Español
English
Português
中文 (中国)
हिन्दी
Русский
Français
Deutsch
Ελληνικά
Italiano
日本語
한국어
Latineملخص
يفتتح هذا الدرس الوحدة المخصصة للدوال الأسية واللوغاريتمية والزائدية. فهو يعرض دروسها الستة وما يبرهنه كل منها؛ ويستعرض تاريخ هذه الأفكار، من التناظر بين المتتاليات الذي لمحه أرشميدس ونظّمه شتيفل إلى لوغاريتمات نابيير وبورغي، والعدد عند ياكوب برنولي وأويلر، والدوال الزائدية عند ريكاتي ولامبرت؛ ويصوغ المسألة التي نشأت منها، وهي تحويل الجداءات إلى مجاميع، ويترجمها إلى معادلتين داليتين؛ ويصف أخيرًا المكانة التي تحتلها هذه الدوال في امتداد هذه الدورة، وفي دورات أخرى في الموقع، وفي العلم.
أهداف التعلم
- وصف محتوى كل درس من دروس الوحدة والترتيب المنطقي الذي تتسلسل به، من القوة ذات الأس الحقيقي إلى الدوال الزائدية.
- وضع اختراع اللوغاريتمات واكتشاف العدد وإدخال الدوال الزائدية في سياقها التاريخي، مع تحديد المسألة العملية التي دعت إلى كل منها.
- التعبير عن مسألة تحويل الجداءات إلى مجاميع بالمعادلتين و، وتفسير سبب احتياج حلها إلى أسس حقيقية بالاستعانة بجدول شتيفل.
- التعرف على تطبيقات هذه الدوال في دورة الجبر والهندسة 2، وفي دورات أخرى، وفي الفيزياء والكيمياء والأحياء والمالية والمعلوماتية.
تقييم الدخول
قبل اجتياز الوحدة يحسن قياس نقطة البداية، دون أي درجة. فالأسئلة العشرة الأولى تتناول دروس المحتوى الستة في الوحدة: سؤالان لكل درس من الدروس الثلاثة التي تستند إليها البقية (القوة ذات الأس الحقيقي، والعدد ، والمعادلات)، وسؤال لدرس اللوغاريتم، وآخر لدرس الدوال الزائدية، وسؤالان لدرس النماذج، يطلب ثانيهما صياغة نموذج انطلاقًا من بيانات؛ وتُقاس المهارات نفسها مرة أخرى في النهاية، في درس الخلاصة. أما الأسئلة الثلاثة الأخيرة فتتحقق مما تعدّه الوحدة معلومًا من الوحدتين المتعلقتين بالمجموعات العددية وبالهندسة التحليلية في المستوى. وكل إجابة خاطئة تشير إلى الدرس الذي يحسن التوقف عنده.
قبل أن تبدأ الوحدة، قِس نقطة انطلاقك. إنه تقييم ذاتي قصير: لا يُمنح عليه درجة، وتُحفظ نتيجته في متصفحك فقط.
السؤال 1ما مدى الدالة ؟
هنا نُقل مدى دون مراعاة إشارة الناقص، التي تعكس التمثيل البياني بالنسبة إلى المحور وتحوّل القيم الموجبة إلى سالبة.هذا ما نحصل عليه إذا اتُّخذت القيمة عند حدًّا، وهي ؛ لكن الدالة متناقصة، وعندما يكون سالبًا تأخذ قيمًا أكبر من ، تقترب شيئًا فشيئًا من .الدالة الأسية لا تأخذ قيمًا سالبة ولا الصفر، ولذلك فإن لا تبلغ القيمة أبدًا ولا تتجاوزها.تأخذ القوة جميع القيم الموجبة، وإياها فقط؛ وبتغيير الإشارة نحصل على جميع القيم السالبة، وبإضافة نحصل على جميع الأعداد الحقيقية الأصغر من . والمستقيم مقارب أفقي لا يبلغه التمثيل البياني.السؤال 2احسب .
الإجابة الصحيحة:
بمبرهنة قوة القوة، الصالحة للأسس الحقيقية، تكون النتيجة . ومن يحصل على يكون قد جمع الأسين بدلًا من ضربهما، لأن ؛ ومن يحصل على يكون قد ارتكب فوق ذلك خطأ ثانيًا، هو جمع ما تحت الجذرين، كأن يساوي .السؤال 3يُستثمر رأس مال قدره بمعدل سنوي قدره في المئة، أي ، مع رسملة عددها من المرات في السنة. ما الحد الأعلى الأصغر لرؤوس الأموال في نهاية سنة؟
هذا هو الحد الأعلى الأصغر عندما . وعند مضاعفة المعدل لا يبقى الحد الأعلى الأصغر على حاله: بل ينتقل من إلى .المعدل لا يضرب الحد الأعلى الأصغر، بل هو أسّه: ، لا . فمثلًا، عندما يساوي رأس المال بالفعل ، أي أكثر من ، ويتجاوز ، الذي هو أصغر من .المتتالية متزايدة، لكنها محدودة: فبالمتباينة يكون كل حد أصغر من . والمتتالية المتزايدة المحدودة لها حد أعلى أصغر بفضل التمام.بمبرهنة الرسملة المستمرة، الحد الأعلى الأصغر للحدود هو ، ولا يبلغه أي منها؛ وعندما ، يكون .السؤال 4إذا كان ، فما الحد الأعلى للخطأ الذي تعطيه مبرهنة خطأ المتسلسلة؟
الإجابة الصحيحة:
تعطي المبرهنة ، وعندما يكون الحد . ومن يحصل على يكون قد أخذ أول حد محذوف، ، وهو أصغر من الخطأ؛ ومن يحصل على يكون قد نسي العامل .السؤال 5احسب .
الإجابة الصحيحة:
بما أن و، فبتغيير الأساس ؛ وبالفعل، . ومن يحصل على يكون قد قلب حاصل القسمة، ومن يحصل على يكون قد قسم على .راجِع: الدالة اللوغاريتمية وخصائصها
السؤال 6ما الحلول الحقيقية للمعادلة ؟
الجذر لثلاثية الحدود لا يعطي : إذ يؤدي إلى ، وهي معادلة لا حل لها. والقيمة لا تعدم الطرف الأول.هذان جذرا ثلاثية الحدود في ، لا قيمتا . ويبقى الرجوع إلى المتغير الأصلي واستبعاد الجذر السالب.لثلاثية الحدود جذر موجب، ، يقابل ؛ وبالفعل، .بوضع تصبح المعادلة . ويُستبعد الجذر ، لأن قوة ذات أساس موجب لا تكون سالبة، و تعطي .السؤال 7حلّ المعادلة .
الإجابة الصحيحة:
في مجال التعريف، ، تعطي خاصية الجداء ، أي . والمرشح حل دخيل، خارج مجال التعريف؛ والحل الوحيد هو ، وبالفعل .السؤال 8نظير مشع عمر النصف له أيام. ما الكسر الذي يبقى من الكتلة الابتدائية بعد يومًا؟
الإجابة الصحيحة:
بمبرهنة عمر النصف، الكتلة هي ؛ وبعد يومًا تكون قد مرت ثلاثة أعمار نصف، ويبقى . ومن يحصل على يكون قد قسم على عدد أعمار النصف بدلًا من القسمة على بعددها من المرات.السؤال 9إن تعدادات مزرعة بكتيرية، إذا عُيّنت على تمثيل نصف لوغاريتمي، تقع على استقامة واحدة، ويمر المستقيم بالنقطتين المقابلتين لـ بكتيريا عند الساعة ولـ بكتيريا عند الساعة . كم كان عدد البكتيريا، وفق النموذج، عند بدء الزراعة؟
الإجابة الصحيحة:
البيانات الواقعة على استقامة واحدة في التمثيل نصف اللوغاريتمي تتبع نموذجًا ، بمبرهنة التحويل إلى علاقة خطية. ففي ساعات يُضرب التعداد في ، وبذلك يتضاعف كل ساعة؛ والرجوع ساعة إلى الوراء انطلاقًا من الساعة يقسم التعداد على : . ومن يحصل على عدد سالب يكون قد مدّ المستقيم الذي يصل البيانات في السلّم العادي، كأن النمو خطي؛ ومن يحصل على يكون قد رجع ساعات بدل .السؤال 10إذا كان و، فكم يساوي ؟
الإجابة الصحيحة:
بالمتطابقة الأساسية، ، وبما أن فإن الجيب الزائدي موجب: . ومن يحصل على يكون قد طرح دون تربيع؛ ومن يحصل على يكون قد نسي إشارة الجيب الزائدي عندما .راجِع: الدوال الزائدية
السؤال 11من وحدات سابقةاحسب .
الإجابة الصحيحة:
بتعريف القوة ذات الأس النسبي، ، والأس السالب يعطي المقلوب: . ومن يحصل على يكون قد ضرب الأساس في الأس، ومن يحصل على يكون قد نسي إشارة الأس.السؤال 12من وحدات سابقةما الحد الأعلى الأصغر لمجموعة الأعداد ، حيث عدد طبيعي؟
هنا يُخلط بين الحد الأعلى الأصغر والعنصر الأكبر. فالحد الأعلى الأصغر هو أصغر الحدود العليا، وقد لا ينتمي إلى المجموعة؛ والتمام يضمن وجوده لكل مجموعة غير خالية محدودة من الأعلى.هو أصغر العناصر، ويُحصل عليه عندما : إنه العنصر الأصغر في المجموعة، لا حدها الأعلى الأصغر.هو العنصر المقابل لـ ، لكنه ليس حدًّا أعلى: فعندما نحصل على ، وهو أكبر منه.كل عنصر أصغر من ، ولذلك فإن حد أعلى؛ ولا يكون أي عدد حدًّا أعلى، لأن ما إن يكون . وأصغر الحدود العليا هو ، وإن لم ينتمِ إلى المجموعة.راجِع: المجموعات العددية: من الأعداد الطبيعية إلى الأعداد المركبة
السؤال 13من وحدات سابقةما المقاربان للقطع الزائد ؟
هنا قُلب حاصل القسمة: الميل هو ، حيث نصف المحور المرتبط بـ . وهذان المقاربان للقطع .هنا أُخذ مربعا نصفي المحورين بدلًا من نصفي المحورين: فمن ينتج ، باستخراج الجذور.هذان هما المستقيمان الرأسيان المارّان بالرأسين؛ والقطع الزائد يمسّهما عندهما، ولا يقترب منهما بلا حد.مع و، يكون المقاربان للقطع هما المستقيمين ، اللذين ينتجان من مساواة الطرف الأول بالصفر.
جارٍ تحميل المحتوى…