انتقل إلى المحتوى
Topos Uranos
العربية

المتطابقات المثلثية الأساسية

ملخص

يفتتح هذا الدرس علم المثلثات التحليلي، الذي يدرس العلاقات الجبرية بين الدوال المثلثية. يعرّف بدقة ما المتطابقة، أي مساواة تتحقق في كامل مجال التعريف المشترك لطرفيها، ويجمع المتطابقات الأساسية: متطابقات المقلوبات، ومتطابقات القسمة، والمتطابقات الفيثاغورية، ومتطابقات الزوجية، ومتطابقات الدوال المتتامة، التي تُقرأ أيضًا أطوالًا لقطع مستقيمة في دائرة الوحدة. ويعلّم طريقة إثبات المتطابقة، بتحويل أحد الطرفين إلى الآخر أو تحويل كليهما إلى عبارة واحدة، ويبيّن لماذا لا يصح الانطلاق من المتطابقة نفسها وتربيعها؛ ويكفي استثناء واحد، أي مثال مضاد، لدحض متطابقة خاطئة. ويعبّر عن كل دالة بدلالة دالة أخرى، مع الإشارة التي يحددها الربع، ويبسّط العبارات مع مراعاة مجال التعريف، ويحوّل الجذور الجبرية إلى دوال مثلثية بواسطة التعويضات، وبحذف الوسيط يتعرّف في النقطة (acos⁡t,bsin⁡t)\left( a \cos t, b \sin t \right) قطعًا ناقصًا وفي النقطة (asec⁡t,btan⁡t)\left( a \sec t, b \tan t \right) قطعًا زائدًا.

أهداف التعلم

  1. تعريف المتطابقة المثلثية بدقة، وتحديد مجال تعريفها المشترك وتمييزها من المعادلة، وجمع المتطابقات الأساسية وإثباتها، بما في ذلك قراءتها الهندسية قطعًا مستقيمة.
  2. إثبات المتطابقات بتحويل أحد الطرفين إلى الآخر أو تحويل كليهما إلى عبارة مشتركة، والتعرّف على الاستدلالات غير الصحيحة، ودحض متطابقة خاطئة بمثال مضاد.
  3. التعبير عن كل دالة مثلثية بدلالة دالة أخرى، مع الإشارة الموافقة للربع، وتبسيط العبارات مع الحفاظ على مجال تعريفها.
  4. استعمال التعويضات المثلثية لتحويل العبارات التي تحوي جذورًا، وحذف الوسيط في التمثيلات الوسيطية المثلثية للقطع الناقص والقطع الزائد.

ما المتطابقة

بعض المساواة بين الدوال المثلثية يتحقق لكل عدد حقيقي، مثل sin⁡2θ+cos⁡2θ=1\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1، المبرهَنة في الدرس الخاص بـالنسب المثلثية ودائرة الوحدة؛ وبعضها، مثل sin⁡θ=−12\sin \theta = -\frac{1}{2}، لا يتحقق إلا لبعض القيم، التي تعلّمنا إيجادها في الدرس الخاص بـالدوال المثلثية العكسية. والفرق بينهما فرق في الطبيعة: الأولى تقرّر شيئًا عن جميع الأعداد، والثانية تطرح سؤالًا. غير أن عبارة «لكل عدد حقيقي» تحتاج إلى تدقيق، لأن كثيرًا من العبارات المثلثية غير معرَّفة عند جميع الأعداد.

المتطابقة المثلثية مساواة بين عبارتين مبنيتين من دوال مثلثية تتحقق لجميع قيم المتغير التي يكون عندها الطرفان كلاهما معرَّفين. ومجموعة هذه القيم هي مجال التعريف المشترك للمتطابقة. والمساواة التي لا تتحقق إلا لبعض قيم مجال التعريف المشترك معادلة، وتلك القيم حلولها.

ليس مجال التعريف تفصيلًا ثانويًّا. فالظل معرَّف حيث لا ينعدم جيب التمام، وظل التمام حيث لا ينعدم الجيب؛ لذلك يكون جداؤهما معرَّفًا تمامًا عندما لا يكون xx مضاعفًا صحيحًا لـπ2\frac{\pi}{2}، ويساوي هناك 11:

tan⁡xcot⁡x=1,x≠kπ2\tan x \cot x = 1, \qquad x \neq \frac{k\pi}{2}

عند مضاعفات π2\frac{\pi}{2} لا تقرّر المتطابقة شيئًا، لأن طرفها الأول لا يدلّ على أي عدد. وبالمثل، فإن sin⁡xtan⁡x=cos⁡x\frac{\sin x}{\tan x} = \cos x متطابقة في مجال تعريفها المشترك، الذي يستبعد مضاعفات π2\frac{\pi}{2}؛ ومع ذلك فإن الدالتين f(x)=sin⁡xtan⁡xf(x) = \frac{\sin x}{\tan x} وg(x)=cos⁡xg(x) = \cos x غير متساويتين، لأنه بحسب الدرس الخاص بـالعمليات على الدوال من دورة الجبر والهندسة 1، للدالتين المتساويتين مجال التعريف نفسه، والثانية معرَّفة، مثلًا، عند x=0x = 0. فالمتطابقة إذن لا تقارن بين عبارتين إلا حيث يكون لكلتيهما معنى.

المتطابقات الأساسية

تُستخلص المتطابقات الآتية مباشرة من التعاريف ومن مبرهنات الوحدة التي سبقت هذه؛ وجميع المتطابقات الأخرى تُستنتج منها.

مبرهنةالمتطابقات الأساسية

في مجال التعريف المشترك لكل مساواة تتحقق متطابقات المقلوبات ومتطابقات القسمة والمتطابقات الفيثاغورية الآتية. وفضلًا عن ذلك، فإن الجيب والظل وقاطع التمام وظل التمام دوال فردية، وجيب التمام والقاطع دالتان زوجيتان؛ وكل دالة لـπ2−θ\frac{\pi}{2} - \theta تساوي الدالة المتتامة معها لـθ\theta، حيث الجيب وجيب التمام، والظل وظل التمام، والقاطع وقاطع التمام، كل منها متتامة مع الأخرى.

sin⁡θcsc⁡θ=1,cos⁡θsec⁡θ=1,tan⁡θcot⁡θ=1\sin \theta \csc \theta = 1, \qquad \cos \theta \sec \theta = 1, \qquad \tan \theta \cot \theta = 1
tan⁡θ=sin⁡θcos⁡θ,cot⁡θ=cos⁡θsin⁡θ\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta}, \qquad \cot \theta = \frac{\cos \theta}{\sin \theta}
sin⁡2θ+cos⁡2θ=1,1+tan⁡2θ=sec⁡2θ,1+cot⁡2θ=csc⁡2θ\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1, \qquad 1 + \tan^2 \theta = \sec^2 \theta, \qquad 1 + \cot^2 \theta = \csc^2 \theta
sec⁡(−θ)=sec⁡θ,csc⁡(−θ)=−csc⁡θ,cot⁡(−θ)=−cot⁡θ\sec(-\theta) = \sec \theta, \qquad \csc(-\theta) = -\csc \theta, \qquad \cot(-\theta) = -\cot \theta
sec⁡(π2−θ)=csc⁡θ,csc⁡(π2−θ)=sec⁡θ,cot⁡(π2−θ)=tan⁡θ\sec\left( \frac{\pi}{2} - \theta \right) = \csc \theta, \qquad \csc\left( \frac{\pi}{2} - \theta \right) = \sec \theta, \qquad \cot\left( \frac{\pi}{2} - \theta \right) = \tan \theta

كل شيء يُقرأ في النقطة P(θ)=(cos⁡θ,sin⁡θ)P(\theta) = \left( \cos \theta, \sin \theta \right) من الدرس الخاص بـالنسب المثلثية: فالدوال الأربع الباقية عُرّفت هناك نِسَبًا بين إحداثيَّيها، ومبرهنة تناظرات الجيب وجيب التمام، المبرهَنة في ذلك الدرس، تعطي انعكاسَي P(θ)P(\theta) بالنسبة إلى المحور xx وبالنسبة إلى المستقيم y=xy = x. وتُستخلص بقية المتطابقات بأخذ النسب والمقلوبات. ويستعمل الشكل زاوية حادة.

البرهان

  1. tan⁡θ=sin⁡θcos⁡θ,cot⁡θ=cos⁡θsin⁡θ,sec⁡θ=1cos⁡θ,csc⁡θ=1sin⁡θ\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta}, \quad \cot \theta = \frac{\cos \theta}{\sin \theta}, \quad \sec \theta = \frac{1}{\cos \theta}, \quad \csc \theta = \frac{1}{\sin \theta}

    متطابقات المقلوبات ومتطابقات القسمة هي تعاريف الظل وظل التمام والقاطع وقاطع التمام: كل منها معرَّفة حيث لا ينعدم مقامها، وفي هذا المجال يساوي جداء الدالة في مقلوبها 11. وفي الشكل، الجيب وجيب التمام هما إحداثيا P(θ)P(\theta).

  2. sin⁡2θ+cos⁡2θ=1→sin⁡2θcos⁡2θ+1=1cos⁡2θ,1+cos⁡2θsin⁡2θ=1sin⁡2θ\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1 \rightarrow \frac{\resaltar{\sin^2 \theta}}{\cos^2 \theta} + 1 = \frac{1}{\resaltar{\cos^2 \theta}}, \quad 1 + \frac{\resaltar{\cos^2 \theta}}{\sin^2 \theta} = \frac{1}{\resaltar{\sin^2 \theta}}

    تبعد النقطة P(θ)P(\theta) مسافة 11 عن الأصل: وتلك هي المتطابقة الفيثاغورية الأولى، المبرهَنة في الدرس الخاص بالنسب المثلثية. وحيث cos⁡θ≠0\cos \theta \neq 0 يُقسم طرفاها على cos⁡2θ\cos^2 \theta، وحيث sin⁡θ≠0\sin \theta \neq 0 على sin⁡2θ\sin^2 \theta؛ وبالمتطابقات المذكورة أعلاه نحصل على الأخريين.

  3. P(−θ)=(cos⁡θ,−sin⁡θ)\dato{i}{P(-\theta) = \left( \cos \theta, \resaltar{-\sin \theta} \right)}

    انعكاس P(θ)P(\theta) بالنسبة إلى المحور xx هو P(−θ)P(-\theta): بمبرهنة التناظرات، جيب التمام زوجي والجيب فردي. وعلى وجه الخصوص، ينتمي −θ-\theta إلى مجال تعريف كل دالة تمامًا عندما ينتمي إليه θ\theta، لأن أصفار الجيب وجيب التمام متناظرة.

  4. sec⁡(−θ)=1cos⁡θ=sec⁡θ,csc⁡(−θ)=1−sin⁡θ=−csc⁡θ,cot⁡(−θ)=cos⁡θ−sin⁡θ=−cot⁡θ\sec(-\theta) = \frac{1}{\cos \theta} = \sec \theta, \quad \csc(-\theta) = \frac{1}{\resaltar{-\sin \theta}} = -\csc \theta, \quad \cot(-\theta) = \frac{\cos \theta}{\resaltar{-\sin \theta}} = -\cot \theta

    عند أخذ المقلوبات والنسب تظهر إشارة ناقص في الدوال التي يحوي تعبيرها الجيب مرة واحدة فقط: القاطع زوجي، وقاطع التمام والظل وظل التمام فردية.

  5. P(π2−θ)=(sin⁡θ,cos⁡θ)\dato{c}{P\left( \frac{\pi}{2} - \theta \right) = \left( \resaltar{\sin \theta}, \resaltar{\cos \theta} \right)}

    انعكاس P(θ)P(\theta) بالنسبة إلى المستقيم y=xy = x هو P(π2−θ)P\left( \frac{\pi}{2} - \theta \right): بمبرهنة التناظرات، يبادل هذا الانعكاس بين الجيب وجيب التمام.

  6. sec⁡(π2−θ)=1sin⁡θ=csc⁡θ,csc⁡(π2−θ)=1cos⁡θ=sec⁡θ,cot⁡(π2−θ)=sin⁡θcos⁡θ=tan⁡θ\sec\left( \frac{\pi}{2} - \theta \right) = \frac{1}{\resaltar{\sin \theta}} = \csc \theta, \quad \csc\left( \frac{\pi}{2} - \theta \right) = \frac{1}{\resaltar{\cos \theta}} = \sec \theta, \quad \cot\left( \frac{\pi}{2} - \theta \right) = \frac{\resaltar{\sin \theta}}{\resaltar{\cos \theta}} = \tan \theta

    عند أخذ المقلوبات والنسب يتبادل أيضًا القاطع وقاطع التمام، والظل وظل التمام. ومجالات التعريف متوافقة: ينتمي π2−θ\frac{\pi}{2} - \theta إلى مجال تعريف القاطع إذا وفقط إذا انتمى θ\theta إلى مجال تعريف قاطع التمام، لأن cos⁡(π2−θ)=sin⁡θ\cos\left( \frac{\pi}{2} - \theta \right) = \sin \theta، والأمر نفسه في الدوال الأخرى.

الدوال الست بوصفها قطعًا مستقيمة

اسما الظل والقاطع في اللغات الأوروبية (tangens وsecans، أي «المماسّ» و«القاطع») مأخوذان من الهندسة: فهما، لزاوية حادة، طولا قطعتين مستقيمتين على مستقيم مماس وعلى مستقيم قاطع لدائرة الوحدة. ويجمع هذا الشكل الكلاسيكي في رسم واحد الدوال الست والمتطابقات الفيثاغورية الثلاث.

مبرهنةالنسب الست بوصفها قطعًا مستقيمة

لتكن 0<θ<π20 < \theta < \frac{\pi}{2}، ولتكن PP النقطة P(θ)P(\theta) من دائرة الوحدة، وQQ موقع العمود النازل منها على المحور xx، وA=(1,0)A = (1, 0) وB=(0,1)B = (0, 1). يقطع المستقيم الذي يحتوي الضلع النهائي المماس الرأسي عند AA في نقطة TT، والمماس الأفقي عند BB في نقطة SS. حينئذ يكون جيب التمام والجيب والظل والقاطع وظل التمام وقاطع التمام لـθ\theta، على الترتيب، أطوال القطع المستقيمة الممتدة من OO إلى QQ، ومن QQ إلى PP، ومن AA إلى TT، ومن OO إلى TT، ومن BB إلى SS، ومن OO إلى SS؛ وتكون مبرهنة فيثاغورس في المثلث ذي الرؤوس OO وAA وTT، وفي المثلث ذي الرؤوس OO وBB وSS، على الترتيب، المتطابقة الفيثاغورية الثانية والثالثة.

نتتبّع الشكل قطعةً قطعة. والأداة هي التي أعطت في الدرس الخاص بالنسب المثلثية معنى الظل: المستقيم الذي يحتوي الضلع النهائي يمرّ بالأصل وميله tan⁡θ\tan \theta، ومن ثمّ فمعادلته y=xtan⁡θy = x \tan \theta.

البرهان

  1. P(θ)=(cos⁡θ,sin⁡θ),Q=(cos⁡θ,0)P(\theta) = \left( \cos \theta, \sin \theta \right), \quad Q = \left( \cos \theta, 0 \right)

    بحسب التعريف، إحداثيا PP هما جيب التمام والجيب؛ فالقطعة الأفقية الممتدة من OO إلى QQ طولها الفاصلة، والقطعة الرأسية الممتدة من QQ إلى PP طولها الترتيبة، وكلتاهما موجبة في الربع الأول.

  2. T=(1,tan⁡θ)\dato{t}{T = \left( 1, \tan \theta \right)}

    مماس الدائرة عند AA هو المستقيم x=1x = 1. وبتعويض x=1x = 1 في معادلة الضلع النهائي نحصل على TT: فالقطعة الممتدة من AA إلى TT، على المستقيم المماس، طولها tan⁡θ\tan \theta.

  3. T=sec⁡θ⋅(cos⁡θ,sin⁡θ)T = \resaltar{\sec \theta} \cdot \left( \cos \theta, \sin \theta \right)

    النقطة TT هي النقطة P(θ)P(\theta) مضروبة في sec⁡θ\sec \theta، لأن sec⁡θcos⁡θ=1\sec \theta \cos \theta = 1. وبما أن P(θ)P(\theta) تبعد مسافة 11 عن الأصل، فإن TT تبعد مسافة sec⁡θ\sec \theta: فالقطعة الممتدة من OO إلى TT، على المستقيم القاطع، طولها القاطع.

  4. 12+tan⁡2θ=sec⁡2θ\resaltar{1^2} + \resaltar{\tan^2 \theta} = \resaltar{\sec^2 \theta}

    المثلث ذو الرؤوس OO وAA وTT قائم عند AA، ضلعاه القائمان 11 وtan⁡θ\tan \theta ووتره sec⁡θ\sec \theta. ومبرهنة فيثاغورس فيه هي المتطابقة الفيثاغورية الثانية.

  5. S=(cot⁡θ,1)=csc⁡θ⋅(cos⁡θ,sin⁡θ)\dato{s}{S = \left( \cot \theta, 1 \right) = \csc \theta \cdot \left( \cos \theta, \sin \theta \right)}

    المماس عند BB هو المستقيم y=1y = 1. وبتعويض y=1y = 1 في y=xtan⁡θy = x \tan \theta ينتج x=cot⁡θx = \cot \theta؛ وبما أن csc⁡θsin⁡θ=1\csc \theta \sin \theta = 1، فإن النقطة SS هي P(θ)P(\theta) مضروبة في csc⁡θ\csc \theta. لذلك فالقطعة الممتدة من BB إلى SS طولها ظل التمام، والممتدة من OO إلى SS طولها قاطع التمام.

  6. 12+cot⁡2θ=csc⁡2θ\resaltar{1^2} + \resaltar{\cot^2 \theta} = \resaltar{\csc^2 \theta}

    المثلث ذو الرؤوس OO وBB وSS قائم عند BB، ضلعاه القائمان 11 وcot⁡θ\cot \theta ووتره csc⁡θ\csc \theta: ومنه تنتج المتطابقة الفيثاغورية الثالثة. وزاويته عند OO قياسها π2−θ\frac{\pi}{2} - \theta، وبالنسبة إليها يكون ظل تمام θ\theta هو الضلع المقابل: فهو ظل الزاوية المتممة.

ويُقرأ في الشكل أيضًا أن القاطع وقاطع التمام لزاوية حادة أكبر من 11، لأنهما وتران لمثلثين قائمين في كل منهما ضلع قائم طوله 11، وأن الظل أصغر من القاطع. والمتطابقة الفيثاغورية الأولى هي، بالطريقة نفسها، مبرهنة فيثاغورس في المثلث ذي الرؤوس OO وQQ وPP.