انتقل إلى المحتوى
Topos Uranos
العربية

المجموعات العددية: من الأعداد الطبيعية إلى الأعداد المركبة

ملخص

يبيّن هذا الدرس كيف تُبنى، انطلاقًا من الأعداد الطبيعية، الأعدادُ الصحيحة ثم النسبية ثم الحقيقية ثم المركبة على التوالي. ينشأ كل توسيع لكي تصبح عملية عكسية (الطرح، القسمة، استخراج الجذر) معرّفة دون قيود، ويحافظ على خواص المجموعة السابقة. ونذكّر بسبب كون 2\sqrt{2} ليس عددًا نسبيًّا، ونبرهن أن الأعداد النسبية ليست تامة، ونصوغ المسلّمات التي تُقبل للأعداد الحقيقية (مسلّمات الحقل ومسلّمات الترتيب ومسلّمة التمام)، ونشرح لماذا تقتضي الأعداد الحقيقية التمامَ، فضلًا عن الجذور.

أهداف التعلم

  1. تحديد العملية العكسية التي تدفع إلى كل توسيع، من الأعداد الطبيعية حتى الأعداد المركبة.
  2. صياغة خواص الجمع والضرب بدقة في كل مجموعة عددية، وكذلك مسلّمات الحقل المرتب التام التي تُقبل للأعداد الحقيقية.
  3. تطبيق قوانين القوى ذات الأس الصحيح وتعريف الجذر الرئيسي.
  4. البرهنة بالخلف على أن جذرًا ما ليس عددًا نسبيًّا.
  5. التمييز بين الأعداد النسبية والأعداد غير النسبية والأعداد الحقيقية والأعداد المركبة.

العمليات العكسية محرّكًا للتوسيع

إن الأعداد الطبيعية، المعرّفة في الدرس الخاص بـمسلّمات بيانو، تتيح الجمع والضرب دون أي قيد: فمجموع عددين طبيعيين وجداؤهما عددان طبيعيان دائمًا. ولا يصدق ذلك على العمليات العكسية. فكل واحدة من المعادلات الآتية مكتوبة بأعداد طبيعية، ومع ذلك لا حلّ لأيّ منها بين هذه الأعداد:

x+5=3,3x=2,x2=2,x2=−1x + 5 = 3, \qquad 3x = 2, \qquad x^2 = 2, \qquad x^2 = -1

الأولى تقتضي طرحًا لا تتيحه الأعداد الطبيعية؛ والثانية قسمة؛ والثالثة جذرًا؛ والرابعة جذر عدد سالب. ولحلّها توسَّع مجموعة الأعداد الطبيعية على أربع مراحل، تحتوي كلٌّ منها المرحلة السابقة:

N⊂Z⊂Q⊂R⊂C\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R} \subset \mathbb{C}

تخضع التوسيعات كلها لمبدأ واحد، يوجّه بقية الدرس:

كل مجموعة عددية جديدة تحافظ على عمليات المجموعة السابقة وخواصها، وتضيف العناصر اللازمة لكي تصبح عملية عكسية، كانت مقيّدة من قبل، معرّفة.