذه المجموعة، التي قد تحوي عنصرًا واحدًا أو عدة عناصر أو عددًا غير منتهٍ منها أو لا تحوي أي عنصر. فمثلًا، مجموعة حلول 2x−6=02x - 6 = 0 هي {3}\{3\}، ومجموعة حلول x+1=1+xx + 1 = 1 + x هي المستقيم الحقيقي كله، ومجموعة حلول x+1=xx + 1 = x خالية.

تكون معادلتان متكافئتين إذا كانت لهما مجموعة الحلول نفسها. والطريقة العامة لحل معادلة هي أن نستبدل بها سلسلة من المعادلات المتكافئة، كل واحدة منها أبسط من سابقتها، حتى نصل إلى معادلة تُقرأ مجموعة حلولها مباشرة، مثل x=3x = 3. غير أن كل حلقة من السلسلة يجب أن تحافظ على الحلول، دون أن تضيف أي حل أو تحذفه؛ ويترتب على ذلك أن أول ما ينبغي معرفته هو العمليات التي تضمن ذلك.

العمليات التي تحافظ على الحلول

العمليتان الأساسيتان هما إضافة العبارة نفسها إلى الطرفين وضربهما في العدد غير المنعدم نفسه. والطرح والقسمة حالتان خاصتان، لأن طرح CC هو إضافة −C-C، والقسمة على kk هي الضرب في k−1k^{-1}، كما رأينا في الدرس الخاص بـالمجموعات العددية.

مبرهنةالعمليات التي تحافظ على الحلول

لتكن AA وBB وCC عبارات في المجهول xx، معرّفة على مجموعة واحدة من الأعداد الحقيقية، وليكن kk عددًا حقيقيًا غير منعدم. عندئذ يكون للمعادلات A=BA = B وA+C=B+CA + C = B + C وkA=kBkA = kB مجموعة الحلول نفسها. وعمومًا، إذا كانت العبارة CC لا تنعدم في أي نقطة من تلك المجموعة، فإن للمعادلتين A=BA = B وCA=CBCA = CB مجموعة الحلول نفسها. يجب إثبات احتواءين لكل عملية: كل حل للمعادلة الأصلية هو حل للمعادلة المحوَّلة، والعكس. ويمثّل الرسم المعادلة بميزان متوازن، يحافظ على توازنه إذا فُعل الشيء نفسه في الكفتين.

البرهان

  1. A(x0)=B(x0)→A(x0)+C(x0)=B(x0)+C(x0)\dato{s}{A(x_0) = B(x_0)} \rightarrow A(x_0) + \resaltar{C(x_0)} = B(x_0) + \resaltar{C(x_0)}

    ليكن x0x_0 حلًا لـ A=BA = B: العددان A(x0)A(x_0) وB(x0)B(x_0) هما العدد نفسه، وبإضافة العدد نفسه إليهما نحصل على النتيجة نفسها. فكل حل لـ A=BA = B هو حل لـ A+C=B+CA + C = B + C.

  2. (A(x0)+C(x0))+(−C(x0))=A(x0)+0=A(x0)\left( A(x_0) + C(x_0) \right) + \resaltar{(-C(x_0))} = A(x_0) + 0 = \resaltar{A(x_0)}

    وبالعكس، إذا حقق x0x_0 المعادلة A+C=B+CA + C = B + C، نضيف إلى الطرفين معاكس C(x0)C(x_0). وبخاصية التجميع وتعريف المعاكس، لا يبقى في كل طرف إلا الحد الأول من المجموع، ومنه A(x0)=B(x0)A(x_0) = B(x_0): مجموعتا الحلول متطابقتان.

  3. A(x0)=B(x0)→kA(x0)=kB(x0)A(x_0) = B(x_0) \rightarrow \resaltar{k} A(x_0) = \resaltar{k} B(x_0)

    وبالطريقة نفسها، إذا كان x0x_0 حلًا لـ A=BA = B، فبضرب العدد نفسه في kk نحصل على النتيجة نفسها.

  4. k−1(kA(x0))=(k−1k)A(x0)=A(x0)\resaltar{k^{-1}} \left( k A(x_0) \right) = \left( k^{-1} k \right) A(x_0) = \resaltar{A(x_0)}

    وبالعكس، بما أن k≠0k \neq 0، فإن مقلوبه k−1k^{-1} موجود؛ وبضرب طرفي kA(x0)=kB(x0)kA(x_0) = kB(x_0) فيه نستعيد المساواة الأصلية. وإذا كانت CC لا تنعدم في أي نقطة، فالحجة نفسها صالحة عند كل x0x_0 مع العدد k=C(x0)k = C(x_0).

  5. 0⋅A(x0)=0=0⋅B(x0)\resaltar{0} \cdot A(x_0) = 0 = \resaltar{0} \cdot B(x_0)

    الفرض k≠0k \neq 0 لا غنى عنه: بالضرب في 00، يساوي كل من الطرفين 00 لكل xx، وتتحقق المعادلة المحوَّلة من أجل أي عدد، سواء أكان حلًا للمعادلة الأصلية أم لم يكن.

العمليات التي قد تضيف حلولًا أو تحذفها

إذا انعدمت CC في نقطة ما، فقد يختل التكافؤ. فبضرب الطرفين في عبارة تنعدم عند x1x_1، يصير العدد x1x_1 حلًا، وإن لم يكن كذلك؛ وبالقسمة عليها تضيع الحلول التي تنعدم عندها. فمثلًا، للمعادلة x=2x = 2 حل واحد فقط، لكن بالضرب في x−3x - 3 يظهر أيضًا العدد 33؛ وللمعادلة x2=3xx^2 = 3x الحلان 00 و33، لأن x2−3x=x(x−3)x^2 - 3x = x(x - 3)، لكن بالقسمة على xx تبقى x=3x = 3 ويضيع العدد 00:

x(x−3)=2(x−3)↔x=2∨x=3,x2=3x↔x=0∨x=3x(x - 3) = 2(x - 3) \leftrightarrow x = 2 \vee x = 3, \qquad x^2 = 3x \leftrightarrow x = 0 \vee x = 3

وتربيع الطرفين أيضًا ليس عملية قابلة للعكس، لأن لعددين متعاكسين المربع نفسه. والتوطئة الآتية تحدد الحلول التي يمكن أن تظهر.

توطئةالتربيع

من أجل عددين حقيقيين AA وBB، تتحقق A2=B2A^2 = B^2 إذا وفقط إذا كان A=BA = B أو A=−BA = -B. ومن ثم فإن تربيع طرفي معادلة A=BA = B يحافظ على جميع حلولها، لكن قد تُضاف إليها حلول المعادلة A=−BA = -B؛ وإذا كانت AA وBB لا تأخذان قيمًا سالبة، فلا يُضاف أي حل. يحلل البرهان فرق المربعين. ويرسم الرسم القطع المكافئ y=t2y = t^2 والمستقيم الأفقي الذي ارتفاعه B2B^2، مع B=2B = 2: الأعداد التي مربعها B2B^2 هي فواصل نقطتي التقاطع، BB و−B-B.

البرهان

  1. A2−B2=(A−B)(A+B)A^2 - B^2 = \resaltar{(A - B)(A + B)}

    بخاصية التوزيع، يُحلَّل فرق المربعين؛ ويختزل الحدان ABAB و−AB-AB.

  2. A2=B2↔(A−B)(A+B)=0↔A=B∨A=−B\dato{eq}{A^2 = B^2 \leftrightarrow (A - B)(A + B) = 0 \leftrightarrow A = B \vee \resaltar{A = -B}}

    يكون الجداء منعدمًا إذا وفقط إذا انعدم أحد عوامله، كما بُرهن في الدرس الخاص بالمجموعات العددية. ومنه فإن الأعداد ذات المربع نفسه متساوية أو متعاكسة.

  3. A2=B2↔(A=B)∨(A=−B)A^2 = B^2 \leftrightarrow \left( A = B \right) \vee \resaltar{\left( A = -B \right)}

    وبتطبيق ذلك عند كل قيمة لـ xx، نجد أن حلول المعادلة المربَّعة هي حلول A=BA = B مع حلول A=−BA = -B: لا يضيع أي حل، لكن قد تُضاف حلول الثانية.

  4. A≥0≥−B=A→A=0=BA \geq 0 \geq -B = A \rightarrow \resaltar{A = 0 = B}

    إذا كان AA وBB غير سالبين وكان A=−BA = -B، فإن العدد AA يقع بين مقدارين متساويين؛ ومنه A=0=BA = 0 = B، والحل المضاف كان حلًا لـ A=BA = B من قبل.

المعادلات التي فيها جذور، والتي دُرست قوانينها في الدرس الخاص بـالقوى ذات الأسس النسبية والجذور، تُحل بالتربيع؛ وبحسب التوطئة، يجب التحقق من كل حل للمعادلة الناتجة في المعادلة الأصلية.

مثالحل يظهر بالتربيع

حل المعادلة x+2=x\sqrt{x + 2} = x. يبيّن الرسم الجذر ومعاكسه والمستقيم y=xy = x: والمعادلة المربَّعة تجمع نقاط تقاطع المستقيم مع كليهما.

البرهان

  1. (x+2)2=x2→x+2=x2\resaltar{\left( \sqrt{x + 2} \right)^2} = x^2 \rightarrow \resaltar{x + 2} = x^2

    الجذر معرّف من أجل x≥−2x \geq -2. نربّع الطرفين؛ وقد يكون الطرف الثاني سالبًا، فقد يكون للمعادلة الناتجة حلول أكثر من الأصلية.

  2. x2−x−2=(x−2)(x+1)=0\resaltar{x^2 - x - 2} = \resaltar{(x - 2)(x + 1)} = 0

    ننقل كل الحدود إلى الطرف الثاني ونحلل؛ والجداء (x−2)(x+1)(x - 2)(x + 1) يعطي، بعد نشره، x2−x−2x^2 - x - 2.

  3. x=2∨x=−1\dato{c}{x = 2 \vee x = -1}

    يكون الجداء منعدمًا إذا وفقط إذا انعدم أحد عوامله: هناك مرشّحان.

  4. 2+2=4=2\sqrt{\resaltar{2} + 2} = \sqrt{4} = \resaltar{2}

    نتحقق من الأول في المعادلة الأصلية: إنه حل.

  5. −1+2=1≠−1\sqrt{\resaltar{-1} + 2} = 1 \neq \resaltar{-1}

    والثاني ليس حلًا: الطرف الأول يساوي 11 والثاني −1-1. إنه حل لـ −x+2=x-\sqrt{x + 2} = x، أي المعادلة A=−BA = -B التي أضافها التربيع. ومن ثم فمجموعة الحلول هي {2}\{2\}.