الأعداد النسبية: الكسور والعمليات عليها

الكسور وتكافؤها

في الدرس الخاص بـالمجموعات العددية قُدّمت الأعداد النسبية بوصفها كسورًا من الأعداد الصحيحة مقامها غير منعدم، ونُبّه إلى أن الكسر لا يمكن تعريفه بوصفه قسمة، لأن القسمة هي بالضبط ما لا تسمح به الأعداد الصحيحة. وهذا الدرس ينجز البناء الذي أُعلن عنه هناك. ونقطة انطلاقه هي الأعداد الصحيحة من الدرس الخاص بـالأعداد الصحيحة، بجمعها وجدائها وترتيبها وخاصية ستُستعمل باستمرار: جداء عددين صحيحين غير منعدمين ليس منعدمًا. ويلزم عنها أن العامل غير المنعدم يمكن اختزاله، لأنه إذا كان $ab = ac$ مع $a \neq 0$، فإن $a(b - c) = 0$، ومن ثم $b - c = 0$.

تعريف (الكسر). الكسر زوج مرتب $(p, q)$ من الأعداد الصحيحة مع $q \neq 0$، يُكتب $\frac{p}{q}$؛ والعدد الصحيح $p$ هو بسطه و$q$ مقامه. ويقال إن $\frac{p}{q}$ و$\frac{r}{s}$ كسران متكافئان حين يتساوى جداءاهما التقاطعيان، أي حين يكون $ps = qr$.

وهكذا فإن $\frac{2}{3}$ و$\frac{4}{6}$ متكافئان، لأن $2 \cdot 6 = 3 \cdot 4$، في حين أن $\frac{2}{3}$ و$\frac{3}{4}$ غير متكافئين، لأن $2 \cdot 4 \neq 3 \cdot 3$. وليس التعريف اعتباطيًّا. فإذا كان للكسور أن تكون حواصل قسمة، فيجب أن تكافئ المساواة $\frac{p}{q} = \frac{r}{s}$، بضرب طرفيها في $qs$، المساواة $ps = qr$؛ ويتخذ التعريف هذه النتيجة نقطة انطلاق، وهي لا تحتوي إلا على جداءات أعداد صحيحة، ولذلك يكون لها معنى قبل أن توجد القسمة. غير أنه لكي يقوم التكافؤ مقام المساواة، يجب أن يسلك سلوكها: يجب أن يكون علاقة تكافؤ، بالمعنى الوارد في الدرس الخاص بـالمجموعات والعلاقات والدوال.

وإذا كان الأمر كذلك، فإن النتائج العامة للدرس الخاص بـالمجموعات والعلاقات والدوال تصح على تكافؤ الكسور، ولا حاجة إلى تكرارها: فبحسب المبرهنة المتعلقة بعلاقات التكافؤ والتجزئات، تكوّن أصناف الكسور المتكافئة تجزئة لمجموعة الكسور، بحيث ينتمي كل كسر إلى صنف واحد فقط ولا يشترك صنفان مختلفان في أي كسر. وكل صنف عدد.

تعريف (العدد النسبي). العدد النسبي هو صنف التكافؤ لكسر، أي مجموعة كل الكسور المكافئة له، وأي واحد منها يمثّله؛ وبترميز الدرس الخاص بالمجموعات والعلاقات والدوال، فإن العدد النسبي الذي يمثّله $\frac{p}{q}$ هو الصنف $C\left( \frac{p}{q} \right)$، ويُكتب هنا ببساطة $\frac{p}{q}$. ويُرمز إلى مجموعة الأعداد النسبية، وهي مجموعة خارج القسمة للكسور على تكافئها، بـ$\mathbb{Q}$. ونكتب $\frac{p}{q} = \frac{r}{s}$ حين يمثل الكسران العدد النسبي نفسه، أي حين يكونان متكافئين، كما تنص التوطئة المتعلقة بأصناف التكافؤ المبرهنة هناك.

يُطابَق كل عدد صحيح $p$ مع العدد النسبي الذي يمثّله $\frac{p}{1}$. ولا تخلط هذه المطابقة بين أعداد صحيحة مختلفة، لأن $\frac{p}{1} = \frac{r}{1}$ تكافئ $p \cdot 1 = 1 \cdot r$، أي $p = r$؛ وبهذا المعنى $\mathbb{Z} \subseteq \mathbb{Q}$. وسنتحقق فيما بعد من أن عمليات الأعداد النسبية، إذا طُبّقت على الأعداد الصحيحة، تعطي العمليات المعهودة. والقاعدة العملية الأكثر استعمالًا لتغيير الكسر دون تغيير العدد هي الآتية.