انتقل إلى المحتوى
Topos Uranos
العربية

الزاوية بين مستقيمين وتطبيقات حساب المثلثات

ملخص

يقيس هذا الدرس بحساب المثلثات الزاوية التي يصنعها مستقيمان في المستوى. يعرّف زاوية ميل المستقيم ويبرهن أن ظلها هو الميل؛ وبصيغة ظل الفرق يجد ظل الزاوية بين مستقيمين انطلاقًا من ميليهما، وهي تتضمن شرط التعامد حالةً خاصة، وبالجداء السلمي يعطي تعبيرًا ثانيًا يصح أيضًا للمستقيمات الرأسية، واتساقه مع الأول هو متطابقة لاغرانج. ثم يصف منصِّفَي زاويتي مستقيمين بأنهما المحل الهندسي للنقاط المتساوية البعد عنهما، ويبرهن أنهما متعامدان، ويجد بهما مركز الدائرة المحاطة بالمثلث والدائرة المحاطة. ويجمع القسم الأخير تطبيقات: ارتفاع نقطة يتعذّر الوصول إليها بقانون الجيوب، والحركة التوافقية البسيطة بوصفها ظلًّا لحركة دائرية منتظمة، والمسافة الأفقية للمقذوف، وهي عظمى عند 45∘45^\circ ومتساوية لزاويتين متمّمتين، وقانون الانعكاس بوصفه خاصية للطريق الأقصر.

أهداف التعلم

  1. حساب زاوية ميل مستقيم والزاوية بين مستقيمين، انطلاقًا من ميليهما أو من متجهي توجيههما، وتمييز التوازي والتعامد بوصفهما حالتين طرفيتين.
  2. إيجاد معادلتي منصِّفَي زاويتي مستقيمين بوصفهما محلًّا لنقاط متساوية البعد، واختيار المنصِّف الداخلي في مثلث، وحساب مركز دائرته المحاطة ودائرته المحاطة.
  3. حل مسائل الارتفاعات والمسافات بزوايا الارتفاع والانخفاض، بالجمع بين قانون الجيوب وصيغ المجموع والفرق.
  4. وصف الحركة التوافقية البسيطة والمسافة الأفقية للمقذوف وانعكاس الضوء بالدوال المثلثية، واستنتاج خواصها من متطابقات هذه الوحدة.

زاوية ميل المستقيم

في درس دورة الجبر والهندسة 1 عن معادلة المستقيم، قيس اتجاه المستقيم غير الرأسي بعدد هو ميله، وبُرهن أن مستقيمين غير رأسيين متعامدان إذا وفقط إذا كان جداء ميليهما يساوي −1-1. هذا الشرط يتعرّف زاوية بعينها، هي القائمة، من غير أن يقيس أي زاوية. ورأينا فوق ذلك في درس النسب المثلثية أن ظل الزاوية هو ميل المستقيم الذي يحوي ضلعها النهائي. فإذا كان الأمر كذلك، فالميل ظل زاوية، ولا بد أن تُحسب الزوايا بين المستقيمات بحساب المثلثات.

زاوية ميل المستقيم هي الزاوية α\alpha، حيث 0≤α<π0 \le \alpha < \pi، التي يصنعها نصف محور الفواصل الموجب مع المستقيم، مقيسةً عكس اتجاه عقارب الساعة من المحور إلى المستقيم. زاوية ميل المستقيمات الأفقية 00، وزاوية ميل المستقيمات الرأسية π2\frac{\pi}{2}.

وبدقة أكبر، المستقيم المرسوم من الأصل موازيًا للمستقيم يحوي الضلع النهائي لزاوية ما α\alpha، ويحوي كذلك ضلع α+π\alpha + \pi، لأن النقطتين P(α)P(\alpha) وP(α+π)P(\alpha + \pi) من دائرة الوحدة متقابلتان قطريًا؛ وواحدة بالضبط من الزوايا التي على الشكل α+kπ\alpha + k\pi تقع في [0,π)\ico{0}{\pi}، وهي زاوية الميل. ويكون مستقيمان متوازيين أو منطبقين إذا وفقط إذا كانت لهما زاوية الميل نفسها، لأن لهما حينئذ، وحينئذ فقط، الموازي نفسه المار بالأصل.

توطئةزاوية الميل والميل

المستقيم الذي زاوية ميله α\alpha رأسي إذا وفقط إذا كان α=π2\alpha = \frac{\pi}{2}؛ وإن لم يكن رأسيًا فميله هو ظل زاوية ميله. وبالعكس، زاوية ميل المستقيم الذي ميله mm هي arctan⁡m\arctan m إذا كان m≥0m \ge 0، وπ+arctan⁡m\pi + \arctan m إذا كان m<0m < 0.

m=tan⁡αm = \tan \alpha

كل شيء يُقرأ على الموازي للمستقيم المرسوم من الأصل، وهو يحوي النقطة P(α)P(\alpha) من دائرة الوحدة. يستخدم الشكل المستقيمين y=3x+1y = \sqrt{3} x + 1 وy=−xy = -x.

البرهان

  1. O=(0,0)∈r0,P(α)=(cos⁡α,sin⁡α)∈r0\dato{p}{O = \left( 0, 0 \right) \in r_0, \quad P(\alpha) = \left( \cos \alpha, \sin \alpha \right) \in r_0}

    ليكن rr مستقيمًا زاوية ميله α\alpha، وليكن r0r_0 موازيه المار بالأصل. بتعريف زاوية الميل، يحوي r0r_0 الضلع النهائي للزاوية α\alpha، وبخاصة النقطة P(α)P(\alpha)؛ وإن لم يكن rr رأسيًا فإن r0r_0 له الميل نفسه، لأن المستقيمين المتوازيين لهما الميل نفسه، بحسب درس دورة الجبر والهندسة 1 عن معادلة المستقيم. في الشكل، α=π3\alpha = \frac{\pi}{3}.

  2. 0≤α<π,cos⁡α=0↔α=π20 \leq \alpha < \pi, \quad \resaltar{\cos \alpha = 0} \leftrightarrow \alpha = \frac{\pi}{2}

    يكون المستقيم r0r_0 رأسيًا إذا وفقط إذا كان لنقطتيه الفاصلة نفسها، أي إذا كان cos⁡α=0\cos \alpha = 0. وفي [0,π)\ico{0}{\pi} الصفر الوحيد لجيب التمام هو π2\frac{\pi}{2}؛ ويكون rr رأسيًا تمامًا حين يكون موازيه رأسيًا.

  3. m=sin⁡α−0cos⁡α−0=tan⁡αm = \frac{\sin \alpha - 0}{\cos \alpha - 0} = \dato{m}{\resaltar{\tan \alpha}}

    إن لم يكن rr رأسيًا فميله هو ميل r0r_0، أي خارج قسمة فرق الترتيبتين على فرق الفاصلتين لنقطتيه.

  4. α={arctan⁡mm≥0π+arctan⁡mm<0\alpha = \begin{cases} \resaltar{\arctan m} & m \geq 0 \\ \resaltar{\pi + \arctan m} & m < 0 \end{cases}

    وبالعكس، ليكن mm ميل rr. بما ثبت للتو أعلاه، زاوية الميل α\alpha زاوية من [0,π)\ico{0}{\pi} ظلها mm. وبحسب درس المعادلات المثلثية، الزوايا التي ظلها mm هي الأعداد arctan⁡m+kπ\arctan m + k\pi، وواحد منها بالضبط يقع في [0,π)\ico{0}{\pi}: ولما كان arctan⁡m\arctan m واقعًا في (−π2,π2)\ioo{-\frac{\pi}{2}}{\frac{\pi}{2}}، فإن هذه الزاوية هي arctan⁡m\arctan m إذا كان m≥0m \ge 0، وπ+arctan⁡m\pi + \arctan m إذا كان m<0m < 0. في الشكل، زاوية ميل المستقيم y=−xy = -x هي π−π4=3π4\pi - \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{4}.

مثلًا، زاوية ميل المستقيم y=3x+1y = \sqrt{3} x + 1 هي arctan⁡3=π3\arctan \sqrt{3} = \frac{\pi}{3}، وزاوية ميل المستقيم y=−xy = -x هي π+arctan⁡(−1)=3π4\pi + \arctan \left( -1 \right) = \frac{3\pi}{4}. وهكذا تميّز إشارةُ الميل المستقيماتِ الصاعدة، ذات زاوية الميل الحادة، من النازلة، ذات زاوية الميل المنفرجة.